912余弦定理课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第四册第九章解三角形9.1.2余弦定理课标定位素养阐释1.理解余弦定理的证明.2.熟练掌握余弦定理及其变形,并会应用余弦定理及其变形解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.4.提升数学运算与逻辑推理素养.自主预习新知导学一、余弦定理1.在Rt△ABC中,C=90°,有a2+b2=c2,此式在斜三角形中是否成立?提示:不成立.2.余弦定理语言描述三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方

和

减去这两边与它们夹角余弦的积的

2倍表达形式a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC适用范围对任意的三角形都成立结构特征“三边的平方”、两边及夹角的余弦3.在△ABC中,若a=c=2,B=120°,则b=

.

二、余弦定理的变形1.在△ABC中,若已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,能否求角A?3.余弦定理及其变形对于任意三角形都成立吗?提示:成立.4.在△ABC中,三边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,c=,求△ABC的最大内角.∴C=120°,∴△ABC的最大内角为120°.解:∵c>b>a,∴角C最大.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用余弦定理去解.(

)(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.(

)(3)利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题.(

)(4)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.(

)×√√√合作探究释疑解惑探究一利用余弦定理解三角形【例1】

(1)在△ABC中,已知a=2,b=,C=15°,解此三角形;(2)在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC的值.分析:(1)由条件知本题是已知两边及其夹角解三角形问题,故可用余弦定理求出边c,结合正弦定理求角A.(2)在三角形中,大边对大角,故a边所对角最大.又因为b2+c2-a2>0,即cos

A>0,所以A为锐角,即A=30°.故B=180°-(A+C)=180°-(30°+15°)=135°.(2)因为a>c>b,所以A为最大角.延伸探究本例(2)变为:在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=7∶3∶5,求最大角.解:∵sin

A∶sin

B∶sin

C=7∶3∶5,∴a∶b∶c=7∶3∶5.设a=7t(t>0),则b=3t,c=5t,∵a>c>b,∴A最大.反思感悟利用余弦定理解三角形的方法

类型一般解法已知三角形两边和它们的夹角,如a,b,角C①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos

C,求出c.②根据cos

A=,求出A.③根据B=180°-(A+C),求出B.求出第三边后,也可用正弦定理求角,这样可以使计算简便,应用正弦定理求角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0,π)内是不单调的),应先求较小边所对的角,它必是锐角类型一般解法已知三角形三边①连续用余弦定理求出两角.②由A+B+C=180°,求出第三个角.由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角【变式训练1】

(1)已知三角形的三边长分别为a=5,b=7,c=8,则该三角形的面积为(

)答案:(1)B

(2)B探究二利用余弦定理判断三角形的形状分析:利用余弦定理将已知条件化为边的关系,从而判断三角形形状.∴a-b+c=b-a+c,∴a=b,即△ABC为等腰三角形.反思感悟利用三角形的边角关系判断三角形形状的两个思路(1)利用边的关系判断:利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过代数恒等变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用角的关系判断:利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用“三角形内角和为180°”这个结论.【变式训练2】

在△ABC中,若2B=A+C,且b2=ac.试判断△ABC的形状.解:∵2B=A+C,且A+B+C=180°,∴B=60°.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos

B=a2+c2-2accos

60°=a2+c2-ac.已知b2=ac,∴a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,∴a=c,可知△ABC为等边三角形.探究三利用余弦定理证明恒等式分析:所证式子中既有边又有角,可先运用三角公式把复角化为单角,再借助正弦定理、余弦定理证明.当要证的等式中既有边又有角时,要注意边角的转化.如本例,由右证左则应化角为边,由左证右则应化边为角.反思感悟【变式训练3】

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c满足2b=a+c,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);证明:(1)∵a+c=2b,∴由正弦定理得sin

A+sin

C=2sin

B.∵sin

B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin

A+sin

C=2sin(A+C).【易错辨析】

因忽略三角形的三边关系致误【典例】

已知钝角三角形的三边长分别为2a+1,a,2a-1,求实数a的取值范围.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中忽视了构成三角形的条件,从而使a的范围扩大了.正解:∵2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是三条线段能构成三角形的充要条件.若是在锐角或钝角三角形中,则三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角三角形,则有a2<b2+c2,b2<a2+c2,c2<a2+b2;若△ABC为钝角三角形,最长边为a,则一定有a2>b2+c2,这些都可以根据余弦定理直接推导出来.防范措施【变式训练】

已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,求x的取值范围.解:由三角形三边的关系得3-2<x<3+2,即1<x<5.又因为三角形为锐角三角形,所以由余弦定理可知任一边的平方小于另两边的平方和,随堂练习1.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则角C的大小为(

)A.60°

B.90° C.120°

D.150°答案:C解析:∵(a+b-c)(a+b+c)=ab,∴a2+b2-c2=-ab.答案:B解析:∵a>b>c,∴C最小,3.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是(

)A.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则C是锐角B.在△ABC中,若a2<b2+c2,则A>B+CC.在△ABC中,若4sinAcosA=0,则△ABC一定是直角三角形D.任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3答案:ACD4.在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC的形状为