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文档简介

上海市嘉定区嘉一中2025届高考压轴卷数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设命题p:>1,n2>2n,则p为()A. B.C. D.2.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()A. B. C. D.4.已知函数,若曲线在点处的切线方程为,则实数的取值为()A.-2 B.-1 C.1 D.25.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()A. B. C. D.6.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则的值为()A.2 B.3 C.4 D.7.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B. C. D.9.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()变量x0123变量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.510.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.11.设,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为.14.已知各项均为正数的等比数列的前项积为,,(且),则__________.15.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.16.的展开式中所有项的系数和为______,常数项为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)求函数的最大值.18.(12分)如图1,在等腰梯形中,两腰,底边,,,是的三等分点,是的中点.分别沿,将四边形和折起,使,重合于点,得到如图2所示的几何体.在图2中,,分别为,的中点.(1)证明:平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.21.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在内),得到如图所示的频率分布直方图,其中.(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.22.(10分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据命题的否定,可以写出:,所以选C.2、C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.3、D【解析】

利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.4、B【解析】

求出函数的导数,利用切线方程通过f′(0),求解即可;【详解】f(x)的定义域为(﹣1,+∞),因为f′(x)a,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故选:B.【点睛】本题考查函数的导数的几何意义,切线方程的求法,考查计算能力.5、B【解析】

根据偶函数性质,可判断关系;由时,,求得导函数,并构造函数,由进而判断函数在时的单调性,即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数,所以所以;当时,,则,令则,当时,,则在时单调递增,因为,所以,即,则在时单调递增,而,所以,综上可知,即,故选:B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用,由导函数性质判断函数单调性的应用,根据单调性比较大小,属于中档题.6、B【解析】

因为将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,又和的图象都关于对称,由,得,,即,又,.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数,解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7、D【解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题8、C【解析】

由题意知:,,设,则,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【详解】解:由题意知:,,设,则在中,列勾股方程得:,解得所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.9、A【解析】

计算,代入回归方程可得.【详解】由题意,,∴,解得.故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握性质:线性回归直线一定过中心点.10、B【解析】

根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.11、C【解析】

首先绘制出可行域,再绘制出目标函数,根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知,满足,可行域如下图所示,可知目标函数在点处取得最小值,故目标函数的最小值为,故的取值范围是.故选:D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题,属于基础题.12、A【解析】

设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20【解析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组,每组14人,则1至14号为第一组,15至28号为第二组,29号至42号为第三组,43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号,所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.14、【解析】

利用等比数列的性质求得,进而求得,再利用对数运算求得的值.【详解】由于,,所以,则,∴,,.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查对数运算,属于基础题.15、【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.16、3-260【解析】

(1)令求得所有项的系数和;(2)先求出展开式中的常数项与含的系数,再求展开式中的常数项.【详解】将代入,得所有项的系数和为3.因为的展开式中含的项为,的展开式中含常数项,所以的展开式中的常数项为.故答案为:3;-260【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

试题分析:由柯西不等式得试题解析:因为,所以.等号当且仅当,即时成立.所以的最大值为.考点:柯西不等式求最值18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)先证,再证,由可得平面,从而推出平面;(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与,坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】(1)证明:连接,,由图1知,四边形为菱形,且,所以是正三角形,从而.同理可证,,所以平面.又,所以平面,因为平面,所以平面平面.易知,且为的中点,所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四边形为正方形.设的中点为,以为原点,以,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,.设平面的法向量为,由得取.设直线与平面所成的角为,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,直线与平面所成的角,要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,属于基础题.19、(1)答案见解析.(2)【解析】

(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1)故函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求.试题解析:(I)由题意得,,∴.当时,,函数在上单调递增;当时,令,解得;令,解得.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(II)由题意知.,当时,函数单调递增.不妨设,又函数单调递减,所以原问题等价于:当时,对任意,不等式恒成立,即对任意,恒成立.记,由题意得在上单调递减.所以对任意,恒成立.令,,则在上恒成立.故,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.故实数的最小值为.21、(1)(2)预算经费不够测试完这100颗芯片,理由见解析【解析】

(1)先求出,再利用频率分布直方图的平均数公式求这

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