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文档简介
吉林省吉林市吉化第一高级中学2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则()A. B. C. D.2.函数的部分图象如图所示,则()A.6 B.5 C.4 D.33.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.4.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.5.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.36.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.7.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.8.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.139.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格10.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为()A. B. C. D.11.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()A. B. C. D.12.已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为__________.14.如图所示的流程图中,输出的值为______.15.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)16.在平面直角坐标系中,已知圆及点,设点是圆上的动点,在中,若的角平分线与相交于点,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.18.(12分)已知与有两个不同的交点,其横坐标分别为().(1)求实数的取值范围;(2)求证:.19.(12分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线交椭圆于两点,线段的中点在直线上,求证:线段的中垂线恒过定点.20.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.21.(12分)△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.22.(10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】,本题正确选项:【点睛】本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.2、A【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得,令=0,即=kπ,k=0时解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.3、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.4、A【解析】
先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.5、D【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.6、B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.7、A【解析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.8、D【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.9、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.10、A【解析】
根据,利用正弦定理边化为角得,整理为,根据,得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【详解】由得,即,即,因为,所以,由余弦定理,所以,由的面积公式得故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11、C【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.,值域为,非奇非偶函数,排除;B.,值域为,奇函数,排除;C.,值域为,奇函数,满足;D.,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.12、A【解析】
函数的零点就是方程的解,设,方程可化为,即或,求出的导数,利用导数得出函数的单调性和最值,由此可根据方程解的个数得出的范围.【详解】由题意得有四个大于的不等实根,记,则上述方程转化为,即,所以或.因为,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,最小值为.因为,所以有两个符合条件的实数解,故在区间上恰有四个不相等的零点,需且.故选:A.【点睛】本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本题考查了学生分析问题解决问题的能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由圆柱外接球的性质,即可求得结果.【详解】解:由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,设圆柱底面半径为,由已知有,∴,即圆柱的底面半径为.故答案为:.【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径,属于基础题.14、4【解析】
根据流程图依次运行直到,结束循环,输出n,得出结果.【详解】由题:,,,结束循环,输出.故答案为:4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值,关键在于准确识别循环结构和判断框语句.15、y=2x【解析】试题分析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当x>0时,函数y=f(x),则当x<0时,求函数的解析式”.有如下结论:若函数f(x)为偶函数,则当x<0时,函数的解析式为y=-f(x);若f(x)为奇函数,则函数的解析式为y=-f(-x).16、【解析】
由角平分线成比例定理推理可得,进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标,代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程,再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离,所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形,因为AQ是的角平分线,由角平分线成比例定理可知,所以.设点,点,即,则,所以.又因为点是圆上的动点,则,故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆,又即为该圆上的点与原点间的距离,因为,所以故答案为:【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题,常常转化到圆心的距离加减半径,还考查了求动点的轨迹方程,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差,从而求出,再利用等比数列的前项和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂项求和法即可求解.【详解】(1),且,,依次成等比数列,,即:,,,,,;(2),.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.18、(1);(2)见解析【解析】
(1)利用导数研究的单调性,分析函数性质,数形结合,即得解;(2)构造函数,可证得:,,分析直线,与从左到右交点的横坐标,在,处的切线即得解.【详解】(1)设函数,,令,令故在单调递减,在单调递增,∴,∵时;;时.(2)①过点,的直线为,则令,,,.②过点,的直线为,则,在上单调递增.③设直线,与从左到右交点的横坐标依次为,,由图知.④在,处的切线分别为,,同理可以证得,.记直线与两切线和从左到右交点的横坐标依次为,.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了学生数形结合,综合分析,转化划归,逻辑推理,数学运算的能力,属于较难题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)把点代入椭圆方程,结合离心率得到关于的方程,解方程即可;(Ⅱ)联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程,利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.【详解】(Ⅰ)由已知椭圆过点得,,又,得,所以,即椭圆方程为.(Ⅱ)证明:由,得,由,得,由韦达定理可得,,设的中点为,得,即,,的中垂线方程为,即,故得中垂线恒过点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.20、(1);(2)【解析】
(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.21、(1)(2).【解析】试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而求出的周长为.试题解析:(1)由题设得,即.由正弦定理得.故.(2)由题设及(1)得,即.所以,故.
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