2025届高考数学一轮知能训练第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例含解析

PAGE7-第8讲解三角形应用举例1．某人向正东方向走xkm后，顺时针转150°，然后朝新方向走3km，结果他离动身点恰好eq\r(3)km，则x＝()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．32．两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在视察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(2)akmC．2akmD.eq\r(3)akm3．(2024年河南中原名校质量测评)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac，则eq\r(2)cosA＋cosC的最大值是()A．1B．2C．3D．44．(2024年北京)如图X3­8­1，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()图X3­8­1A．4β＋4cosβB．4β＋4sinβC．2β＋2cosβD．2β＋2sinβ5．(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，则()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8＋4eq\r(5)D．△ABC为钝角三角形6．(2024年四川)如图X3­8­2，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)图X3­8­27．(2024年浙江)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.8．在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C＝eq\f(π,3)，BC＝8，BD＝7，则△ABC的面积为________．9．(2024年新课标Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．10．(2024年山东泰安模拟)如图X3­8­3，A，B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距5eq\r(6)海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距20eq\r(3)海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点须要多长时间？图X3­8­3

11．(2024年湖南湘中名校高三联考)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．12．(2024年天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

第8讲解三角形应用举例1．C解析：如图D140，在△ABC中，AC＝eq\r(3)km，BC＝3km，∠ABC＝30°.由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC.∴3＝x2＋9－6x·cos30°.解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).图D1402．D解析：如图D141，依题意，得∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.故选D.图D1413．A解析：∵a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2),2).又0<B<π，∴B＝eq\f(π,4).∴eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\r(2)cosA－eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(\r(2),2)sinA＋eq\f(\r(2),2)cosA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))).∵0<A<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,4)<A＋eq\f(π,4)<π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))的最大值为1.故选A.4．B解析：视察图象D142可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，图D142此时∠BOP＝∠AOP＝π－β，面积S的最大值为π×22×eq\f(2β,2π)＋S△POB＋S△POA＝4β＋eq\f(1,2)|OP||OB|sin(π－β)＋eq\f(1,2)|OP||OA|sin(π－β)＝4β＋2sinβ＋2sinβ＝4β＋4sinβ.故选B.5．BCD6．60解析：依据已知的图形可得AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°).∴BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.60＝60(m)．7.eq\f(12\r(2),5)eq\f(7\r(2),10)解析：由图D143和正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠BAC)，而AB＝4，∠ADB＝eq\f(3π,4)，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,5)，cos∠BAC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(4,5)，∴BD＝eq\f(12\r(2),5).cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coseq\f(π,4)·cos∠BAC＋sineq\f(π,4)sin∠BAC＝eq\f(7\r(2),10).图D1438．20eq\r(3)或24eq\r(3)解析：在△CDB中，设CD＝t，由余弦定理，得49＝64＋t2－2×8t×cos60°，即t2－8t＋15＝0，解得t＝3或t＝5.当t＝3时，CA＝10，三角形的面积S＝eq\f(1,2)×10×8×sin60°＝20eq\r(3)；当t＝5时，CA＝12，三角形的面积S＝eq\f(1,2)×12×8×sin60°＝24eq\r(3).9．解：(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0，得tanA＝－eq\r(3).∴A＝eq\f(2π,3).在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccoseq\f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设，可得∠CAD＝eq\f(π,2).∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AB·AD·sin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面积为eq\f(1,2)×4×2×sin∠BAC＝2eq\r(3)，∴△ABD的面积为eq\r(3).10．解：由题意可得BD＝5eq\r(6)，AC＝20eq\r(3)，∠ABD＝45°，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°.在△ABD中，由正弦定理可得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，∴AD＝eq\f(BD,sin∠BAD)·sin∠ABD＝eq\f(5\r(6),sin30°)×sin45°＝10eq\r(3).在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD＝(20eq\r(3))2＋(10eq\r(3))2－2×20eq\r(3)×10eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900.∴CD＝30.又救援船的速度为30海里/时，∴救援船到达D点所需时间为1小时．11．解：(1)∵a＝2bsinA，依据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，∴sinB＝eq\f(1,2)，又△ABC为锐角三角形，∴B＝eq\f(π,6).(2)∵B＝eq\f(π,6)，∴cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)－A))＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋A))＝cosA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).由△ABC为锐角三角形知，A＋B>eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，∴eq\f(2π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))<eq\f(3,2).∴cosA＋sinC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).12．解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，得asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得tanB＝eq\r(3).又∵B∈(0，π)，可得B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs