北师大版高中数学必修第二册全册教学课件

北师大版高中数学必修第二册全册教学课件周期变化1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.（重点）2.会分析周期函数的图象和性质.（难点）学习目标如图是水车的示意图.水车上点P到水面的距离为y，假设水车匀速，则每经过时间t，点P又回到原来的位置，那么y每经过时间t就会取相同的值，因此，y随时间t的变化是周期变化.实例分析例1：讨论函数f(x)=(-1)[x]的图象和性质.解：在“函数”一章，已经学习了函数y=[x].对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数.根据初中学习的幂运算，可以推出：当[x]为偶数时，函数f(x)=(-1)[x]=1；当[x]为奇数时，函数f(x)=(-1)[x]=-1.在平面直角坐标系中，该函数的图象如图.-1能从图中得到函数f(x)=(-1)[x]的哪些性质?显然，对任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变.这种变化是重复进行的，函数f(x)=(-1)[x]的变化是周期性的.-1例2：讨论函数f(x)=x-[x]，画出它的图象，并观察其性质.解：函数f(x)=x-[x]是指一个数减去不超过这个数的最大整数.它的图象如图.观察下图，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变.这种变化是重复进行的，所以该函数变化也是一种周期变化.这个函数是物理中很有用的锯齿波函数.请列举身边一些呈周期变化的函数，画出其图象，并指明其具体的变化特征。思考交流一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足

f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.抽象概括周期函数的周期不止一个.例如，对于例2中的函数f(x)=x-[x]来说，任何一个非零整数都是它的周期.如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.例3：讨论函数y=7＋(一1)n,n∈N是否为周期函数,如果是,请指出它的周期.解：当n∈N时,该函数的取值为8,6,8,6,8,…可见它是周期函数,且周期T=2.周期变化周期函数周期最小正周期本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。任意角周期变化周期函数周期最小正周期温故知新1.将0°~360°的角的概念推广到任意角.（重点）2.认识象限角及其表示.

（难点）学习目标导入在初中，我们研究了0°~360°的角，特别学习了锐角、直角、钝角、平角和周角等.角的概念推广

圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢?·PAa我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边.当角α确定时，终边OP的位置就确定了.·PAa这时，射线OP与圆O的交点P也就确定了.由此想到，可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化.·PAa在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转.可以旋转一圈，也可以旋转多圈.为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广.实例分析如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边.OABα抽象概括在数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α=0°.“角α”或“∠α”可以简记成“α”.OABα这样，我们就把角的概念推广到了任意角.任意角正角负角零角OABα如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合.OABα图①中的角是750°的正角；图②中，正角α=210°，负角β=-150°，负角γ=-660°在跳水运动中，“转体2周”即“转720°”，“翻腾3周”即“翻腾1080°”，这些都是跳水动作的名称.图①图②对于一个钟表，分针按顺时针方向旋转，在旋转过程中与起始位置所形成的角总是负角.设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.

设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有a-β=a+（-β）这样，角的减法就转化为角的加法.象限角及其表示为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限.例如，图①中，30°，390°和-690°角都是第一象限角；图②中，300°和-60°角都是第四象限角；图③中，585°角是第三象限角.图①图②图③从图①中可以看出，390°和-690°角的终边都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°~360°的角与k个周角的和，其中k为整数，即390°=30°+360°(k=1)，-690°=30°+(-2)×360°(k=-2).图①设集合S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}，则390°，-690°角都是S的元素，30°角也是S的元素(k=0).容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反之，集合S的任一元素的终边显然与30°角终边相同.一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.抽象概括各象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}角α终边的位置象限角α的集合表示在x轴的非负半轴上{α|α=k·360°，k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α=k·360°+180°，k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α=k·360°+90°，k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α=k·360°+270°，k∈Z}轴线角的集合表示角α终边的位置象限角α的集合表示在x轴上{α|α=k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α=k·180°+90°，k∈Z}在坐标轴上{α|α=k·90°，k∈Z}轴线角的集合表示例1：判定下列各角是第几象限角：(1)-60°；(2)945°；(3)-950°12'.解：(1)因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；解：(2)因为945°=225°+2×360°，所以945°与225°角的终边相同，而225°角的终边在第三象限，所以945°角是第三象限角；(3)因为-950°12'=129°48'+(-3)×360°，而129°48'角的终边在第二象限，所以-950°12'角是第二象限角.解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°和270°角(如图).因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z}；而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z}.例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.于是，终边在y轴上的角的集合

S=S1∪S2={β|β=90°+k·360°，k∈Z}

∪{β|β=270°+k·360°，k∈Z}

={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+k·180°，k∈Z}.例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合-360°≤β≤720°的元素β写出来.解：S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素应满足-360°≤60°+k·360°＜720°.

思考交流

已知角α为锐角，那么角α的终边与角α+180°,α-180°,180°-α终边的几何关系分别是什么?如果角α是任意角呢?请画图说明.任意角角的概念推广象限角及其表示象限角终边相同的角本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。弧度制温故知新任意角角的概念推广象限角及其表示象限角终边相同的角1.了解弧度制，掌握角度与弧度的换算.（重点）2.能够理解弧度的概念.

（难点）学习目标弧度概念在几何的度量中，首先研究了线段长度的度量，其做法是:引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线(如圆周)的长度.在单位线段的基础上，又引进了以单位线段为边长的单位正方形作为面积的度量单位，以单位线段为棱长的单位立方体作为体积的度量单位，并用这些度量单位度量图形的面积和体积.对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.显然，此时角的度量单位的确定与单位线段无关.

由此可见，在几何图形的各种度量中.除了角度之外.其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的.能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢?以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.问题提出在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制.抽象概括

角度制与弧度制的区别角度制用度作为单位来度量角的制度角的大小与半径无关单位“°”不能省略弧度制用弧度作为单位来度量角的制度角的大小与半径无关单位“rad”可以省略如图①，在单位圆中，AB的长等于1，∠AOB就是1rad的角；如图②，在单位圆中，CD的长等于2，∠COD就是-2rad的角.角的正负由角的终边的旋转方向决定.·OBA11radOCD22rad一般地，弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角）与它对应.正角零角负角正实数0负实数

角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢?弧度概念是由英国数学家科兹(RogerCotes，1682-1716)在1714年提出的.作为一种对角的度量方法，弧度制使三角函数的研究大为简化.弧度与角度的换算问题提出根据弧度的定义，可知根据需要，可以用(1.1)式和(1.2)式进行弧度与角度的换算.

分析理解对于任意角，每一个角β都可以表示成

β=α+k·360°(0°≤α≤360°，k∈Z).而360°角对应2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′，即

β′=α+2kα(0≤α′＜2π,k∈Z).例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度.

下面是一些特殊角的度数与弧度数的对应表（如表）：度0°30°45°60°90°120°弧度0度135°150°180°270°360°弧度

对于0°≤α＜360°之外的特殊角，不难得到它们的弧度数.例如，420°=360°+60°=()rad=rad.

考虑如图的模型.单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数α，它对应正半轴上的点A，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA′，为终边的圆心角α，该角的弧度数为正数α.对于任意一个负数b，如何利用“皮尺”缠绕的方法，在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β?思考交流在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长.又此时角A的弧度数.因此l=|α|r，即即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比.

在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长.又此时角A的弧度数.因此l=|α|r，即

已知扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形所在圆的半径为______.

解：∵120°=，

∴S扇形=故r=2.2综合练习在直径长为20cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为______cm.解：∵165°=

弧度制弧度概念弧度与角度的换算本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义温故知新弧度制弧度概念弧度与角度的换算1.能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的基本性质.（重点）2.能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题.（难点）学习目标在初中，我们借助直角三角形学习了锐角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和余弦函数.锐角的正弦函数和余弦函数如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的.过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有

由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦值，点P的横坐标u是该角的余弦值.

如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值.任意角的正弦函数和余弦函数于是，在弧度意义下，对于a∈R,称v=sinα

为任意角α的正弦函数，u=cosα

为任意角a的余弦函数.如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα、余弦u=cosα分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，

y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.如图.设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cosα，sinα)，且OP=1.

因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到sinα=

同理，cosα=

当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则

其中

抽象概括例2：在单位圆中，(1)画出角α；(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.

解：(2)设点P(u，v)，则

在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中:思考交流α0v=sinαu=cosα

0110απ2πv=sinαu=cosα

0-1-1010

观察此表格中的数据，你能发现函数v=sinα和u=cosα的变化有什么特点吗？

若角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜0），则sinα=_____.解：∵角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜0），则

综合练习

6单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本性质锐角的正弦函数与余弦函数任意角的正弦函数与余弦函数本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质温故知新单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本性质锐角的正弦函数与余弦函数任意角的正弦函数与余弦函数1.通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质.（重点）2.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点）3.掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点）学习目标观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα的定义，不难看出它们具有以下基本性质.导入正弦函数、余弦函数的定义域均是R.定义域当自变量α∈R时，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.当α=2kπ+，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1；当α=2kπ-，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1.最大(小)值、值域

当自变量α∈R时，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值1；当α=(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.因为函数v=sinα，u=cosα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1].根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.周期性上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.

周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质.根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由

增加到时，sinα的值由-1增加到1；单调性

图①如图②，当角α由增加到时，sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减.

由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z，正弦函数在区间[2kπ-，2kπ+]上单调递增，在区间[2kπ+，2kπ+]上单调递减.

请借助单位圆，讨论余弦函数的单调性.由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z，余弦函数在区间[2kπ-π，2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ，2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1.思考交流正弦函数值和余弦函数值的符号根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上半平面时，正弦函数(v=sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正；

当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.xyO(-)(-)(+)(+)sinαxyO(+)(-)(-)(+)cosα正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示：例3：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.(1)(，]；(2)[，].解：画出图，可知：(1)函数v=sinα在区间(，]上单调递增；

(2)函数v=sinα在区间)[，]上单调递增，

在区间[，]上单调递减.

例4：求函数v=cosα在区间[，]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.解：画出图，可知：当α=时，函数v=cosα取得最大值，最大值为；

当α=π时，函数v=cosα取得最小值，最小值为cosπ=-1.

B综合练习

不等式sinx＜0，x∈[，]的解集为_______________________.

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质定义域最大(小)值、值域周期性单调性正弦函数值和余弦函数值的符号本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。诱导公式与对称温故知新单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质定义域最大(小)值、值域周期性单调性正弦函数值和余弦函数值的符号1.利用单位圆的对称性推导诱导公式.2.掌握三角函数的诱导公式.（难点）3.能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.（重点）学习目标在平面直角坐标系中，设任意角α和-α的终边与单位圆的交点分别为点P和P′，如图，不难看出，这两个角的终边OP，OP′关于x轴对称.因此，点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反.sina,cosa与sin(-a),cos(-a)的关系课文精讲即sin(-α)=-sinα，所以正弦函数v=sinα是奇函数；cos(-α)=cosα，所以余弦函数u=cosα是偶函数.在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转π弧度至点P′时，点P′就是α±π的终边与单位圆的交点(如图).

sina,cosa与sin(a±π),cos(a±π)的关系不难看出，点P'与点P关于原点对称.因此，它们的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反.即sin(α+π)=-sinα，cos(α-π)=-sinα.cos(α+π)=-cosα，cos(α-π)=-cosα.在平面直角坐标系中.如图，任意角α与π-α的终边关于y轴对称.因此，点P和点P′的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.即sina,cosa与sin(π-a),cos(π-a)的关系sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα.sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα.这两个公式也可以由前两组公式推出:sin(π-α)=-sin(α-π)=-(-sinα)=sinα，cos(π-α)=cos(α-π)=-cosα.思考交流在学习上述公式时，如何体会轴对称、中心对称的作用？记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号，如sin(α+π)，若把α看成锐角，则α+π在第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα.你能归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”.例5：画出下列各组中两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.(1)与；

解：

(1)如图，与的终边与单位圆的交点关于原点对称；

(2)与

；

解：

(2)如图，与的终边与单位圆的交点关于y轴对称；

(3)与

；解：

(3)如图，与的终边与单位圆的交点关于x轴对称；

(4)与.解：

(4)如图，与的终边与单位圆的交点关于y轴对称.

例6：求下列三角函数值：(1)；(2)；(3)；(4)

解：

(1)

(2)

解：

(3)

(4)

A综合练习

＞诱导公式与对称角α与-α的正弦函数、余弦函数关系角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系角α与

π-α的正弦函数、余弦函数关系本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。诱导公式与旋转温故知新诱导公式与对称角α与-α的正弦函数、余弦函数关系角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系角α与

π-α的正弦函数、余弦函数关系1.根据角的终边的旋转关系，推导并掌握对应的诱导公式.（重点）2.对所有诱导公式进行综合应用.（难点）学习目标观察图，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α+的终边与单位圆交于点P′.

sin(α+)=cosα；

以上结论对任意角α都成立，即对任意角α，有

可以实现正余弦的相互转换记忆口诀“函数名改变，符号看象限”例7：证明：

可以实现正余弦的相互转换记忆口诀“函数名改变，符号看象限”sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαsin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαsin(α+π)=sin(π+α)=-sinαcos(α+π)=cos(π+α)=-cosα抽象概括对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z).

通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式.六组诱导公式2kπ+a（k∈Z）a-π-aπ-a正弦sina-sina-sinasinacosacosa余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina角函数

六组诱导公式

六组诱导公式各有什么作用？sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαsin(α+π)=-sinαcos(α+π)=-cosα将角化为0~2π内的角求值将0~2π内的角转化为0~π内的角求值sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα将负角转化为正角求值sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα

实现正弦与余弦的相互转化

(2)π-α也就是-(α-π).

用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定.由于我们比较熟悉锐角三角函数，诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数问题.例8：求下列函数值：

(3)

例9：化简：

解：原式=

==1.

综合练习

=

诱导公式与旋转

本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。正弦函数的图象与性质再认识诱导公式与旋转

温故知新1.理解正弦函数图象的画法.（重点）2.认识图象理解正弦函数的性质.（重点、难点）3.通过三角函数的三种画法，体会用“五点法”作图的好处，并学会熟练地画出一些较简单的正弦函数的图象.（重点）学习目标在§3中引入了弧度制，在§4中我们借助单位圆学习了正弦函数、余弦函数的概念、性质和诱导公式.从现在起，正弦函数和余弦函数分别表示为y=sinx和y=cosx，并在平面直角坐标系中讨论它们的图象和性质.应该注意到，由于自变量x是用弧度表示的，这里讨论的函数y=sinx和y=cosx都是R的两个子集中元素之间的对应，它们都是周期函数，自变量x可以与角度无关.因此，自然界大量的周期现象(如简谐振动、潮汐现象等)都可以用这类函数来描述.正弦函数的图象先画出正弦函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象.

列表(如表).x0sinx01xsinx0-10利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sinx性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象(如图).思考根据函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R的图象吗？将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如图).正弦函数的图象称作正弦曲线.这就是正弦函数图象的几何画法正弦函数性质的再认识请观察正弦函数的图象(如图)，进一步理解正弦函数的性质.1.定义域正弦函数的定义域是R.分析理解2.周期性从正弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.同样，也可以从诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π.因此，为了研究问题方便，可以任意选取一个2π长度的区间，讨论y=sinx的性质，然后延拓到定义域R上.

3.单调性

4.最大(小)值和值域

从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以正弦函数的值域是[-1，1].5.奇偶性正弦曲线关于原点对称，如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函数是奇函数.思考交流探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗?

例1：比较下列各组三角函数值的大小：(1)与；(2)与.

解：(1)如图.

解：(2)

五点(画图)法思考

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？在一个周期内，例如[0，2π]，从正弦函数的图象(如图)可以看出:x=0，π，2π是y=sinx的零点；，分别是y=sinx的最大值点、最小值点.它们在正弦曲线中起着关键作用.

根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)(，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)这五个关键点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).

因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.用“五点法”作正弦曲线的一般步骤：

三种作图方法的比较作图方法主要步骤优劣描点法列表

描点连线只能取近似值，误差较大几何法利用单位圆，使x0在[0，2π]上取足够多的值，画出足够多的点T(x0，sinx0)较精确，但步骤繁琐作图方法主要步骤优劣五点法描最高点、最低点、图象与x轴的三个交点实用、高效

x0π2πy=sinx010-10y=-sinx0-1010

x0π2πy=sinx010-10y=-sinx0-1010

例3：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.解：函数y=sinx的周期是2π，按五个关键点列表(如表).x0π2πy=sinx010-10y=sinx-1-10-1-2-1于是得到函数y=sinx-1在[0，2π]上的五个关键点为(0，-1)，(，0)，(π，-1)，(，-2)，(2π，-1).

x0π2πy=sinx010-10y=sinx-1-10-1-2-1描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=sinx-1在区间[0，2π]上的图象.将其按周期延拓到R上得到y=sinx-1在实数集上的图象，如图.观察图象得出y=sinx-1的性质(如表).函数y=sinx-1定义域R值域[-2，0]奇偶性既不是奇函数，也不是偶函数周期性周期函数，周期是2π函数y=sinx-1单调性在每一个闭区间[2kπ-，2kπ+]都单调递增；在每一个闭区间[2kπ+，2kπ+]都单调递减

函数y=sinx-1最大值与最小值当x=2kπ+，k∈Z时，最大值为0；当x=2kπ+，k∈Z时，最小值为-2

函数y=2sinx-1的最小值是______.解：由y=sinα的性质可得，其最小值为-1．

那么，函数y=2sinα-1的最小值：ymin=-2-1=-3．

故答案为：-3．-3综合练习下列说法错误的有（）A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度

要一致B.y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）对称C.y=sinx，x∈[，]的图象关于直线x=π成轴对称D.正弦函数y=sinx的图象不超出直线y=-1和y=1所夹的区域

C解：对于A，作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致，故A正确；对于B，y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）对称，故B正确；对于C，y=sinx，x∈[，]的图象关于直线

成轴对称图形，故C错误；对于D，正弦函数y=sinx的最大值为1，最小值为-1，故它的图象不超出直线y=-1和y=1所夹的区域，故D正确，故选：C．

正弦函数的图象与性质认识正弦函数的图象正弦函数性质的再认识五点(画图)法本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。余弦函数的图象与性质再认识正弦函数的图象与性质认识正弦函数的图象正弦函数性质的再认识五点(画图)法温故知新1.理解余弦函数图象的画法.（重点）2.借助图象理解余弦函数的性质.（重点、难点）3.学会熟练地画出一些较简单的余弦函数的图象.（重点）学习目标余弦函数的图象

x0πy=cosx10-1x2πy=cosx01利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=cosx性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[[0，2π]上y=cosx的图象(如图).由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x∈R的图象(如下图).余弦函数y=cosx，x∈R的图象称作余弦曲线.图中给出了余弦曲线的基本形状.在一个周期内，例如区间[0，2π]，以下五个点(0，1)(，0)，(π，-1)，(，0)，(2π，1)起着关键的作用，它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点(，0)，(，0)，余弦函数取得最大值时的点为(0，1)，(2π，1)，取得最小值时的点为(π，-1).

根据余弦曲线的基本性质，描出这五个点后，函数y=cosx在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.

能，以函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象.

图象的平移变换（a＞0，b＞0）向上平移b个单位长度向下平移b个单位长度f（x）向左平移a个单位长度向右平移a个单位长度f（x）-bf（x）+bf（x+a）f（x-a）图象的对称变换f（x）关于x轴对称-f（x）f（-x）关于y轴对称例4：画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.解：

按五个关键点列表(如表).x-π0π2πxπ2π3πy=cos(x-π)10-101

x-π0π2πxπ2π3πy=cos(x-π)10-101描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象(如图).

画出下列函数在区间[0，2π]上的图象：(1)y=2+cosx；解：按五个关键点列表(如表).x0π2πy=2+cosx32123思考交流

描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=2+cosx在一个周期上的图象(如图).3(2)y=3cosx.解：按五个关键点列表(如表).x0π2πy=3cosx30-303

描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=2+cosx在一个周期上的图象.y=3cosx的图象如图所示.3余弦函数性质的再认识类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cosx在x∈R上的主要性质.1.定义域余弦函数的定义域是R.2.周期性

3.单调性

由图看到，当x由-π增大到0时，cosx的值由-1增大到1；当x由0增大到π时，cosx的值由1减小到-1.

因此，余弦函数在区间[-π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，余弦函数在区间[(2k-1)π，2kπ]，k∈Z上都单调递增，在每一个区间[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上都单调递减.当x=2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；当x=(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.余弦函数的值域是[-1，1].4.最大(小)值和值域5.奇偶性余弦曲线关于y轴对称(如图).由诱导公式cos(-x)=cosx可知，余弦函数是偶函数.例5：画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.x0π2πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10解：函数y=cosx-1的最小正周期是2π，按五个关键点列表(如表).x0π2πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10

描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cosx-1在区间[0，2π]上的图象，如图.由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质(如表).函数y=cosx-1定义域R值域[-2，0]奇偶性偶函数周期性周期函数，周期是2π函数y=cosx-1单调性在每一个闭区间[(2k-1)π，2kπ]都单调递增；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]都单调递减函数y=cosx-1最大值与最小值当x=2kπ，k∈Z时，最大值为0；当x=(2k+1)π，k∈Z时，最小值为-2

思考交流

3综合练习

______________________________________.

余弦函数的图象与再认识余弦函数的图象余弦函数性质的再认识本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。函数y=Asin(𝜔x+φ)的性质与图象余弦函数的图象与性质再认识余弦函数的图象余弦函数性质的再认识温故知新

学习目标问题提出“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m，直径153m匀速旋转一圈需时30min.课文精讲以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图.

因为直径为153m，总高度为160m，所以OA的长为76.5m，轮子的最低点与地面距离为160-153=7(m)，原点O距离地面的距离为7+76.5=83.5(m).从而点A′到地面的距离y与时间x的关系为

实例分析考虑这类函数的一个特例：y=sin2x，x∈R.1.周期由sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)，根据周期函数的定义，y=sin2x是周期函数，π是y=sin2x的最小正周期.

2.图象在函数y=sinx五个关键点的基础上，列表(如表).2x0π2πx0πy=sin2x010-10

2x0π2πx0πy=sin2x010-10画出该函数在一个周期[0，π]上的图象.由函数y=sin2x的周期性，把图象向左、右延拓，得到y=sin2x在R上的图象(如图).

典型例题在函数y=sinx五个关键点的基础上，列表(如表).0π2πx06π010-10

0π2πx06π010-10

sin(x+φ)的图象

2.图象通过表确定五个关键点.0π2πx

010-10

4.最大(小)值和值域

概括

①φ的变化引起图象位置的变化.②y=sin(x+φ)的图象与y=sinx的图象形状完全一样，且由y=sinx的图象向左(右)平移得到；y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y=sin(x+φ)的图象

如图.概括

如何更好的理解呢？

②A的作用：引起值域的改变，这种变换叫纵向伸缩.

思考

第4步，借助图象讨论性质.实际上，这也是讨论周期函数的一般方法和步骤.

步骤1画出y=sinx的图象

向左（右）平移|φ|个单位长度步骤2步骤3步骤4

步骤1画出y=sinx的图象

步骤2步骤3步骤4

典型例题

函数y=cosu，u∈R取得最大值的u的集合是{u|u=2kπ，k∈Z}.

综合练习

(2)关于x的不等式f(x)＜1的解集.

函数y=Asin（ωx+φ）的性质与图象探究ω

对y=sinωx

的图象的影响探究φ

对y=sin(x+φ)的图象的影响探究A对=Asin(ωx+φ)的图象的影响本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。正切函数函数y=Asin（ωx+φ）的性质与图象探究ω

对y=sinωx

的图象的影响探究φ

对y=sin(x+φ)的图象的影响探究A对=Asin(ωx+φ)的图象的影响温故知新1.理解正切函数的定义.（重点）2.掌握正切函数的诱导公式，并能够灵活运用其进行化简求值.（重点）学习目标

正切函数的定义

课文精讲

典型例题

例2：如图，设角α的终边上任取一点Q(x，y)，

(x≠0)，求角α的正切函数值.

解：设|OQ|=r，因为x≠0，所以角α的终边不在y轴上.

通过例2，我们得到一个结论:若角α的终边上任取一点Q(x，y)，

(x≠0)，则这个结论可以用来计算正切函数值.

由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意正数k，有正切函数的诱导公式

课文精讲

同时还可以得到所以正切函数是奇函数.

正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到:

其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角.利用诱导公式，可将任意角的正切函数问题转化为锐角正切函数的问题.

正切函数的图象与性质列表(如表).xy=tanx-10

1

观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.1.定义域

2.值域

3.周期性

4.奇偶性由tan(-x)=-tanx可知，正切函数是奇函数.正切曲线关于原点对称，(kπ，0)都是它的对称中心.5.单调性

“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确?

由正切函数是奇函数，知它的图象关于原点对称.结合图象，你还能发现它的其他对称中心吗?有对称轴吗?

正切函数的图象有无数个对称中心包括图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点.没有对称轴.函数y=tanx定义域值域R周期性周期函数，最小正周期为π函数y=tanx奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性对称性

-2综合练习

正切函数正切函数的定义正切函数的诱导公式正切函数的图象与性质本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。三角函数的简单应用温故知新正切函数正切函数的定义正切函数的诱导公式正切函数的图象与性质1.能够用三角函数解决一些简单的实际问题.（重点、难点）2.体会可以利用三角函数构建刻画事物的周期变化的数学模型.（难点）学习目标周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型这一节将利用三角函数研究关于周期现象的简单的实际问题.

课文精讲三角函数模型的应用主要体现在几个方面?三角函数模里的应用体现在两个方面:1.已知函数模型求解数学问题；2.把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.例：水车问题.

水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.典型例题

(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时.所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化?若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?解：设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值.(1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，设Q为水车与水面交点，∠QON=φ.

t11.831.851.871.891.8h≈1.5sin+1.21.22.71.2-0.31.2描点，画出函数在区间[0，91.8]上的图象(如图)解：(2)雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化.水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”是很自然的.如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．综合练习如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.

解：如图所示，设台风移动的时间为th，则|PM|=20t，依题意可得∠APM=60°-30°=30°.在△APM中，由余弦定理可得AM2=PA2+PM2-2PA·PM·cos30°

=3002+(20t)2-2×300×20t×.依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤100，即AM2≤30000，∴90000+400t2-6000t≤30000，化简得：t2-15t+150≤0，

解：解得5≤t≤10.所以该城市受台风侵袭的时间为10-5=5(h).

在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为__________.

解：设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω＞0)，

则A=3，周期T==3，故ω=，

解：由题意可知当x=0时，f(t)取得最大值3，故3sinφ=3，故3sinφ=3，故φ

=+2kπ.

三角函数的简单应用三角函数模型应用的体现三角函数模型的应用本课小结同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。位移、速度、力与向量的概念三角函数的简单应用三角函数模型应用的体现三角函数模型的应用温故知新1.通过对位移、速度、力的分析，了解平面向量的实际背景；2.理解向量的概念、基本要素及向量的几何