2024年高考一轮复习精细讲义第13讲 抛体运动(原卷版+解析)

第13讲抛体运动

划重点之精细讲义系列

。要也考点3喜

考点一平抛运动的基本规律

一.平抛运动

I.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重

力作用下所做的运动，叫平抛运动.

2.性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度/的匀变速曲线运动,就迹是抛物线.

平抛运动的规律

以抛出点为原点，以水平方向(初速度处方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建

立平面直角坐标系，则

1.水平方向：做匀速直线运动,速度：以=到，'立移：x=

2.竖直方向：做自由落体运动,速度：vy=gi，位移：

3.合运动

⑴合速度：。=«毯+#=Y虎+3)2，方向与水平方向夹角为仇则tanJ=K=焦

(2)合位移:户，方向与水平方向夹角为。，则tana=^

2m

i.飞行时间：由彳知，时间取决于下落高度力，与初速度研,无关.

2.水平射程：/=*=00\旧，即水平射程由初速度如和下落高度/［共同决定，

与其他因素无关.

3.落地速度：5=7*+才=g捕+2gh,以a表示落地速度与x轴正方向的夹角，

有tana=F="强，所以落地速度也只与初速度。。和下落高度h有关.

Vx

4.速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g,所以做平抛运动的物体

在任意相等时间间隔加内的速度改变量Ao=gA/相同，方向恒为竖直向下，如图甲所

示.

5.两个重要推论

（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时

水平位移的中点，如图乙中4点和8点所示.

（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一住置处，设其速度方向与水平方向

的夹角为a,位移与水平方向的夹角为仇则lana=2lan。.

三.斜抛运动

1.定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出,物体仅在重力的作用下

所做的运动，叫做斜抛运动.

2.性质：加速度恒为工的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.

3.基本规律

以斜向上抛为例说明，如图所示.

r

u

vOxX

（1）水平方向：a-ocos0,/合x=0.

（2）啜直方向：OoY=0°sin。,F^y=mg.

因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上（下）抛运动

的合运动.

【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于（）

A.物体的初始高度和所受重力

B.物体的初始高度和初速度

C.物体所受的重力和初速度

D.物体所受的重力、初始高度和初速度

【典例2】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动［小

球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点.。为半圆轨道圆心，半恻轨

道半径为七05与水平方向夹角为60。,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为（）

。-

R

【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过7时间到达地面时，速度方向与水平方

向的夹角为0,不计空气阻力，重力加速度为g,下歹!结论中正确的是（）

A.小球初速度为g/tanO

B.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

C.小球着地速度大小为磊

D.小球在I时间内的位移方向与水平方向的夹角为〃

（典例4］距地面高5m的水平直轨道上A.B两点相距2rn,在B点用细线悬挂

一小球，离地高度为人如图.小车始终以4m/s的速度沿轨道匀速运动，经过4点时

将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至8点时细线被轧断，最后两球同时

落地.不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10mH.可求得〃等于（）

A.1.25mB.2.25m

C.3.75mD.4.75m

A

且敲黑轻”

分解思想在平抛运动中的应用

（1）解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这

样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度.

（2）画出速度（或位移）分解图，通过几何知识建立合速度（或合位移）、分速度（或分位

移）及其方向间的关系，通过速度（或位移）的矢量三角形求解未知量.

01电号点3善

考点二类平抛运动

1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.运动特点：在初速度劭方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的与加

速直线运动，加速度〃=味.

3.求解技巧

（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度

方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运可具

有等时性.

（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分

解为公、为,初速度的分解为％、vyf然后分别在x、y方向列方程求解.

目典例分而

【典例1】（多选）如图所示，两个足够大的倾角分别为30。、45。的光滑斜面放在同

一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等.有三个完全相同的小球〃、b.

c,开始均静止于斜面同一高度处，其中小球〃在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端.若

同时释放。、b、c,小球到达该水平面的时间分别为刈同如若同时沿水平方向抛出,

初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为“'、/、4.下列关于时间的

关系正确的是（）

A.h>t3>t2B.、t2=t2,、t3=t3,

C.t\'>△'>12'D.hV/]'、、/3V/3'

【典例2]质最为机的飞机以水平初速度如S离跑道后逐渐上升，若K机在此过

程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力

提供，不含重力）.今测得当飞机在水平方向的位移为/时，它的上升高度为爪如图所

示，求：

⑴飞机受到的升力大小；

（2）上升至h高度时飞机的速度.

考点三多体平抛问题

1.多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题.

2.三类常见的多体平抛运动

（1）若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距

只取决于两物体的水平分运动.

（2）若两物体同时■从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者

间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.

（3）若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决

于两物体的水平分运动和竖直分运动.

目共例分东

【典例1】如图所示，在距水平地面分别为“和4”的高度处，同时将质量相同的

〃、两小球以相同的初速度如水平抛出，则以下判断正确的是（）

A.a、6两小球同时落地

B.两小球落地速度的方向相同

C.〃、沙两小球水平位移之比为1：2

D.a、b两小球水平位移之比为1：4

【典例2］如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心0点处分别以水平初速度

3、02抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和8点，己知04

与OB互相垂直，且。/｛与竖直方向成。角，则两小球的初速度之比为（）

A.#an8B.tan0

C./an%D.tan汨

(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定,而物体的水平位移由物体被

抛出点的高度和物体的初速度共同决定.

(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须

同时到达此处.

考点四斜面上的平抛运动

与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况:

i.物体从空中抛出垂直落在斜面上；

2.从斜面上抛出落在斜面上.

在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾

角，找出斜面倾角同位哆和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决.两

种模型对比如下:

方法内容斜面总结

水平：Vx=Vo

分解速度，

竖直：Vy=gt;垂直打；朱二为

分解速度构建速度

合速度：

三角形

v=yjvx+vy

Vo-

水平：X=vot

分解位移，

竖直：y=；g产

分解位移构建位移

X三角形

合位移：s=q『+y2

_________I_______

国典例分局

题组一顺着斜面的平抛运动

【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡

上的平抛运动.如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为。的斜坡顶端P处，以

初速度如水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，A尸之间距离为在空中运动

时间为3改变初速度如的大小，L和，都随之改变.关于L、，与劭的关系，下列说法

中正确的是()

A.L与内成正比B.L与“成反比

C.f与如成正比D.，与加成正比

【典例2］如图所示，滑板运动员从倾角为53。的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他

突然发现在斜面底端有一个高〃=1.4m、宽L=1.2n］的长方体障碍物，为了不触及这

个障碍物，他必须在距水平地面高度H=3.2m的A点沿水平方向跳起离开斜面（竖直方

向的速度变为零）.己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数"=0.1,忽略空气阻力，

重力加速度g取10m/s“已知sin53。=0.8,cos53。=0.6）求：

⑴运动员在斜面上滑行的加速度的大小；

（2）若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间;

（3）运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度.

题组二对着斜面的平抽运动

【典例3】（多选）如图所示，4、Q分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两

个点，AB=BC=CD,E点在。点的正上方，与A等高.从E点以一定的水平速度抛

出质量相等的两个小球,球1落在4点，球2落在。点，关于球1和球2从抛出到落

在斜面上的运动过程（）

A.球1和球2运动的时间之比为2:1

B.球1和球2动能增加量之比为1:2

C.球1和球2抛出时初速度之比为2吸：I

D,球1和球2运动时的加速度之比为1：2

【典例4】如图所示，小球以°。正对倾角为〃的斜面水平抛出，若小球到达斜面的

位移最小，则飞行时间/为(重力加速度为g)()

2t?otan6

*-8-

&)col82opcot8

C.)g

(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数,这个常数等于斜面倾角的正切值;

(2)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远.

0.出考点4春

考点五平抛运动中的临界问题

(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过

网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确

定临界状态，而好临界轨迹，是解决问题的关键点.

(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定

为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件.

目典例分言

【典例1】如图所示，水平屋顶高H=5m,墙高力=3.2m,墙到房子的距离£=3m,

墙外马路宽x=10m,小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g=10m/s2.求：

(1)小球离开屋顶时的速度火的大小范围;

(2)小球落在马路上的最小速度.

【典例2]（多选汝口图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为〃的斜面连接，

一小球以速度。从平面的右端夕点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间/（）

JS_

A.一定与。的大小有关

B.一，定与。的大小无关

C.当。大于、时，/与。无关

D.当。小于时，/与p有关

【典例3]一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为心

和七，中间球网高度为4•发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同

方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3〃.不计空气的作用，重力加速度大小为g.

若乒乓球的发射速率。在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧

台面上，则。的最大取值范围是（）

西+L加

<v<2、6/2

/（♦在+瓜）K

A/6h

e

，基础篇

1.物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化最大小△。随时间，变化的图象中,

可能正确的是（）

2.游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的

同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向

上相距高度为近如图所示，不计空气阻力.关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判

断正确的是（）

A.甲枪射出的子弹初速度较大

B.乙枪射出的子弹初速度较大

C.甲、乙两枪射出的子弹初速度一•样大

D.无法比较甲，乙两枪射出的子弹初速度的大小

3.在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则

小球在随后的运动中（）

A.速度和加速度的方向都在不断改变

B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小

C.在相等的时间间隔内，速率的改变量相等

D.在相等的时间间隔内，动能的改变量相等

4.如图所示，某同学将一枚匕镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结

果飞镖打在靶心的正下方.忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况

下，为使飞镖命中靶心•他在下次投掷时可以（）

A.换用质量稍大些的飞镖

B.适当增大投飞镖的高度

C.到稍远些的地方投飞镖

D.适当减小投飞镖的初速度

5.（多选）如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球

的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是（）

A.过网时球1的速度小于球2的速度

B.球1的飞行时间大于球2的飞行时间

C.球1的速度变化率等于球2的速度变化率

D.落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率

6.如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从。点水平飞出，

经过3s落到斜坡上的人点.已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角9=37。，运

动员的质量加=501^.不计空气阻力肉1137。=0.6,8$37。=0.8；g取lOm/s?）.求：

（1）4点与。点的距离L；

（2）运动员离开。点时的速度大小；

（3）运动员从。点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.

7.如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生

碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C

点，已知地面上。点位于4点正下方，从O间的距离为/?,则（）

A.A、B两点、间的距离为与

B.A、B两点间的距离为当

C.C、。两点间的距离为2分

D.a。两点间的距离为手力

8.如图所示，位于同一高度的小球4、8分别以6和。2的速度水平抛出，都落在

了倾角为30。的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则s、6之比为（）

9.如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以功0、。20、So水平抛出，分别落在斜面

上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是Sy、。3户则（）

10.如图所示的光滑斜面长为/,宽为b,倾角为仇一物块（可看成质点）沿斜面左

上方顶点P水平射入，恰好从底端。点离开斜面，则（）

II.（多选）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面〃

处，将球以速度。沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为

L,重力加速度取g,将球的运动视作平抛运动，卜列表述止确的是（）

B.球从击出至落地所用时间为、偿

C.球从击球点至落地点的位移等于L

D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关

12.如图所示，倾角为37。的粗糙斜面的底端有一质量m=1kg的凹形小滑块，小

滑块与斜面间的动摩擦因数4=0.25.现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在

斜面底端正上方有一小球以的水平抛出，经过0.4s,小

球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.（己知知】37。=0.6,

cos37°=0.8）,g取lOm/s2.求:

（I）小球水平抛出的速度如：

（2）小滑块的初速度9.

13.（多选）如图所示，AC是倾角为6=30。的固定斜面;CO部分为水平面，小球

从斜面顶端A点以初速度内水平抛出，刚好落在斜面上的4点;，A8=（AC.现将小球

从斜面顶端人点以初速度2加水平抛出（不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加

速度为g），则小球前后两次在空中运动过程中（）

A.时间之比为1:6

B.水平位移之比为1：3

C.当初速度为2%时，小球从抛出到离斜面的最远的时间为国

g

伺2

D.当初速度为W时，小球在空中离斜面的最远距离为手

12g

14.（多选）一苹果在距地面高6m的地方由静止开始自由下落，地面上与苹果在同

一竖直平面内且与苹果水平相距8m的地方斜向上射出一飞刀，要使飞刀在空中射中苹

果，则飞刀射出时的速度大小可能的是（）

Xm

A.5m/sB.8m/sC.lOm/sD.12m/s

15.（多选）如图所示，一架飞机沿水平方向匀速飞行，刚刚到达山坡底端正上方

时，立即释放一颗炸弹.，并垂直击中山坡上的目标A。已知A距山坡底端的高度为4,

山坡的倾角为重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.炸弹的竖直位移与水平位移的大小之比为l:tan。

B.飞机投弹时距山坡底端的高度为（丁二+0力

V2tan0

C.炸弹运动的时间为0—二

Ngtan<9

D.炸弹落到山坡上的瞬时速度大小为我

16.（多选）如图所示，两相同的斜面倾角均为45，高度为爪从左侧斜面顶端以

一定初速度水平抛出一个小球，已知重力加速度为g，不计空气阻力。则下列说法正确

B.小球落在斜面上时水平位移与初速度的平方成正比

C.小球落在斜面上时运动时间与初速度成正比

D.小球下落到斜面上高度为《处时，初速度可能为工匣

36

17.从高”=4m处的点A先后水平抛出两个小球1和2,球1与地面碰撞一次后，

恰好越过位于水平地面上高为/?的竖直挡板，然后落在水平地面上的。点，碰前碰后的

速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在。点，忽略空气阻

力。挡板的高度〃为（）

18.如图，两个靠得很近的小球（均可视为质点）从斜面上的同一位置。以不同

的初速度匕、以做平抛运动，斜面足够长，在斜面上的落点分别为A、B,在空中运动

的时间分别为心、%，落到斜面前瞬间的速度与斜面的夹角分别为。、〃，已知08=204。

下列说法正确的是（）

A.5：%=1：2B.tA：fB=l：2

C.8球在空中离斜面最远时，其速度方向与斜面平行D.a<p

19.“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿

刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，

小面圈距锅的高度〃=0.3m,与锅沿的最近水平距离L=0.4m,锅可视为半径R=0.25m

的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离d=0.1m。不计一切阻力，小面圈的运动

可视为平抛运动，则（）

A,落入锅中的小面圈速度的变化量均相同

B.落入锅中的小面圈，速度范围为1.5m/s<%<g6m/s

17

C.直接落入水中的小面圈，速度范围为L5m/s<%v^m/s

6

D,直接落入水中的小面圈，速度范围为域

3°6

第13讲抛体运动

划重点之精细讲义系列

。要争考点制吊

考点一平抛运动的基本规律

一.平抛运动

i.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作

用下所做的运动，叫平抛运动.

2.性质：平抛运动是加速度恒为重:力加速度区的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.

二.平抛运动的规律

以抛出点为原点，以水平方向（初速度加方向）为、轴，以竖直向下的方向为），轴建立平

面直角坐标系，则

1.水平方向：做匀速直线运动,速度：VX=VQ,位移：X=Vat.

2.竖直方向：做自由落体运动,速度：Vy=gt,位移：产上产

3.合运动

⑴合速度：0="*+才=4，+3）2,方向与水平方向夹角为仇则lan夕=需=落

⑵合位移：s=d?Tp=y（Uof）2+&?，）2,方向与水平方向夹角为a，则tana=：=券.

1.飞行时间：由'知，时间取决于下落高度力，与初速度。。无关.

2.水平射程：.1=5）『小\廖，即水平射程由初速度如和下落高度力共I

2.水平射程：.1=5）/=37"，即水平射程由初速度如和下落高度力共同决定，与其

他因素无关.

3.落地速度：5=7*+艰=7捕+2g”,以a表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan

。=金=4强，所以落地这只与初速和下落高有关.

V.xVo

4.速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任

意相等时间间隔加内的速度改变量Ao=gA/相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示.

5.两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平

位移的中点，如图乙中A点和8点所示.

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹

角为小位移与水平方向的夹角为仇则lana=2tan。.

三.斜抛运动

1.定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出,物休仅在重力的作用下所做

的运动，叫做斜抛运动.

2.性质：加速度恒为幺的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.

3.基本规律

以斜向上抛为例说明，如图所示.

(1)水平方向：ah=z,ocos仇

(2)竖直方向：%=色血&Ffty=mg.

因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的

合运动.

目典例少亩

【典例1】做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于()

A.物体的初始高度和所受重力

B.物体的初始高度和初速度

C.物体所受的重力和初速度

D.物体所受的重力、初始高度和初速度

解析：选B.水平方向通过的距离x=vot,由。=5月?得/=A/―,所以时间，由高度h

决定：又x=&*=M\/~7，故x由初始高度力和初速度即共同决定，B正确.

【典例2］如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球

可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点.。为半圆轨道圆心，半圆轨道半径

为七0B与水平方向夹角为60。，重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为（）

解析：选B.画出小球在8点速度的分解矢量图，如图所示.由图可知，tan60。=器,

R（l+cos600）=iW,联立解得的=\/3.>，选项B正确.

【典例3】从某高度水平抛出一小球，经过，时间到达地面时，速度方向与水平方向的

夹角为以不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是（）

A.小球初速度为grtan。

B.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

C.小球着地速度大小为米彳

D.小球在/时间内的位移方向与水平方向的夹角为8

解析：选C.如图所示，小球竖直方向的速度为4=/，则初速度为0o=gicot0,落地

时速度。=£需，选项C正确，A错误；平抛运动的时间/=、伶，由高度决定，选项B

错误；设位移方向与水平方向的夹角为a,则tana=9=妥,tan夕=个=巴则tan<9=2tana,

XZJQ。0V。

选项D错误.

【典例4】距地面高5m的水平直轨道上A、8两点相距2m,在8点用细线悬挂一小

球，离地高度为伍如图.小车始终以4m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携

带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至8点时细线被轧断，最后两球同时落地.不计

空气阻力，取重力加速度的大小g=10mA?.可求得h等于（）

A.1.25mB.2.25m

C.3.75mD.4.75m

AB

A正确.

就黑根州

分解思想在平抛运动中的应用

（1）解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样

分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度.

（2）画出速度（或位移）分解图，通过几何知识建立合速度（或合位移）、分速度（或分位移）

及其方向间的关系，通过速度（或位移）的矢量三角形求解未知量.

考点二类平抛运动

1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.运动特点：在初速度为方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直

线运动，加速度〃=£■.

3.求解技巧

（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方

向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时

性.

（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解

为%、如，初速度小）分解为内、vy,然后分别在x、y方向列方程求解.

国共例分局

【典例1】（多选）如图所示，两个足够大的倾角分别为30。、45。的光滑斜面放在同一水

平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等.有三个完全相同的小球。、尻c,开始

均静止于斜面同一高度处，其中小球。在两斜面之间，a、c分别在两斜面顶端.若同时拜

放〃、b、c,小球到达该水平面的时间分别为小，2、0若同时沿水平方向抛出，初速度方向

如图所示，小球到达水平面的时间分别为//、/2'、S.下列关于时间的关系正确的是（）

A./1>/3>/2t3=h'

C.t\'>△'>，2'D.hVf|'、f2V，2'、

解析：选ABC.由静止释放三个小球时，对a:Sin4o0=；gsin30。疝则|=§:对

o=sin45，7

则对c：sin452^°^»则尺=段，所以h>/3>/2.当水平抛出三个

小球时，小球做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动.沿斜面方向的运动同第一

种情况，所以,t2=ti,h=/3‘，故A、B、C正确.

【典例2］质量为m的飞机以水平初速度如飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中

水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不

含重力）.今测得当飞机在水平方向的位移为/时，它的上升高度为力，如图所示，求：

（1）飞机受到的升力大小；

（2）上升至h高度时飞机的速度.

解析：（1）飞机做类平抛运动，则:

水平方向l=v°i

竖直方向/z=2«/2

解得『竿

对飞机由牛顿第二定律得

F-mg=ina

解得F=〃(g+翠^

(2)竖直方向vj=2ah

V=y]vi^-Vy

解得u=y邓+4附

设速度方向与初速度。o方向的夹角为仇贝k

tan夕=二

vo

/>I

解得9=arctarr/

答案：⑴〃(g+军凹

(2)^邓+4后方向与如的夹角为arcian午

考点三多体平抛问题

1.多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题.

2.三类常见的多体平抛运动

(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取

决于两物体的水平分运动.

(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间

距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.

(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于

两物体的水平分运动和竖直分运动.

目，依分缶

【典例1】如图所示，在距水平地面分别为〃和4〃的高度处，同时将质量相同的。、b

两小球以相同的初速度如水平抛出，则以下判断正确的是()

A.“、〃两小球同时落地

B.两小球落地速度的方向相同

C.。、〃两小球水平，’立移之比为1:2

D.。、沙两小球水平位移之比为1：4

b

解析：选C.由H=3gW,4H=；g猿可得tb=2la,A错误；由x=Vot可知，工“：xi,=I:2,

C正确，D错误；设落地时速度与水平方向夹角为仇则由tan。弋可知,tana：tan为=I：

2,仇W仍，B错误.

【典例2】如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心。点处分别以水平初速度S、

力抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和4点，已知0A与05互

相垂直，且。4与竖直方向成。角，则两小球的初速度之比为()

A.'y/tan0B.tan3

C/\/tan%D.tun%1

解析：选C.由平抛运动规律得，水平方向Rsin9=um,Reos6=viti,竖直方向Reos6

=几"，Rsin〃=&d,联立解得意="tanM,选项C正输.

(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛

出点的高度和物体的初速度共同决定.

(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同

时到达此处.

•/也当点打g

考点四斜面上的平抛运动

与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：

1.物体从空中抛出垂直落在斜面上；

2.从斜面上抛出落在斜面上.

在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角,

找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决.两种模型对

比如下：

方法内容斜面总结

水平：Vx=VoF、/

分解速度，

竖直：Vy=gt;垂直打；采;为

分解速度构建速度

合速度：

三角形

V=yjvi-\-vl

水平：X=ZV

分解位移，

竖直：y=；g»/,/7y

分解位移构建位移

三角形

合位移：s=q.v2+.y21

典例9言

题组一顺着斜面的平抛运动

【典例1】跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的

平抛运动.如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾用为。的斜坡顶端P处，以初速度

加水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，4P之间距离为心在空中运动时间为3改

变初速度的的大小，L和，都随之改变.关于L、/与如的关系，下列说法中正确的是（）

A.L与。o成正比B.L与如成反比

C.f与〃o成正比D.1与说成正比

解析：选C.因运动员落在斜面上，故其位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角/因

此有tan其中）=»「，x=。"，则/=F-，乙=亚=亚=燕晟万，故,与。。

成正比，£与辅成正比，C正确.

【典例2】如图所示，滑板运动员从倾角为53。的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然

发现在斜面底端有一个高力=1.4m、宽L=1.2m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，

他必须在距水平地面高度H=3.2m的A点沿水平方向跳起离开斜面（竖直方向的速度变为

零）.己知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数"=0.1,忽略空气阻力，重力加速度g取10

m/s+（已知sin53°=0.8,cos530=0.6）求：

A

(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；

(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上况跳后到落至水平面的过程所经历的时间：

(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度.

解析：(1)设运动员连同滑板的质量为机，运动员在斜面滑行的过程中，由牛顿第二定

律得

mgsin53°-v〃“gcos53°=ma

解得”=gsin53。一"g，os53°=7.4m/s2

(2)运动员从斜面上起跳后，沿竖直方向做自由落体运动，则”=5户

解得f=0.8s

(3)为了不触及障碍物，运动员以速度。沿水平方向起跳后竖直下落高度为“一〃时，他

沿水平方向运动的距离至少为^设这段时间为,则

icinDJ

H-h=^gt'2

H一一,

tan53。十人”

解得。26.0m/s,所以最小速度Omin=6.0m/s.

答案：(1)7.4m/s?(2)0.8s(3)6.0m/s

题组二对着斜面的平抛运动

【典例3】(多选)如图所示，A、。分别是斜面的顶端、底端，8、。是斜面上的两个点，

AB=BC=CD,E点在。点的正上方，与A等高.从E点以一定的水平速度抛出质量相等

的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动

过程()

A.球1和球2运动的时间之比为2：1

B.球1和球2动能增加量之比为1:2

C.球1和球2抛出时初速度之比为26：1

D.球1和球2运动时的加速度之比为1:2

解析：选BC.因为4c=2/W,所以AC的高度差是八8高度差的2倍，根据〃得，

=7学解得运动的时间比为I：&,故A错误：根据动能定理得〃?g〃=AEk,知球1和

球2动能增加量之比为1:2,故B正确；在水平方向上的分量是。C在水平方向分量的

2倍，结合解得初速度之比为2庄：I,故C正确；平抛运动的加速度均为g,两球

的加速度相同，故D错误.

【典例4】如图所示，小球以即正对倾角为〃的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移

最小，则匕行时间/为(重力加速度为g)()

2z?otan6

B.

g

2-pcote

)g

解析：选D.如图所示，要小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜

而垂直,所以有tan夕=：,

►►►

1点

(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值;

(2)当物休的速度方向与斜面平行时，物休离斜面最远.

0.出号点3第

考点五平抛运动中的临界问题

⑴在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网,

又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状

态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点.

(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为

极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件.

【典例1】如图所示，水平屋顶高”=5m,墙高人=3.2m,墙到房子的距离L=3m,

墙外马路宽x=10m,小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g=10m/s2.求：

(1)小球离开屋顶时的速度劭的大小范围；

(2)小球落在马路上的最小速度.

解析(1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为伙H,则

L+x=如小

竖直位移H=\gt]

联立解得&H=(L+X)13m/s

设小球恰好越过围墙的边缘时，水平初速度为%2,则

水平位移L=V02t2

竖直位移〃一/?

联立解得002=5in/s

所以小球抛出时的速度大小范围为5m/sWooW13m/s.

(2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙

的边缘落在马路上时，落地速度最小.

竖直方向Vy=2gH

又有一min=4瓦+/

解得Omin=5小m/s

答案(1)5m/sWooW13m/s(2)5小m/s

【典例2】(多选)如图所示，一高度为，的光滑水平面与一倾角为。的斜面连接，一小

球以速度。从平面的右端尸点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间”)

A.一定与。的大小有关

B.一定与。的大小无关

c.当。大于、^院0【。时，/与。无关

D.当。小于A/^COI。时，，与。有关

解析：选CD.球有可能落在斜面上，也有可能落在水平而上，可用临界法求解，如果小

球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足/?cot〃="，力=*产，联立可得。=

故当。大于。时，小球落在水平面上，/=,与V无关；当。小于

时，小球落在斜面上，x=",、=%尸，上=tan0,联立可得1="晨⑺”,即与。有关，故选

项C、D正确.

【典例3]一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为Li和

心，中间球网高度为/?.发射机安装十台面左恻边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水

平发射乒乓球，发射点距台面高度为34.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的

发射速率。在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则P

的最大取值范围是（）

eg©

解析：选D.设以速率s发射乒乓球，经过时间h刚好落到球网正中间.

则竖直方向上有34一/?==京①

水平方向上有与=01人.②

由①②两式可得V\=

设以速率S发射乒乓球,经过时间b刚好落到球网右侧台面的两角处.

在竖直方向有③

由③④两式可得逅=；寸需互•

则。的最大取值范围为。1故选项D正确.

小国分5

，爨础篇

1.物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小A。随时间/变化的图象中，可