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文档简介
北京西城161中学2025届高考数学一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,当时,()A. B. C. D.2.已知,且,则()A. B. C. D.3.已知集合,则()A. B. C. D.4.已知函数,若,则的最小值为()参考数据:A. B. C. D.5.是恒成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.7.定义运算,则函数的图象是().A. B.C. D.8.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.9.方程的实数根叫作函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”为,那么满足()A. B. C. D.10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.11.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.912.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.50二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,已知,则的最小值是________.14.展开式中的系数的和大于8而小于32,则______.15.若变量,满足约束条件则的最大值为________.16.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂生产一种产品的标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.18.(12分)如图,平面分别是上的动点,且.(1)若平面与平面的交线为,求证:;(2)当平面平面时,求平面与平面所成的二面角的余弦值.19.(12分)如图,在四棱锥中底面是菱形,,是边长为的正三角形,,为线段的中点.求证:平面平面;是否存在满足的点,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.21.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.22.(10分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据向量的坐标运算,求出,,即可求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系,属于中档题.2、B【解析】分析:首先利用同角三角函数关系式,结合题中所给的角的范围,求得的值,之后借助于倍角公式,将待求的式子转化为关于的式子,代入从而求得结果.详解:根据题中的条件,可得为锐角,根据,可求得,而,故选B.点睛:该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用,在解题的过程中,需要对已知真切求余弦的方法要明确,可以应用同角三角函数关系式求解,也可以结合三角函数的定义式求解.3、A【解析】
考虑既属于又属于的集合,即得.【详解】.故选:【点睛】本题考查集合的交运算,属于基础题.4、A【解析】
首先的单调性,由此判断出,由求得的关系式.利用导数求得的最小值,由此求得的最小值.【详解】由于函数,所以在上递减,在上递增.由于,,令,解得,所以,且,化简得,所以,构造函数,.构造函数,,所以在区间上递减,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在区间上递增,在区间上递减.而,所以在区间上的最小值为,也即的最小值为,所以的最小值为.故选:A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.5、A【解析】
设成立;反之,满足,但,故选A.6、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.7、A【解析】
由已知新运算的意义就是取得中的最小值,因此函数,只有选项中的图象符合要求,故选A.8、A【解析】
由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.9、D【解析】
由题设中所给的定义,方程的实数根叫做函数的“新驻点”,根据零点存在定理即可求出的大致范围【详解】解:由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”,对于函数,由于,,设,该函数在为增函数,,,在上有零点,故函数的“新驻点”为,那么故选:.【点睛】本题是一个新定义的题,理解定义,分别建立方程解出存在范围是解题的关键,本题考查了推理判断的能力,属于基础题..10、B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.11、D【解析】
根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,
函数的周期为3,
∵当时,,
令,则,解得或1,
又∵函数是定义域为的奇函数,
∴在区间上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函数是周期为3的周期函数,
∴方程=0在区间上的解有共9个,
故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.12、C【解析】
先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】分析:可先用向量的数量积公式将原式变形为:,然后再结合余弦定理整理为,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式,最后利用基本不等式求解即可.详解:已知,可得,将角A,B,C的余弦定理代入得,由,当a=b时取到等号,故cosC的最小值为.点睛:考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用,能正确转化是解题关键.属于中档题.14、4【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.【详解】观察式子可知,,故答案为:4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.15、7【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.16、3【解析】
根据圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列,再根据期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随机抽取2件产品,都不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品,至少有1件是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标准长度的概率为,可根据上述方法求出,解,即可得出最小值.【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表:00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件,则,故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为,由题意,又,解得,所以符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力,属于基础题.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)首先由线面平行的判定定理可得平面,再由线面平行的性质定理即可得证;(2)以点为坐标原点,,所在的直线分别为轴,以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值;【详解】解:(1)由,又平面,平面,所以平面.又平面,且平面平面,故.(2)因为平面,所以,又,所以平面,所以,又,所以.若平面平面,则平面,所以,由且,又,所以.以点为坐标原点,,所在的直线分别为轴,以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,则,,设则由,可得,,即,所以可得,所以,设平面的一个法向量为,则,,,取,得所以易知平面的法向量为,设平面与平面所成的二面角为,则,结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用,利用空间向量法求二面角,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.19、证明见解析;2.【解析】
利用面面垂直的判定定理证明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要条件是,继而得出的值.【详解】解:证明:因为是正三角形,为线段的中点,所以.因为是菱形,所以.因为,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因为平面,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要条件是,所以,.即存在满足的点,使得,此时.【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识;考查化归与转化、函数与方程等数学思想,属于难题.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据题意,设直线方程为,联立方程,根据抛物线的定义即可得到结论;(2)根据题意,设的方程为,联立方程得,同理可得,进而得到,再利用点差法得直线的斜率,利用切线与导数的关系得直线的斜率,进而可得与互补.【详解】(1)由题意设直线的方程为,令、,联立,得,根据抛物线的定义得,又,故所求抛物线方程为.(2)依题意,设,,设的方程为,与联立消去得,,同理,直线的斜率=切线的斜率,由,即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,直线斜率的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.21、(1);(2)或.【解析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过
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