8.5乘法公式第一课时七年级数学下册课件（冀教版）

8.5乘法公式第1课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．(m+a)(n+b)=mn+mb+na+ab多项式乘法法则：情景导入如果(x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢？这就是从本课起要学习的内容.如果m=n，且都用x表示，那么上式就成为：

(x+a)(x+b)=

x2+

(a+b)+ab这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法——

两个相同字母的二项式的乘积.新课精讲探索新知1知识点平方差公式的特征1.计算：(1)(x+1)(x－1)=_______.(2)(a+2)(a－2)=_______.(3)(2x+1)(2x－1)=________.(4)(a+b)(a－b)=________.探索新知2.上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？3.乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？探索新知(a＋b)(a－b)＝a2－b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做平方差公式.归纳探索新知例1计算：(1)(2x+y)(2x－y)；(2)(3)(－5a+3b)(－5a－3b).(1)(2x+y)(2x－y)=(2x)2－y2=4x2－y2

.解：探索新知(2)(3)(－5a+3b)(－5a－3b)=(－5a)2－(3b)2=25a2－9b2探索新知总

结

本题运用转化思想求解．将不符合平方差公式形式的式子化为符合平方差公式形式的式子，常见转化方法有位置变化、符号变化、系数变化、指数变化等．易错警示：用公式时，当a、b表示的不是单独数字或字母时，要用括号括起来．典题精讲1计算：(1)(x－2)(x＋2)；(2)(x＋2y)(x－2y)

；(3)(3m＋2n)(3m－2n)；(4)(4a＋3b)(3b－4a).(1)(x－2)(x＋2)＝x2－4.(2)(x＋2y)(x－2y)＝x2－(2y)2＝x2－4y2.(3)(3m＋2n)(3m－2n)＝(3m)2－(2n)2＝9m2－4n2.(4)(4a＋3b)(3b－4a)＝(3b)2－(4a)2＝9b2－16a2.解：

典题精讲下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.(1)(－m－2n)(m－2n)＝m2－2n2(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2.2(1)不正确，应为(－m－2n)(m－2n)＝－(m＋2n)(m－2n)＝－[m2－(2n)2]＝4n2－m2.(2)不正确，应为(－a＋b)(－a－b)＝－(b－a)(b＋a)

＝－(b2－a2)＝a2－b2.

解：

典题精讲平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b(

)A．是数或单个字母

B．是单项式C．是多项式D．是单项式或多项式下列计算能运用平方差公式的是(

)A．(m＋n)(－m－n)B．(2x＋3)(3x－2)C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)D.3D4D探索新知2知识点平方差公式(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中

有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘

式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪

个数相当于公式中的b，不要混淆．(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或

多项式．(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．探索新知例2先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)·(2y－x)，其中x＝1，y＝2.先利用平方差公式将原式化简合并，再将字母的值代入求值．导引：原式＝(2x－y)(2x＋y)－(2y＋x)(2y－x)＝(2x)2－y2－[(2y)2－x2]＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15.解：探索新知总

结

解答本类题的关键是先利用平方差公式将原式化简，同时有同类项的要合并同类项，再将字母的值代入即可得到解决．典题精讲计算：(1)(3x＋4)(3x－4)；(2)(3a－4b)(－4b－3a)；(3)；(4).1典题精讲(1)(3x＋4)(3x－4)＝(3x)2－42＝9x2－16.

(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b2－9a2.(3)(4)解：典题精讲解下列方程：(1)4x2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1；(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x2＝20.2(1)4x2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，4x2＋x－(4x2－9)＝1，4x2＋x－4x2＋9＝1，x＋9＝1，x＝－8.解：

典题精讲(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x2＝20，2(9－x2)＋2x＋2x2＝20，18－2x2＋2x＋2x2＝20，2x＋18＝20，2x＝2，x＝1.典题精讲已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为________．下列运算正确的是(

)A．x3＋x5＝x8

B．x2·x5＝x10C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(2x)5＝2x533C4典题精讲下列计算正确的是(

)A．b3·b3＝2b3B．(a＋2)(a－2)＝a2－4C．(ab2)3＝ab6D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b5B典题精讲下列计算正确的是(

)A．2a3＋3a3＝5a6B．(x5)3＝x8C．－2m(m－3)＝－2m2－6mD．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(

)A．m＝2，n＝3B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3D．m＝－2，n＝36D7B典题精讲若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为(

)A．14B．－14C．45D．－458D典题精讲如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(

)A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b29D探索新知3知识点利用平方差公式简便计算例3运用平方差公式计算：(1)2014×2016－20152；(2)1.03×0.97；(3)40×39.探索新知在(1)中，2014与2016都与2015相差1，即2014＝2015－1，2016＝2015＋1；在(2)中1.03与0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；在(3)中40与39都与40相差

，即40＝40＋

，39＝40－

，因此可运用平方差公式进行计算．导引：探索新知(1)原式＝(2015－1)(2015＋1)－20152

＝20152－1－20152＝－1；(2)原式＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032

＝1－0.0009＝0.9991；(3)原式＝解：探索新知总

结

本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解.典题精讲用平方差公式计算：(1)998×1002；(2)395×405.1(1)998×1002＝(1000－2)×(1000＋2)＝10002－22＝1000000－4＝999996.(2)395×405＝(400－5)×(400＋5)＝4002－52＝160000－25＝159975.解：典题精讲用平方差公式计算：(1)99×101；(2)39.8×40.2.2(1)99×101＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1＝10000－1＝9999.(2)39.8×40.2＝(40－0.2)×(40＋0.2)＝402－0.22＝1600－0.04＝1599.96.解：典题精讲(1)用简便方法计算：19×21=______；29×31=______；39×41=______；49×51=______.(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.339989915992499(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n为正整数)．解：典题精讲运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).4(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1＝256－1＝255.解：典题精讲计算20182－2017×2019的结果是(

)A．1

B．－1

C．2

D．－25A典题精讲计算：(1)499×501；(2)60×59；(3)99×101×10001.6(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12＝250000－1＝249999.(2)60×59＝

＝602－＝3600－

＝3599.解：典题精讲(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001＝(1002－1)×10001＝9999×10001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100002－1＝99999999.易错提醒下列运算正确的是(

)A．(a－2b)(a－2b)＝a2－4b2B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a2＋4b2C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a2－4b2D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a2－4b2易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错.D学以致用小试牛刀下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2a＋b)(－2a＋b)B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b)D．(a＋b2)(a2－b)A1小试牛刀如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(

)A．a2＋4

B．2a2＋4aC．3a2－4a－4D．4a2－a－2C2小试牛刀3先化简，再求值：(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)，其中x＝.原式＝4－x2＋x2＋4x－5＝4x－1，当x＝

时，原式＝6－1＝5.解：小试牛刀已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．把b－c＝2，a＋c＝14相加得：a＋b＝16，所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.解：4小试牛刀5已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1，因为2a2＋3a－6＝0，所以2a2＋3a＝6.所以原式＝7.解：小试牛刀6

探究活动：(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)；(2)若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形如图②，面积是_______________(写成多项式乘法的形式)；(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式____________________________．a2－b2(a＋b)(a－b)(a＋b)(a－b)＝a2－b2小试牛刀知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：(1)计算：(a＋b－2c)(a＋b＋2c)；(2)若4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，求2x－3y的值．解：(1)(a＋b－2c)(a＋b＋2c)＝(a＋b)2－4c2

＝a2＋2ab＋b2－4c2.(2)因为4x2－9y2＝10，所以(2x＋3y)(2x－3y)＝10，又因为4x＋6y＝4，即2x＋3y＝2，所以2x－3y＝5.小试牛刀

先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1.问题：计算：(1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(364＋1)－

；(2)7小试牛刀(1)原式解：小试牛刀(2)原式小试牛刀8(1)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b