2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修2-2

PAGEPAGE11．1.2瞬时速度与导数1.了解瞬时速度的意义，导数函数的实际背景．2.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念．3．驾驭利用定义求导数的方法．1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变更率eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt)趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．2．函数在某点的瞬时变更率设函数y＝f(x)在x0及其旁边有定义，当自变量在x＝x0旁边变更量为Δx时，函数值相应地变更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如当Δx趋近于0时，平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变更率．记作：当Δx→0时，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→l.还可以说：当Δx→0时，函数平均变更率的极限等于函数在x0的瞬时变更率l，记作eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝l.3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．4．函数的导数(1)函数可导的定义假如f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导．(2)导函数的定义若f(x)在区间(a，b)内可导，则对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)．导函数通常简称为导数.1．一个物体的运动方程是s＝3＋t2，则物体在t＝3时的瞬时速度为()A．3 B．4C．5 D．6答案：D2．函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为________．答案：23．函数y＝f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1处的瞬时变更率为________．答案：－1物体运动的瞬时速度一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2之间的平均速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（Δt）－s（0）,Δt)＝eq\f(3Δt－（Δt）2,Δt)＝3－Δt.当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→3，所以物体的初速度为3.(2)取一时间段[2，2＋Δt]，则eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq\f(3（2＋Δt）－（2＋Δt）2－（6－4）,Δt)＝eq\f(－（Δt）2－Δt,Δt)＝－Δt－1，当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→－1，所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0，2]时，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（2）－s（0）,2－0)＝eq\f(3×2－4,2)＝1.所以在0到2之间，物体的平均速度为1.若本例中物体运动方程改为s＝3t2＋2，求解第(1)(2)问．解：(1)s＝3t2＋2，当t＝0时，Δs＝s(0＋Δt)－s(0)＝3(0＋Δt)2＋2－(3×02＋2)＝3(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝3Δt，所以当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→0，所以v0＝0.(2)s＝3t2＋2，当t＝2时，Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝3(2＋Δt)2＋2－(3×22＋2)＝12·Δt＋3(Δt)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(12Δt＋3（Δt）2,Δt)＝12＋3Δt.所以当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→12，所以v2＝12.eq\a\vs4\al()求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步：求时间变更量Δt和位移变更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；其次步：求平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq\o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：1用定义求函数的导数依据导数的定义，求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．[解]Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋（Δx）2,Δx)＝2＋Δx.所以y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(2＋Δx)＝2.eq\a\vs4\al()求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．1.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选C.因为f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）＋3－（a＋3）,Δx)＝a.因为f′(1)＝3，所以a＝3.故选C.2．求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，所以f′(1)＝2，即函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区分与联系：(1)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，是针对一个点x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；(2)“导函数”简记为“导数”，它是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依靠于函数本身，而与x，Δx无关；(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.用定义法求导数时，当Δx≠0时，比值eq\f(Δy,Δx)的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若eq\f(Δy,Δx)的极限不存在，则f(x)在点x0处不行导或无导数．1．设函数f(x)可导，则limeq\o(,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)等于()A．f′(1) B．2f′(1)C.eq\f(1,2)f′(1) D．f′(2)解析：选C.原式＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)．2．假如质点M依据规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81解析：选B.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3（3＋Δt）2－3×32,Δt)＝18＋3Δt，s′＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(18＋3Δt)＝18，故选B.3．函数f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1处的导数是________．解析：Δy＝eq\f(1,1＋Δx)－eq\f(1,1)＝－eq\f(Δx,1＋Δx)，eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,1＋Δx)，f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,1＋Δx)))＝－eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(1,1＋Δx)＝－1.答案：－1[A基础达标]1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.2．函数y＝x3在x＝1处的导数为()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选C.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq\f(3Δx·x2＋3（Δx）2x＋（Δx）3,Δx)＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2，y′|x＝1＝3.3．一物体的运动满意曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5s内共走过42mB．物体每5s运动42mC．物体从起先运动到第5s运动的平均速度是42m/sD．物体以t＝5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42m解析：选D.由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5s时的瞬时速度．故选D.4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满意eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，则f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选B.因为f(x)图象过原点，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1.故选B.5．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A．eq\f(123,16)米/秒 B．eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D．eq\f(67,4)米/秒解析：选B.因为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（4＋Δt）2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(（Δt）2＋8Δt＋\f(－3Δt,4（4＋Δt）),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).6．函数y＝3x2－2在x＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3（1＋Δx）2－2－3×12＋2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3＋6Δx＋3（Δx）2－3,Δx)＝6.答案：67．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________．解析：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）－ax2－2x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(2ax·Δx＋2Δx＋a（Δx）2,Δx)＝2ax＋2，所以f′(1)＝2a＋2＝4，所以a＝1.答案：18．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，假如它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________m/s.解析：运动方程为s＝eq\f(1,2)at2.因为Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2.所以eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，所以v＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.又因为a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以v＝at0＝8×102＝800(m/s)．答案：8009．求函数y＝eq\f(4,x2)的导函数．解：因为Δy＝eq\f(4,（x＋Δx）2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx（2x＋Δx）,x2（x＋Δx）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－4·eq\f(2x＋Δx,x2（x＋Δx）2)，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))[－4·eq\f(2x＋Δx,x2（x＋Δx）2)]＝－eq\f(8,x3)，所以y′＝－eq\f(8,x3).10．已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．(1)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)；(2)eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0－h）,2h).解：(1)原式＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－（－Δx）)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)(Δx→0时，－Δx→0)＝－f′(x0)．(2)原式＝eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－h）,2h)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\o(lim,\s\do10(h→0))\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)＋eq\o(lim,\s\do10(h→0)))\f(f（x0）－f（x0－h）,h)))＝eq\f(1,2)[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．[B实力提升]11．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮起先转动后的第一圈须要1s，则车轮转动起先后第2s时的瞬时速度为()A．π B．2πC．4π D．8π解析：选D.设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π，故θ(t)＝2πt2.第2s时的瞬时速度即为θ′(2)．由于eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π（2＋Δt）2－2π·22,Δt)＝2πΔt＋8π，所以θ′(2)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δθ,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(2πΔt＋8π)＝8π，即第2s时的瞬时速度为8π.12．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7（t0＋Δt）2＋8－（7teq\o\al(2,0)＋8）,Δt)＝7Δt＋14t0，当eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝eq\f(1,14).答案：eq\f(1,14)13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))，x>0，,1＋x2，x≤0))求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－eq\f(1,\r(4＋Δx))＋eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\r(4＋Δx))＝eq\f(\r(4＋Δx)－2,2\r(4＋Δx))＝eq\f(Δx,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）)＝eq\f(1,2×\r(4)×（\r(4)＋2）)＝eq\f(1,16).所以f′(4)＝eq\f(1,16).当x＝－1时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－1＋Δx）－f（－1）,Δx)＝eq\f(1＋（－1＋Δx）2－1－（－1）2,Δx)＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(Δ