江苏省镇江市镇江第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江苏省镇江一中高一（上）期中数学试卷及解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣2} D．{﹣2，﹣1}2．（5分）下列各组函数相等的是（）A．f（x）＝x2， B．f（x）＝x﹣1， C．f（x）＝1，g（x）＝x0 D．f（x）＝|x|，3．（5分）命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x+1＜0 B．∀x∈R，x+1＞0 C．∃x∈R，x+1＜0 D．∃x∈R，x+1＞04．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．5．（5分）使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．ac2＞bc26．（5分）已知函数，若f（a）＝10，则实数a的值是（）A．﹣3或5 B．3或﹣3 C．5 D．3或﹣3或57．（5分）若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，且y＝f（x）在（0，+∞）是单调递减，则f（3）＝（）A． B． C．2 D．48．（5分）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.2lg/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．15次 B．16次 C．17次 D．18次二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣，3），以下结论正确的有（）A．b＜0 B．c＞0 C．4a+2b+c＞0 D．a2+b+c＞1（多选）10．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．（﹣1，1] B．[0，1] C． D．（1，2]（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0．若4a+b＝1，则（）A．的最小值为10 B．的最小值为9 C．ab的最大值为 D．ab的最小值为（多选）12．（5分）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，则关于函数D（x）有如下四个命题，其中是真命题的为（）A．函数D（x）是偶函数 B．函数D（x）是奇函数 C．方程D（x）﹣x3＝0有1个实数根 D．对任意x∈R，都有D（D（x））＝1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，则3a﹣b的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）＝ax5++2且f（2023）＝16，则f（﹣2023）的值为．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，若函数f（x+1）为偶函数，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．16．（5分）已知函数，若函数y＝f（x﹣3m）有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）；（2）．18．（12分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}．（1）求集合A；（2）求A∩B，（∁RA）∪B．19．（12分）已知函数且f（1）＝3．（1）证明：f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（2）若对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．20．（12分）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为v1＝30km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1＝t1×2v1（t1表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为v2＝30﹣10t2的减速运动（t2表示该阶段所用时间）．疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为Q0＝10000kJ，不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数Q（t）；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2+4ax+a+1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[t，t+4]时，求f（x）的最小值．22．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．（1）设，求h（x）“倒域区间”．（2）已知定义在[﹣2，2]函数g（x）＝﹣x|x|+2x．①求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；②求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”．

2023-2024学年江苏省镇江一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣2} D．{﹣2，﹣1}【答案】D【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，则M∩N＝{﹣2，﹣1}．故选：D．2．（5分）下列各组函数相等的是（）A．f（x）＝x2， B．f（x）＝x﹣1， C．f（x）＝1，g（x）＝x0 D．f（x）＝|x|，【答案】D【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：A、B、C选项中f（x）的定义域为R，而A选项g（x）的定义域为[0，+∞），B、C选项中g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以A、B、C选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、B、C选项都错误；对于D选项，定义域都为R，解析式，值域都相同，D正确．故选：D．3．（5分）命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x+1＜0 B．∀x∈R，x+1＞0 C．∃x∈R，x+1＜0 D．∃x∈R，x+1＞0【答案】A【分析】存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可．【解答】解：因为命题“∃x∈R，x+1≥0”，所以其否定为：∀x∈R，x+1＜0．故选：A．4．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当x＞0时的单调性，利用排除法进行求解即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除A，故选：D．5．（5分）使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．ac2＞bc2【答案】D【分析】根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案．【解答】解：只有当a，b同号时才有，故A错，a3＞b3⇔a＞b，故B错，a2＞b2推不出a＞b，C显然错误，ac2＞bc2⇒a＞b，而反之不成立，故D满足题意．故选：D．6．（5分）已知函数，若f（a）＝10，则实数a的值是（）A．﹣3或5 B．3或﹣3 C．5 D．3或﹣3或5【答案】A【分析】根据函数解析式，分别讨论a＜1，a≥1两种情况，结合题中条件，即可求出结果．【解答】解：若a＜1，则f（a）＝a2+1＝10，∴a＝﹣3（a＝3舍去），若a≥1，则f（a）＝2a＝10，∴a＝5，综上可得，a＝5或a＝﹣3．故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，且y＝f（x）在（0，+∞）是单调递减，则f（3）＝（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数m的等式与不等式，即可得出实数m的值，可得出函数f（x）的解析式，代值计算可得f（3）的值．【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是幂函数，且y＝f（x）在（0，+∞）是单调递减，则，解得m＝﹣1，则，故．故选：B．8．（5分）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.2lg/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．15次 B．16次 C．17次 D．18次【答案】B【分析】利用r0，r1的值求出t，可得，依题意列出不等式，解不等式即可求得答案．【解答】解：由题意知，当n＝1时，，故30.25+t＝1，t＝﹣0.25，故，由rn≤0.25得30.25（n﹣1）≥50，即，则，而n∈N*，故n≥16，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣，3），以下结论正确的有（）A．b＜0 B．c＞0 C．4a+2b+c＞0 D．a2+b+c＞1【答案】BC【分析】由一元二次不等式解集为是，令f（x）＝ax2+bx+c，则，3为f（x）的零点且a＜0，结合二次函数的性质及其对应方程即可判断A、B、C的正误；由a2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1不恒大于0，即可知D的正误．【解答】解：令f（x）＝ax2+bx+c，因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是，所以，3为f（x）的零点且a＜0，所以，即＞0，，故A错，B对；又f（2）＞0，所以f（2）＝4a+2b+c＞0，故C对；因为a2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1，令g（a）＝a2﹣4a﹣1＝（a﹣2）2﹣5，因为a＜0，所以g（a）＞﹣1，即g（a）＞0，不恒成立，即a2+b+c与1的大小不确定，故D错．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．（﹣1，1] B．[0，1] C． D．（1，2]【答案】BC【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可．【解答】解：函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，当定义域是（﹣1，1]时，函数单调递减，当x＝1时，ymin＝1，当x＝﹣1时，y＝5，故其值域为[1，5），不合题意；当定义域是[0，1]时，函数单调递减，当x＝1时，ymin＝1，当x＝0时，ymax＝2，故其值域为[1，2]，符合题意；当定义域是时，函数在单调递减，在（1，2]单调递增，当x＝1时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝2，故其值域为[1，2]，符合题意；当定义域是（1，2]时，函数单调递增，当x＝1时，y＝1，当x＝2时，ymax＝2，故其值域为（1，2]，不合题意．故选：BC．（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0．若4a+b＝1，则（）A．的最小值为10 B．的最小值为9 C．ab的最大值为 D．ab的最小值为【答案】BC【分析】根据基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案．【解答】解：对选项A，B，因为已知a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确．对选项C，D，，即，当且仅当，时等号成立，故C正确，D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，则关于函数D（x）有如下四个命题，其中是真命题的为（）A．函数D（x）是偶函数 B．函数D（x）是奇函数 C．方程D（x）﹣x3＝0有1个实数根 D．对任意x∈R，都有D（D（x））＝1【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；分x∈Q、x∉Q两种情况解方程D（x）﹣x3＝0，可判断C选项；利用题中定义分x∈Q、x∉Q两种情况计算D（D（x）），可判断D选项．【解答】解：对于AB选项，若x∈Q，则﹣x∈Q，此时D（x）＝1＝D（﹣x），若x∉Q，则﹣x∉Q，此时D（x）＝0＝D（﹣x），综上所述，对任意的x∈R，D（﹣x）＝D（x），故函数D（x）是偶函数，A对B错；对于C选项，若x∈Q，则D（x）﹣x3＝1﹣x3＝0，解得x＝1，符合题意，若x∉Q，则D（x）﹣x3＝﹣x3＝0，解得x＝0，不符合题意，综上所述，方程D（x）﹣x3＝0有1个实数根，C对；对于D选项，若x∈Q，则D（D（x））＝D（1）＝1，若x∉Q，则D（D（x））＝D（0）＝1，综上所述，对任意的x∈R，D（D（x））＝1，D对．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，则3a﹣b的取值范围为（3，11）．【答案】（3，11）．【分析】令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，利用系数相等列式求解m与n的值，再由不等式的性质得答案．【解答】解：令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，则，解得m＝1，n＝2．∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）．∵2＜a﹣b＜4，4＜2（a﹣b）＜8，又﹣1＜a+b＜3，∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）∈（3，11）．故答案为：（3，11）．14．（5分）已知函数f（x）＝ax5++2且f（2023）＝16，则f（﹣2023）的值为﹣12．【答案】﹣12．【分析】计算得出f（2023）+f（﹣2023）＝4，结合已知条件可求出f（﹣2023）的值．【解答】解：因为，则，所以，，所以，f（2023）+f（﹣2023）＝16+f（﹣2023）＝4，则f（﹣2023）＝﹣12．故答案为：﹣12．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，若函数f（x+1）为偶函数，且f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．【答案】（﹣1，3）．【分析】由题意可得f（x）的图象关于x＝1对称，由f（3）＝0，可得f（﹣1）＝0，即可得f（x）＞0的解集．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单调得到的，所以f（x）的图象关于x＝1对称，又因为f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，又因为f（3）＝0，所以f（﹣1）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．16．（5分）已知函数，若函数y＝f（x﹣3m）有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，4）．【答案】（0，4）．【分析】令t＝x﹣3m∈R，分析可知，方程f（t）＝0有三个不等的实根，由f（t）＝0可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，则函数y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象有三个交点，数形结合可得出实数m的取值范围．【解答】解：令t＝x﹣3m∈R，若函数y＝f（x﹣3m）有三个不同的零点，则方程f（t）＝0有三个不等的实根，令，可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，则，作出函数y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象如下图所示：由图可知，当0＜m＜4时，直线y＝g（t）（t≠0）和y＝m的图象有三个交点，因此，实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）；（2）．【答案】（1）；（2）0．【分析】根据指数和对数的运算法则，即可得解．【解答】解：（1）＝﹣1+（﹣2）﹣4+＝﹣1++＝．（2）＝|﹣lg5|+﹣3•＝﹣lg5+（1﹣lg2）﹣3•＝1﹣（lg5+lg2）＝1﹣lg10＝0．18．（12分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}．（1）求集合A；（2）求A∩B，（∁RA）∪B．【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x≤3}；（2）A∩B＝{x|2＜x≤3}，（∁RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．【分析】（1）根据函数f（x）的解析式有意义可求得集合A；（2）求出集合B，利用交集的定义可求得集合A∩B，利用补集和并集的定义可求得集合（∁RA）∪B．【解答】解：（1）因为函数的定义域为集合A，则．（2）因为B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞2}，A＝{x|﹣2＜x≤3}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，∁RA＝{x|x≤﹣2或x＞3}，则（∁RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．19．（12分）已知函数且f（1）＝3．（1）证明：f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（2）若对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）证明过程见解答；（2）[2，+∞）．【分析】（1）先求得a的值，再利用函数单调性的定义证明即可；（2）转化为对∀x∈[1，+∞）恒成立，令，利用函数g（x）的单调性求得最大值，即可得解．【解答】解：（1）证明：依题意，f（1）＝a+4＝3，解得a＝﹣1，则，任取x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，则＝，又x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，则，可知f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）依题意，对∀x∈[1，+∞）恒成立，即对∀x∈[1，+∞）恒成立，令，由（1）易知函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，则t≥g（x）max＝g（1）＝2，即实数t的取值范围为[2，+∞）．20．（12分）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为v1＝30km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1＝t1×2v1（t1表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为v2＝30﹣10t2的减速运动（t2表示该阶段所用时间）．疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为Q0＝10000kJ，不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数Q（t）；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值？最低值为多少？【答案】（1）．（2）t＝2时有最小值，最小值为5200kJ．【分析】（1）先写出速度v关于时间t的函数，进而求出剩余体力Q关于时间t的函数；（2）分0＜t≤1和1＜t≤4两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值．【解答】解：（1）由题可先写出速度v关于时间t的函数，代入ΔQ1与ΔQ2公式可得，解得；（2）①稳定阶段中，Q（t）单调递减，此过程中Q（t）的最小值Q（t）min＝Q（1）＝6400kJ；②疲劳阶段，则有，当且仅当，即t＝2时，“＝”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，由于5200＜6400，因此，在t＝2h时，运动员体力有最小值5200kJ．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2+4ax+a+1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[t，t+4]时，求f（x）的最小值．【答案】（1）；（2）f（x）min＝．【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求a，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式；（2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2+2ax+a+1，则f（0）＝a+1＝0，解得a＝﹣1，即x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x；当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝x2﹣2x，故；（2）作出函数f（x）的大致图象如图所示：当t≥1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2﹣2t；当﹣1≤t＜1，函数f（x）在[t，1]上单调递减，在[1，t+2]上单调递增，此时，f（x）min＝f（1）＝﹣1；当，即﹣2≤t＜﹣1时，函数f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+2]上单调递减，f（t）＝﹣t2﹣2t，f（t+2）＝（t+2）2﹣2（t+2）＝t2+2t，则f（t+2）﹣f（t）＝（t2+2t）﹣（﹣t2﹣2t）＝2t（t+2）≤0，则f（t+2）≤f（t），则f（x）min＝f（t+2）＝t2+2t；当﹣1＜t+2＜0，即﹣5＜t＜﹣2时，函