广东省部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

2024—2025年度高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（）A. B. C. D.2.椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则的周长为（）A.16 B.18 C. D.203.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.94.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（）A.9 B.1 C.1或9 D.11或95.在正方体中，，，则（）A. B.C. D.6.过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（）A. B.14 C.15 D.167.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（）A. B. C. D.8.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与圆相交于，两点，则D.过上一点向圆作切线，切点为，则10.在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）A.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面所成角的余弦值为11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（）A.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为C.若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为D.若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为___________.13.双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为___________，渐近线方程为___________.14.已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线的方程.16.（15分）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为.（1）求曲线的方程.（2）过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.17.（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求该几何体的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程.（2）已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求.19.（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于A，B两点（A在B上方），当轴时，直线为的等线.（1）求双曲线的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）已知为坐标原点，直线OP与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.[注]双曲线在其上一点处的切线方程为.2024—2025年度高二上学期期中考试数学参考答案1.D直线的斜率为，倾斜角为120°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾斜角为30°，斜率为.2.B因为长轴长为10，所以长半轴长，短半轴长，半焦距，故的周长为.3.C因为等于点到准线的距离，所以当PQ垂直于准线时，有最小值，最小值为.4.A因为，所以，故.5.D因为，，所以.因为，所以.6.D记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，所以直线AB的方程为.设，，联立方程组得，所以，所以.7.A如图，建立空间直角坐标系，则，，.易知三棱锥的外接球球心为PD的中点，所以.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.8.A由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则，所以，整理得，即圆与圆的根轴为直线.取关于对称的点，则.因为，所以在上，所以当，，三点共线时，取得最大值.因为到的距离为，到的距离为，所以，即的最大值为.9.ABD若，则，得，故A正确.若，则，得，故B正确.因为过定点，所以，故C不正确.因为，所以当时，取得最小值.因为圆心到直线的距离，所以，故D正确.10.AC如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.对于A，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A正确.对于B，因为，，所以，所以DP，EC不垂直，故B错误.对于C，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C正确.对于D，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D错误.11.BCD对于A，只需，因为，所以，所以，故A错误.对于B，若存在，则只需，所以，故B正确.对于C，因为，，所以，.因为，所以，，所以，故C正确.对于D，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.由，得，所以D正确.12.向量在向量上的投影向量的模为.13.；设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为，长轴顶点为，所以，，所以.故双曲线的标准方程为，渐近线方程为.14.11设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，（图略），所以，故的最小值为.15.解：（1）由题意，可知解得因为，所以椭圆的方程为.（2）设，，则两式相减得，整理可得.因为线段AB的中点坐标为，所以，，.所以直线的斜率，故直线的方程为，即.16.解：（1）设，因为，所以，所以，所以的方程为.（2）设，，.联立方程组得，所以，.因为，所以，故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.17.解：取AC的中点，连接，，则，.因为平面平面，且交于AC，所以平面.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.（1）连接BC.因为，，所以.因为，，所以，则，所以.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离，所以，所以该几何体的体积.（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，则.设平面的法向量为，因为，，所以所以.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设，，联立方程组得，则，.易知，的斜率存在，设的方程为，联立方程组得.由，解得，所以的方程为.同理可得，的方程为.由解得即点.因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故.因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即.由，得.因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的离心率为，又因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.（2）设，则双曲线在点处的切线的方程为.双曲线的渐近线方程为，可得，，所以，所以