2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE7-函数模型的应用(15分钟30分)1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是 ()A.y=0.957QUOTE B.y=(0.9576)100xC.y=QUOTE D.y=1-0.042QUOTE【解析】选A.由题意可知y=(95.76%QUOTE，即y=QUOTE.2.某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份削减了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 ()A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元【解析】选B.由题意，5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特别动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只【解析】选A.将x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以当x=7时，y=100log2(7+1)=300.4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-QUOTEQ2，则总利润L(Q)的最大值是_______万元.

【解析】因为L(Q)=40Q-QUOTEQ2-10Q-2000=-QUOTEQ2+30Q-2000=-QUOTE(Q-300)2+2500，所以当Q=300时，L(Q)的最大值为2500万元.答案：25005.(2024·山师附中高一检测)某心理学探讨小组在对学生上课留意力集中状况的调查探讨中，发觉其留意力指数p与听课时间t(分钟)之间的关系满意如图所示的曲线.当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y=logaQUOTE+83QUOTE图象的一部分.依据专家探讨，当留意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=fQUOTE的函数关系式.(2)一道数学难题，讲解须要22分钟，问老师能否经过合理支配在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.【解析】(1)当t∈(0，14]时，设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，将点(14，81)代入得c=-QUOTE，所以当t∈(0，14]时，p=f(t)=-QUOTE(t-12)2+82；当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y=loga(t-5)+83，得a=QUOTE.所以(2)当t∈(0，14]时，-QUOTE(t-12)2+82≥80，解得12-2QUOTE≤t≤12+2QUOTE，所以t∈[12-2QUOTE，14]；当t∈(14，40]时，loQUOTE(t-5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32]，综上t∈[12-2QUOTE，32]时学生听课效果最佳.此时Δt=32-QUOTE=20+2QUOTE>22.所以老师能够合理支配时间讲完题目.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为QUOTEa.若一个新丸体积变为QUOTEa，则需经过的天数为 ()A.125 B.100 C.75 【解析】选C.由已知得QUOTEa=a·e-50k，即e-50k=QUOTE=QUOTE.所以QUOTEa=QUOTE·a=(e-50kQUOTE·a=e-75k·a，所以t=75.2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如表是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台10203981160若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是()A.y=10x B.y=5x2-5x+10C.y=5·2x D.y=10log2x+10【解析】选C.对于选项A，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，对于选项B，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，对于选项C，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，80，160，对于选项D，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log25，而表中所给的数据是当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，39，81，160，通过比较，即可发觉选项C中y的值误差最小，即y=5•2x能更好地反映y与x之间的关系.3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%，按月计复利，为获得最大利润，某人应将钱[注：(1+0.8%)12≈1.10034]()A.全部购买股票 B.全部存入银行C.部分购买股票，部分存银行 D.购买股票或存银行均一样【解析】选B.购买股票利润：x=(18.96-17.25)×10000，存银行利润：y=17.25×10000×(1+0.8%)12-17.25×10000，计算得x<y.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满意函数关系t=QUOTE且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间改变如图所示，给出以下四个结论正确的是 ()A.该食品在6℃的保鲜时间是B.当x∈QUOTE时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而渐渐削减C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D.到了此日14时，甲所购买的食品已超过了保鲜时间【解析】选AD.因为食品的保鲜时间t与存储温度x满意函数关系式t=QUOTE且该食品在4℃时保鲜时间是16小时.所以24k+6=16，即4k+6=4，解得k=-QUOTE.所以t=QUOTE①当x=6时，t=8，所以该食品在6℃的保鲜时间是8小时，故A②当x∈[-6，0]时，时间t不变，故B错误；③由图象可知，当到此日12时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1小时，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；④由③知，D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)5.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是_______，若支配3年后全年植树12.5万棵，则a=_______.

【解析】经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x(x∈N*)，由题意可知6.4(1+a)3=12.5，所以(1+a)3=QUOTE，所以1+a=QUOTE，故a=QUOTE=25%.答案：y=6.4(1+a)x(x∈N*)25%6.(2024·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h=QUOTEr(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1mL(注：1mL=1cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6cm.记每瓶饮料的利润为f(r)，则f(3)=_______，其实际意义是_______.

【解析】f(r)=0.2·πr2·QUOTEr-0.8πr2=QUOTE-0.8πr2(0<r≤6)，故f(3)=7.2π-7.2π=0.表示当瓶子底面半径为3cm时，答案：0当瓶子底面半径为3cm时，四、解答题7.(10分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严峻问题.实践证明，声音强度D(分贝)由公式D=algI+b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量.(1)当声音强度D1，D2，D3满意D1+2D2=3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满意的等量关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会短暂性失聪.问声音能量在什么范围时，人会短暂性失聪.【解析】(1)因为D1+2D2=3D3，所以algI1+b+2(algI2+b)=3(algI3+b)，所以lgI1+2lgI2=3lgI3，所以I1·QUOTE=QUOTE.(2)由题意得QUOTE所以QUOTE所以100<10lgI+160<120，所以10-6<I<10-4.当声音能量I∈(10-6，10-4)时，人会短暂性失聪.【补偿训练】铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液，这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用.但是由于在实际生活中运用方法不当，电池能量未被完全运用，导致了能源的奢侈，因此精确预料铅酸电池剩余放电时间是运用中急需解决的问题.探讨发觉，当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间t的改变率y满意y=aebt+Q