新高考数学一轮复习 专项分层精练第13 课 导数与函数的单调性（解析版）

第13课导数与函数的单调性（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）对任意的SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数SKIPIF1<0，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则对任意的SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即有函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用导函数证明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，又因为SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选:D.3．（2023春·河南开封·高二校考期中）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求导数，利用SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，分离参数进行求解.【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，因为二次函数SKIPIF1<0的图象的对称轴为SKIPIF1<0，且开口向上所以SKIPIF1<0的最小值为1，所以SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知函数SKIPIF1<0为偶函数，定义域为R，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据导函数小于0，得到偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，从而对不等式变形后得到SKIPIF1<0，解出解集.【详解】因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不满足不等式，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B二、多选题5．（2023·广东汕头·统考三模）设函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点C．SKIPIF1<0存在两个零点 D．SKIPIF1<0在(1，+∞)上单调递增【答案】AD【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即方程只有一个实数根，即SKIPIF1<0，故C错误.故选：AD6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增B．SKIPIF1<0有两个零点C．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是奇函数【答案】AC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0都在SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0也在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；故A正确；对B：由A知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0只有一个零点，B错误；对C：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据导数几何意义可知，C正确；对D：SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称，故SKIPIF1<0是非奇非偶函数，D错误.故选：AC.三、填空题7．（2023春·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是.【答案】SKIPIF1<0【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式.【详解】因为函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0为增函数，则不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是．【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的奇偶性与单调性，则问题转化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即可得到自变量的不等式，解得即可.【详解】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0为偶函数，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即不等式的解集是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为．【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据函数特点构造SKIPIF1<0，得到其奇偶性和单调性，再对不等式SKIPIF1<0变形得到SKIPIF1<0，根据单调性得到SKIPIF1<0，解不等式求出答案.【详解】令SKIPIF1<0，定义域为R，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0在R上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论SKIPIF1<0的单调性.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.（2）首先求导得到SKIPIF1<0，再分类讨论SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0情况的单调性即可.【详解】（1）由已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由（1）知，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；（ⅱ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；（ⅲ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；综上可得：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减.【二层练综合】一、单选题1．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，利用导数研究其单调性后可得SKIPIF1<0的大小.【详解】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为减函数，在SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．二、多选题2．（2023春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】对于A，由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0的值，对于B，由选项A，可求得SKIPIF1<0，然后利用导数可求出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值，对于C，由题意可得SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0的范围，对于D，将问题转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，构造函数SKIPIF1<0，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0递增，在SKIPIF1<0上递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以B正确，对于C，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正确，对于D，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D错误，故选：ABC三、填空题3．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）过点SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切的直线方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】由导数的几何意义得出切线方程SKIPIF1<0，进而由切点的位置得出SKIPIF1<0，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则切线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在切线上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以方程SKIPIF1<0只有唯一解为SKIPIF1<0.即切点坐标为SKIPIF1<0，故所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的单调性即可.（2）求出SKIPIF1<0，将所证转化为SKIPIF1<0，进而转化为证明SKIPIF1<0恒成立，构造函数求其最大值即可证明.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，综上，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.（2）由（1）可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0恒成立.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，∴SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0恒成立，【三层练能力】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列关系式恒成立的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.【详解】构造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0