2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第2讲古典概型含解析

PAGE5-第2讲古典概型1．(2024年新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,14)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,18)2．(2024年广东中山模拟)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则该人抽到的球颜色互异的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7)D.eq\f(3,11)3．(2024年陕西)如图X9­2­1，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()图X9­2­1A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖须要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行其次次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．根据这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.eq\f(4,5)B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50)D.eq\f(41,100)5．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．16．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场竞赛，则田忌马获胜的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)7．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是()A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事务B．甲的不同的选法种数为15C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是eq\f(1,6)D．乙、丙两名同学都选物理的概率是eq\f(9,49)8．(多选)设集合M＝{2,3,4}，N＝{1,2,3,4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事务Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事务Ak的概率最大，则k的取值可能是()A．4B．5C．6D．79．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．10．(2024年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校全部的1000名学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额不大于2000元大于2000元仅运用A的人数/人273仅运用B的人数/人241(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数；(2)从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．

11．(2024年山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图X9­2­2所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称．小亮打算参与此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．图X9­2­212．(2024年山东)某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

第2讲古典概型1．C解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有Ceq\o\al(2,10)种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23,11和19,13和17，共有3种状况，∴所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故选C.2．D解析：基本领件总数为Ceq\o\al(3,12)＝220(种)，该人抽到的球颜色互异的状况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为eq\f(60,220)＝eq\f(3,11).故选D.3．C4．C解析：根据这样的规则摸奖，第一次中奖的概率为eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5).第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行其次次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，中奖的概率为eq\f(3,5)×eq\f(1,10)＝eq\f(3,50).∴根据这样的规则摸奖，中奖的概率为eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50).5．C解析：从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE共有10个基本领件，而其中ACE，BCD两种状况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).故选C.6．A解析：设齐王的上等马、中等马和下等马分别是A，B，C，田忌的上等马、中等马和下等马分别是a，b，c，则总的基本领件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9种，田忌马获胜的基本领件有(B，a)，(C，a)，(C，d)，共3种，故概率为eq\f(1,3).故选A.7．BD8.BC9.eq\f(2,5)解析：由题意得共有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)这15种可能，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)这6种，∴所求概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).10．解：(1)由图表可知仅运用A的人数有30人，仅运用B的人数有25人，由题意知A，B两种支付方式都不运用的有5人，∴样本中两种支付方式都运用的有100－30－25－5＝40(人)，∴全校学生中两种支付方式都运用的有eq\f(40,100)×1000＝400(人)．(2)∵样本中仅运用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25).(3)由(2)知支付金额大于2000元的概率为eq\f(1,25)，∵从仅运用B的学生中随机调查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事务在一次试验中是几乎不行能发生的，∴可以认为仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变，且比上个月多．11．解：用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．∵S中元素个数是4×4＝16，∴基本领件总数为n＝16.(1)记“xy≤3”为事务A.则事务A包含的基本领件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．∴P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事务B，“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．∴P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).则事务C包含的基本领件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．∴P(C)＝eq\f(5,16).∵eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，