2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷（附答案）

2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的相反数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×1054．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝16．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（）A．6 B．3 C．5 D．99．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°10．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（3分）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是．13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝度．14．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是．15．（3分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝V．16．（3分）不等式组的解集是．17．（3分）若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是．18．（3分）定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG＝∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE＝，则DF的长为．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．（1）如图1，求证：AC∥BD；（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CM＝OE，＝，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM＝RB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．

1．B．2．D．3．A．4．D．5．C．6．D．7．B．8．A．9．C．10．B．11．【解答】解：∵y＝，∴x﹣5≠0，故答案为：x≠5．12．【解答】解：原式＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3），故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．【解答】解：∵直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．14．【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，故答案为：．15．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴I＝．由图象可知，当R＝9时，I＝4，∴U＝I•R＝4×9＝36（v）．答：蓄电池的电压是36v．故答案为：36．16．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x＜3，∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．17．【解答】解：∵l＝，∴r＝＝＝6（cm），故答案为：6cm．18．【解答】解：∵a※b＝ab+b2，∴（2m）※m＝2m•m+m2＝2m2+m2＝3m2．故答案为：3m2．19．【解答】解：若∠A＝90°，则AC＝＝2；若∠C＝90°，则AC＝AB＝．20．【解答】解：在DF上截取DH＝HE，∴∠FHE＝2∠FDE，设FE＝x，HD＝y，∵DE＝2，∴DF＝，在Rt△HEF中，y2＝（﹣y）2+x2，∴y＝6，∴sin∠FHE＝，∵∠AOB＝4∠FDE，∴∠COD＝4∠FDE，∵O是BD的中点，E是DG的中点，∴OE是△BDG的中位线，∴F是CD的中点，∵OC＝OD，∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE，∴＝，∴x＝1，∴DF＝，故答案为：．21．【解答】解：由题意，原式＝•﹣•＝﹣＝＝＝．又x＝2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，∴原式＝＝．22．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：得到．∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，∴等腰直角三角形EAD中，AD＝＝，∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，∴DO＝，在Rt△EOD中，ED＝＝，∴EO＝＝＝＝，∴．23．【解答】解：（1）8÷20%＝40（名），答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；（2）喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），补全条形统计图如下：（3）800×＝280（名），答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．24．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：由（1）知：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC和△ADC为等边三角形，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH为AD的垂直平分线，∴AE＝DE．同理：CE＝AE，∴AE＝DE＝EC．∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE．∵△ABC和△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120°，∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝AG，∴AG＝EC．25．【解答】解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，由题意得：，解得：，答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，解得：m≤15，答：该中学最多编织15个大号中国结．26．【解答】（1）证明：∵AE＝CE，∴∠A＝∠C，∵，∴∠C＝∠B，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）证明：如图1，连接OD，OB，由（1）知，AC∥BD，∠C＝∠EBD，∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，∴DE＝BE，∵OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠BEF＝∠DEF；（3）解：如图2，作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，∴AW＝DW，∴∠BAD＝∠ADW，∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，∵∠DGE＝2∠BAD，∴∠DWB＝∠DGE，∵OM⊥CD，∴DM＝CM，∵DE﹣CM＝OE，∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EM＝OE，∴∠DEF＝30°，由（2）知，∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，∴∠DEB＝60°，∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△BDW≌△BEG（AAS），∴DW＝EG，BW＝DG，∴EW＝BG，同理可得，△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝8，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，∴EF＝BE＝（a+2），∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，由DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）2，∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），∴BD＝2a+4＝16，∵，∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，∴点E、T、D、B共圆，∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，∵，∴∠ADB＝∠AHB，∴∠AHB＝∠AET，∵∠ATH＝∠BTD＝60°，∴∠ATH＝∠ATE，∵AT＝AT，∴△AHT≌△AET（AAS），∴∠HAT＝∠EAT，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADE（ASA），∴DH＝DE＝BD＝16，在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，∴DV＝16•cos60°＝8，BV＝16•sin60°＝8，∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，∴tan∠BCD＝＝，∴sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，在Rt△EFG中，tan∠EGF＝，设QS＝4m，SG＝m，则BS＝BG+SG＝6+m，QG＝，在Rt△QBS中，tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD＝，∴，∴m＝，∴QG＝7m＝6，∴BG＝QG＝6，∴∠DBH＝∠BQG，∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EQT，∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，∴△ATE≌△QTE（ASA），∴AT＝QT，在Rt△AEN中，EN＝AE•sin∠BAD＝8×＝，AN＝AE•cos∠BAD＝8×＝，在Rt△ETN中，EN＝，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，∴NT＝＝，∴QT＝AT＝AN+NT＝．27．【解答】解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c得，，∴，∴；（2）S＝yP＝＝；（3）如图1，作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，把t＝﹣2代入y＝得，y＝，∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，∴AJ＝PJ，∴∠PAJ＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，∴∠PAJ＝∠ACD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴可得四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，∵CF＝CD＝BC，∴∠CFB＝∠CBF＝45°，∵FG∥AC，∴∠CFG＝∠ACD＝45°，∴点F、G、B共线，∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，∴∠FBD+∠DEG＝180°，∴点G、E、D、B共圆，∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，∴∠EGD＝∠EDG，∴EG＝ED，∵∠EVG＝∠DCE＝90°，∴∠EGV+∠VEG＝90°，∵∠DEG＝90°，∴∠DCE+∠VEG＝90°，∴∠DEC＝∠EGV，∴△EGV≌△DEG（AAS），∴EV＝CD，CE＝GV，设CM＝x，WI＝a，∴∠ACB＝45°，CM＝RB，∴WM＝CW＝x，RB＝3x，∵MW∥BR，∴△MWI∽△RBI，∴＝，∴BI＝3WI＝3a，∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，∵BC∥AD，∴△RBI∽△RAD，∴，∴，∴x＝2a，∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，∴BF＝BC＝6a，DF＝2CD＝12a，∵DF∥RB，∴△GFD∽△GBR，∴，∴BG＝BF＝2，∴GV＝BV＝BG＝2a，∴CE＝GV＝2a，∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，∴ER＝，∵RN＝RA＝12a，∴EN＝RN﹣RE＝2a，∴CE＝EN＝2a，作IK⊥RN于K，由