人教版高中数学必修第一册全册教学课件

人教版高中数学必修第一册全册教学课件第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第1课时集合的概念基础知识元素与集合的概念(1)集合：定义把一些能够确定的、不同的_______汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)表示方法通常用英文大写字母A，B，C，…表示对象定义组成集合的每个对象都是这个集合的元素表示方法通常用英文小写字母a，b，c，…表示(2)元素：如果a是集合A的元素，就记作a∈A,读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A,读作“a不属于A”例如：(1)如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5∉A；(2)如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合，则-1_______B，0_______B，1_______B:(3)如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P∈C.∈∈∉现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素.一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅。由空集的定义可得，0_______∅，1_______∅.∉∉根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点:(1)确定性：集合的元素必须是确定的。因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来。(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。

因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素，例如，由英语单词success(成功)中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有4个，即s，u，c，e。(3)无序性：集合中的元素可以任意排列。尝试与发现(1)你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗?(2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么?(3)不等式x－2>1的所有解能组成一个集合吗?(3)的答案都是“能”，但(2)的答案是“不能”，因为“高个子同学”不满足确定性。两个集合相等定义给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等。表示方法记作A＝B集合的分类(1)集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集。有限集：含有有限个元素的集合无线集：含有无限个元素的集合几种常见的数集

∈∈∈如不特别声明，本书中所有字母表示的数均指实数。利用集合的符号，可以简化有关描述，比如:“0是整数”可以表示为“0∈Z”;“π不是有理数”可以表示为“π∉Q”;“如果n是自然数，那么n+1也是自然数”可以表示为“如果n∈N，那么n+1∈N”。基础自测1．下列所给的对象能组成集合的是_______(填序号)．①所有的正三角形；②高中数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的所有正整数；④某校高一年级的16岁以下的学生．①④

解析：①能组成集合。其中的元素需满足三条边相等。②不能组成集合。因为“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能组成集合。③不能组成集合。因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能组成集合。④能组成集合．其中的元素是“该校高一年级16岁以下的学生”。

①④3.方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有____个元素。解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1。24．已知集合A中含有两个元素a－1和2a，若2∈A，则实数a的值为_______.解析：∵2∈A，∴2＝a－1或2＝2a.若2＝a－1，则a＝3.此时集合A中含有两个元素2，6，符合题意；若2＝2a，则a＝1，此时集合A中含有两个元素0，2，符合题意。综上所述，实数a的值为3或1。1或3典例剖析

集合的相关概念思路探究：根据集合元素的确定性来判断。解析：(1)能，因为男队员是确定的。(2)能，因为x2－1＝0的所有实根为－1,1，满足集合中元素的确定性。(3)不能，“近似值”无明确标准，故构不成集合。(4)能，因为大于0的整数是确定的。归纳提升：判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合。同时还要注意集合中元素的互异性、无序性。1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以组成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合；③正偶数的全体可以组成一个集合；④大于2014且小于2019的所有整数不能组成集合．其中正确的有_______(填序号)．①③

对点训练解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中大于2014且小于2019的所有整数能组成集合，所以④错误。典例剖析(1)下列结论中，不正确的是(

)A．若a∈N，则－a∉N

B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q

D．若a∈R，则a3∈RA

元素与集合的关系

A

思路探究：研究元素与集合的关系关键是明确集合由哪些

元素构成的。

归纳提升：判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可。(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可。对点训练

B

典例剖析集合中元素的特性及应用已知－3是由x－2，2x2＋5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值。思路探究：－3是集合中的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解。

求解检验作答根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验写出所有符合题意的字母的取值对点训练3．若集合A中含有两个元素a－3和2a－1，已知－3是A中的元素，

如何求a的值？解析：∵－3是A中的元素，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合中含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述：满足题意的实数a的值为0或－1.完成课后相关练习同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法基础知识列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以。但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为{0，1};又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合可用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24};再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}，无限集有时也可用列举法表示。例如，自然数集N可表示为

{0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一个元素的集合{a}也是一个集合，要将这个集合与它的元素a

加以区别，事实上，a∈{a}描述法尝试与发现以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便，你觉得可以怎样表示?满足x>3的所有数组成的集合A;(2)所有有理数组成的集合Q.显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”，而不属于集合A的元素都不具有这个性质所以可以把集合A表示为{x

|x是大于3的数}或{x|

x>3},即A={x|x是大于3的数)或A={x|x>3}.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为Q＝{x

|x是两个整数的商}

上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为{x|x是一组对边平行且相等的四边形}又如，所有能被3整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为{x|x=3n，n∈Z}类似地，所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为{x|x=3n+1，n∈N}不过这一集合通常也表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}这就是说，集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I

|p(x)}典例精析用适当的方法表示下列集合：方程x(x－1)=0的所有解组成的集合A；平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.(1)因为0和1是方程x(x－1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1}.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={(x，y)|x>0，y>0)}.思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，an}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括习惯上，如果a<b，则集合{x|

a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间，例如，集合{x

|1≤x≤2)可简写为闭区间[1，2]。类似地，如果a<b;集合{x|

a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；集合{x|

a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|

a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间。上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度，区间可以用数轴形象地表示。例如，区间[-2，1)可用下图表示，注意图中-2处的点是实心点，而1处的点是空心点。如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间(－∞，+∞);集合{x|x≥a}可表示为区间[a，+∞);集合{x|x＞a}可表示为区间____________；集合{x|x≤a}可表示为区间____________；集合{x|x＜a}可表示为区间____________；(a，+∞)(－∞，a](－∞，a)类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示。例如，区间[7，+∞)可以用下图表示。7x思考3：区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算。典例精析

基础自测1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为(

)A．{0,1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}

D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．D

2．第一象限的点组成的集合可以表示为(

)A．{(x，y)|xy>0}

B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}

D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．C

3.能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为____________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是_____(填序号)．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用区间表示为___________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为_________；(3){x|x>2}可用区间表示为____________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为______________.{x|x＝2n，n∈N*}

③

[－1,2]

(1,3]

(2，＋∞)

(－∞，－2]

典例剖析用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；

思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式。

x－y=12x+3y=4的解是

归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次。(3)用花括号括起来。2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示。又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合。对点训练

用描述法表示集合

思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件。解析：(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0且y>0}．(3)要使该式有意义，需有解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．x≠02－x≥0，归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式。2．准确说明集合中元素所满足的特征。3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号。4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系。对点训练2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0}；②所有奇数组成的集合为{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．其中正确的有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个A

解析：①正确；②不正确，应为{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正确，{(x，y)|y＝1－x}表示的是点集，而{x|y＝1－x}表示的为数集．集合与方程的综合问题(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(

)A．1

B．2 C．0

D．0或1D

思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；(2)先求出a的值，再求元素之积。

归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根。(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。对点训练3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，

求a的取值范围。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，∴4－2a+b=0，9－3a+b=0，解得a=5，b=6，因此a=5，b=6(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素。由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]。对集合中的代表元素认识不到位用列举法表示下列集合：(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(3)C={方程组的解}.x＋y=3x－y=－1错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y，习惯认为是x，误认为A＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C＝{1,2}．解析：(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以当x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，所以用列举法表示为A＝{2,5,6}．(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有

满足条件，所以用列举法表示为B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．x=0,y=6,x=1,y=5,x=2,y=2,(3)方程组

的解是有序实数对，其解的集合可以表示为

，用列举法表示为{(1,2)}．x＋y=3,x－y=－1,(x，y)|x=1,y=2,误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么。集合中的“新定义”问题“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题。由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解。典例剖析定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为(

)A．0

B．2

C．3

D．6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义。D

解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可。∵1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0,2,4}，∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.规律方法：(1)理解新定义。例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的。(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B。(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×”“÷”一样，用符号表示运算法则。完成课后相关练习同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.2集合的基本关系基础知识给定集合A={1，3}，B={1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一个元素都是集合B的元素。一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作1.子集对应地，如果A不是B的子集，则记作AB(或BA)读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).尝试与发现根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么A⊆A吗?(2)你认为可以规定空集∅是任意一个集合的子集吗？为什么?不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A

称为集合B

的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A

真包含于B”(或“B真包含A”)。1.真子集例如，分析集合A={1，2)，B={1，2,3，4}之间的关系，可知A是B的子集(即A⊆B)，而3∈B且3∉A，因此A是B的真子集，即A⫋B.BA如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图，例如，A是B的真子集，可用右图表示。根据子集、真子集的定义可知:对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C.典例精析例1.写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集。分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3。可依下列步骤来完成此题：写出元素个数为0的子集，即∅；(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8};(3)写出元素个数为2的子集，即______________________;(4)写出元素个数为3的子集，即______________________.解：集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}。在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集。{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}例2.已知区间A=(－∞，2]和B=(－∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围。解：因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示。从而可知a≤2.3.集合的相等与子集的关系情境与问题已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={－1，－2}，这两个集合的元素有什么关系？S⊆T吗？T⊆S吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗?上述问题中，组成S的元素与组成T的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定义可知S⊆T且T⊆S.一般地，由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；(2)如果

A=B，则A⊆B

且B⊆A.典例精析例3.写出下列每对集合之间的关系：(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5};(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；(3)E=(－∞，3)，F=(－1，2];(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，

H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形).分析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，

所以只要针对集合中的元素进行分析即可。解：(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B，所以B⫋A(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C=D.(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示由图可知F⫋E(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G=H.由上可以看出，当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等。基础自测1．已知A＝{1,2}，则A的子集共____个．解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个。2．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中具有相等关系的是__________.解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的为在函数y＝(x－1)(x＋2)图像上的点构成的集合，故M＝N.4

M和N

3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝______.解析：由题意知1－a＝2，∴a＝－1.4．若A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系．解析：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图所示．－1

集合间关系的判断下列各个关系式中，正确的是(

)D

归纳提升：1.判断集合间关系的常用方法2．已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系。首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解。当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论。求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性。对点训练1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(

)B

－2

确定集合的子集、真子集集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是(

)A．16

B．8

C．7

D．4C

解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，

所以A的真子集的个数为23－1＝7.归纳提升：求解有限集合的子集的三个关键点(1)确定所求集合。(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出。(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身。另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个。对点训练1.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(

)A．2

B．4

C．6

D．82.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集。B

解析：1.根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．2.∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．混淆集合间的属于和包含关系误区警示：判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但当以集合为元素组成集合时，集合间也可能为属于关系。解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么。根据子集的关系，确定参数的值对于两个集合A、B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A⊆B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法。1．分类讨论是指：(1)A⊆B在未指明集合A非空时，应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论。(2)因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论。2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数。3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证。验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值。由集合相等求参数已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值。思路探究：集合A与集合B中除公共元素a外，另外两个元素应分别对应相等。完成课后相关练习同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.3集合的基本运算第1课时交集与并集基础知识1.交集情境与问题学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：(1)中考的物理成绩不低于80分;(2)中考的数学成绩不低于70分.如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢?可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M.一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B,读作“A交B”。两个集合的交集可用右图所示的阴影部分形象地表示。因此，上述情境与问题中的集合满足P∩M=S.例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为{(x，y)|y=0}∩{(x，y)|x=0}=__________.{(0，0)}

从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算。交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：(1)A∩B=B∩A；(2)A∩A=A；(3)A∩∅=∅∩A=∅；(4)如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立。思考1：两个非空集合的交集可能是空集吗？提示：两个非空集合的交集可能是空集，即A与B无公共元素时，A与B的交集仍然存在，只不过这时A∩B＝∅。反之，若A∩B＝∅，则A，B这两个集合可能至少有一个为空集，也可能这两个集合都是非空的，如：A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8,10}，此时A∩B＝∅.典例精析例1.求下列每对集合的交集：(1)A={1，－3}，B={－1，－3};(2)C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8};(3)E=(1，3]，F=[－2，2).解：(1)因为A和B的公共元素只有－3，所以A∩B=_________(2)因为C和D没有公共元素，所以C∩D=∅(3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示由图可知E∩F=(1，2).{－3}

例2已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B.解：A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解。例如，平面直角坐标系中的点(x，y)在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵标大于0，用集合的语言可以表示为{(x，y)|x>0}∩{(x，y)|y>0}={(x，y)|x>0，y>0},也就是说，为了保证点(x，y)在第一象限，条件横坐标大于0与纵坐标大于0要同时成立。2.并集情境与问题某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加，如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢?可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N.一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B,读作“A并B”两个集合的并集可用下图(1)或(2)所示的阴影部分形象地表示，由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算。因此，上述情境与问题中的集合满足M∪N=P.例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6}.注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只出现一次。尝试与发现类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有:(1)A∪B=__________(2)A∪A=__________;(3)A∪∅=∅∪A=__________(4)如果A⊆B，则A∪B=__________，反之也成立。B∪AAAB例3已知区间A=(－3，1)，B=[－2，3]，求A∩B，A∪B.在数轴上表示出A和B，如图所示.由图可知A∩B=_____________，A∪B_____________.[－2，1)(－3，3]

典例精析我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解。例如，x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为{x|x≥0}={x|x>0或x=0}={x|x>0}∪{x|x=0}，也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可.思考2：集合A∪B中的元素个数如何确定？提示：①当两个集合无公共元素时，A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和；②当两个集合有公共元素时，根据集合元素的互异性，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次，所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数。交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩AA∪B＝B∪AA∩A＝AA∪A＝AA∩∅＝∅∩A＝∅A∪∅＝∅∪A＝A如果A⊆B，则__________，反之也成立如果A⊆B，则__________，反之也成立A∩B＝A

A∪B＝B

3.交集与并集的运算性质基础自测1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(

)A．{0,1}

B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2}

D．{－1,0,1}解析：M∪N＝{－1,0,1,2}．C

2．设集合M＝(－3,2)，N＝[1,3]，则M∩N＝(

)A．[1,2)

B．[1,2]C．(2,3]

D．[2,3]A

3.已知集合M＝{x|x2＝9}，N＝{x|－3≤x<3，x∈Z}，则M∩N＝(

)A．∅ B．{－3}C．{－3,3}

D．{－3，－2,0,1,2}解析：由题意，得M＝{－3,3}，由于N＝{－3，－2，－1,0,1,2}，则M∩N＝{－3}．B

4．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∪B＝________________，A∩B＝________________.5．已知A＝{－1}且A∪B＝{－1,3}，则所有满足条件的集合B＝________________.{x|－5<x<3}

{x|－3<x<2}

{3}或{－1,3}

交集的运算典例剖析(1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(

)A．{0,2}

B．{1,2}C．{0}

D．{－2，－1,0,1,2}(2)已知A＝{x|x≤－2或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，则A∩B＝_________.A

(5,7]

(3)集合A＝[－2,5]，集合B＝[m＋1,2m－1]．①若B⊆A，求实数m的取值范围；②若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．思路探究：(1)可直接根据集合运算的含义分析求解。(2)(3)中将集合A和B在数轴上表示出来，再结合集合运算的定义求解。归纳提升：求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可。(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍。对点训练(1)已知集合P＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，则P∩Q＝__________.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求实数a的值．解析：(1)因为P＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，故P∩Q＝(－∞，0)．(－∞，0)

(2)因为A∩B＝{－3}，所以－3∈B.而a2＋1≠－3，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.①当a－3＝－3时，a＝0.A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，于是A∩B＝{－3,1}，这样与A∩B＝{－3}矛盾；②当2a－1＝－3时，a＝－1，符合A∩B＝{－3}，综上知a＝－1.典例剖析并集的运算设集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2<x<2}，求A∪B.思路探究：首先明确集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，然后借助于数轴写出A∪B.归纳提升：求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集。(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集。(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集。对点训练2．(1)设集合A＝{x|－4<x－1<2}，B＝{x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为____.(2)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是____.6

4

集合运算性质的运用典例剖析已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的集合为_____________.归纳提升：利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解。(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解。对点训练3．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围。完成课后相关练习同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.3集合的基本运算第2课时补集及其应用基础知识3.补集情境与问题如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：这三个集合之间有什么联系?(2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论?可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F.在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U

表示如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA读作“A在U中的补集”，由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算.集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如图所示。因此，上述情境与问题中的集合满足∁sF=M∁sM=F例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则∁UA={2，4，6}注意，此时∁UA仍是U的一个子集，因此∁U(∁UA)也是有意义的，此例中的∁U(∁UA)={1，3，5}=A

事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：(1)A∪(∁UA)=U；(2)A∩(∁UA)=∅;(3)∁UA(∁UA)=A.典例精析已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x²≤7}，B={x∈U|0＜2x≤7}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B).分析：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集.解：不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}.因此∁UA={3，4，5，6，7}∁UB={0，4，5，6，7}(∁UA)∪(∁UB)={0，3，4，5，6，7}∁U(A∩B)={0，3，4，5，6，7}

解：在数轴上表示出A和B，如图所示.由图可知∁RA=___________，∁RB____________.

基础自测1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则∁UM＝(

)A．{x|0≤x≤2}

B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2}

D．{x|x≤0或x≥2}解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}．A

2．已知全集U＝{x|－5<x<5，x∈Z}，A＝{0,1,2}，则∁UA＝___________________________________.解析：易知U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，故∁UA＝{－4，－3，－2，－1,3,4}．{－4，－3，－2，－1,3,4}

3．下列说法正确的是___________(填序号)．①全集一定包含任何元素；②同一个集合在不同的全集中补集不同；③不同的集合在同一个全集中的补集也不同．②③

4．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝______________.解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．{x|0<x≤2}

5．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U＝___________.解析：∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}．{0,2,4,6}

补集的运算典例剖析已知全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<3}，集合B＝{x|x<1}．求：(1)∁UA，∁UB；(2)∁U(A∩B)．思路探究：(1)根据补集的定义，借助于数轴写出；(2)先求A∩B，再根据补集的定义写出。归纳提升：求集合补集的方法(1)当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解。(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解。对点训练(1)若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(

)A．3个 B．5个C．7个 D．8个(2)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，则∁UA＝___________________.C

{－3}∪(4，＋∞)

解析：(1)因为U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，所以A＝{0,1,3}，所以集合A的真子集共有7个．(2)借助数轴得∁UA＝{－3}∪(4，＋∞)．交集、并集、补集的综合运算典例剖析(1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.(2)全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.思路探究：(1)可借助数轴分析求解。(2)将集合用维恩图表示出来，进行观察易写出集合A和B中的元素；也可直接根据集合运算的含义分析求解。解析：(1)把全集U和集合A，B在数轴上表示(如图所示)，由图可知∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2，或x＝3}．(2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．方法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}．∴A＝{1,3,9}．归纳提升：解决集合运算问题的方法1.解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集。2.当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如区间形式表示的集合)，则可运用数轴求解。对点训练(1)如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(

)A．(M∩P)∩S

B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁IS

D．(M∩P)∪∁IS(2)已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2,3)，B＝[－3,2]，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．C

典例剖析补集运算中的参数问题(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是_______.思路探究：解题时要注意对参数取值的检验．(1)中需对a的值是否满足A⊆U进行检验．(2)中要验证“＝”能否取到．a≥2

解析：(1)∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.∴U＝{2,3，a2＋2a－3}＝{2,3,5}．当a＝2时，A＝{|2a－1|,2}＝{3,2}，A⊆U，符合题意；当a＝－4时，A＝{|2a－1|,2}＝{9,2}，A不是U的子集，故舍去．∴a＝2.(2)∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，由于A∪∁RB＝R，如图所示，所以a≥2.归纳提升：由集合的补集求解参数的方法(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解。(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般借助数轴分析求解。对点训练设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，令集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞)．补集思想的应用——正难则反典例剖析若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__________________.思路探究：若采取分类讨论的方法，所分情况较多，求解比较麻烦，可考虑构造“补集”，然后再利用“补集”的补集求解。归纳提升：运用补集思想解题的步骤当从正面考虑情况较多，问题较复杂时，往往考虑运用补集思想。其解题步骤为：第一步，否定已知条件，考虑反面问题；第二步，求解反面问题对应的参数范围；第三步，取反面问题对应的参数范围的“补集”。对点训练已知集合A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________________________.解析：因为A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围，在数轴上表示集合A，B，如图所示．忽视全集已知集合A＝{x|x2－4mx＋1＝0，x∈R}，B＝(－∞，0)，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围。典例剖析误区警示：当出现“至少”“至多”或正面直接求解情况较多时，我们可以考虑运用补集思想去解决，但必须明确全集是谁，只有正确求出全集，才可能求出补集。图示法典例剖析进行集合的交、并综合运算时，为了保证运算的准确性、有效性、简捷性，通常需要借助Venn图或数轴这两个有力的工具，数形结合来分析得出结果。一般来说，用列举法表示的数集或者研究比较抽象的集合之间关系时，用Venn图比较方便，如(∁