《工程力学》课件第6章

第6章弯曲

6.1弯曲的概念与实例6.2梁的内力与内力图6.3弯曲时的正应力与强度计算6.4梁的变形6.5提高梁的承载能力的措施6.6组合变形简介6.1.1基本概念

6.1.1基本概念弯曲是工程实际中常见的基本变形之一。例如，6.1(a)所示为变速箱中的齿轮传动轴，当齿轮受力时，轴就会发生变形，其轴线会弯曲。又如，图6.1(b)所示房子上的横梁，受到楼板的压力后也会产生同样的变形。图6.1以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁。工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T字形和工字形等，如图6.2所示。图6.2以上横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，如图6.3所示。工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲。图6.36.1.2梁的类型工程实际中，梁的结构繁简不一。为便于分析和计算，通常对梁进行简化。根据支座对梁的约束的不同情况，简单的梁有三种类型，其简图如图6.4所示。

(1)简支梁：梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6.4(a)所示。

(2)悬臂梁：梁的一端为固定端支座，另一端为自由端，如图6.4(b)所示。

(3)外伸梁：梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁，如图6.4(c)所示。图6.46.2梁的内力与内力图

6.2.1剪力与弯矩为了计算梁的强度与刚度，必须用截面法求出梁的内力。如图6.5所示，简支梁在距A端为a的横截面上受集中力F作用，求简支梁AB上任意横截面m-m上的内力。首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为其次，假想用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分析，如图6.5(b)所示。为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一个与NA等值、反向的力Fs。

NA与Fs构成力偶，又有让梁顺时针转动的趋势。为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶M。图6.5中使梁的横截面发生错动的内力Fs称为剪力；使梁的轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。其大小可以由平衡条件求出，即式中，C1表示左段截面的形心。若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段截面上等值、反向的剪力和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系。为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示；使所取该段梁产生上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示。图6.6图6.7

从上述剪力和弯矩的计算过程中，我们可以看到如下规律：

(1)横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧(或右侧）所有外力的代数和；

(2)横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。6.2.2剪力图与弯矩图工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs和弯矩M可以写成x的函数：Fs=Fs(x)M=M(x)以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，根据剪力方程和弯矩方程，用横坐标x表示梁的横截面的位置，纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出图形，分别称为剪力图和弯矩图。

【例6.1】如图6.8(a)所示，简支梁AB受集中载荷F=12kN，试画出其剪力图和弯矩图。图6.8解

(1)求A、B的支座反力。

(2)列剪力方程与弯矩方程。①对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图6.8(b)所示，列平衡方程：②对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图6.8(c)所示，列平衡方程：

(3)绘制剪力图和弯矩图。根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图，如图6.8(d)所示，绘出弯矩图，如图6.8(e)所示。从剪力图上可以看出，在集中力F作用处，剪力图上会发生突变，突变值即等于集中力F的大小。由剪力图和弯矩图可知，集中力F作用在C截面上，剪力和弯矩都达到最大值。

【例6.2】如图6.9(a)所示，简支梁AB上作用一集中力偶M，试绘出梁AB的剪力图和弯矩图。图6.9解

(1)求AB的支座反力，由力偶系平衡可得

(2)列剪力方程和弯矩方程。

1-1截面：剪力方程为弯矩方程为

2-2截面：剪力方程为

弯矩方程为

(3)绘制剪力图和弯矩图。绘制剪力图，如图6.9(b)所示；绘制弯矩图，如图6.9(c)所示。从弯矩图上可看出，集中力偶作用处其弯矩有突变，突变值等于集中力偶矩。

【例6.3】如图6.10(a)所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,试绘制其剪力图和弯矩图。图6.10

解设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。根据平衡条件：由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)所示。6.3弯曲时的正应力与强度计算

6.3.1变形几何关系通过前面分析梁的内力可知，一般情况下，梁横截面上都存在剪力和弯矩两种内力。剪力是与截面相切的分布内力系的合力，它与横截面上的切应力相关；弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，它与横截面上的正应力相关。实践证明，当梁比较细长时，正应力对梁的破坏起决定作用。本节将重点讨论梁横截面上的正应力。如图6.11所示，一矩形等截面简支梁AD，已知条件如图所示。由梁的剪力图和弯矩图可看出：AB段和CD段既受剪力作用，又受弯矩作用，称为剪切弯曲；中间的BC段只受弯矩作用，没有剪力作用，称为纯弯曲。图6.11为了了解纯弯曲作用时梁的变形，取一矩形等截面梁进行纯弯曲变形实验。如图6.12(a)所示，在梁的表面作出两条横向线aa和bb，两条纵向线11和22。然后在梁的两端加上一对外力偶矩M，如图6.12(b)所示。梁发生纯弯曲后，横向线aa与bb弯成平行的弧线，靠凹边的缩短，靠凸边的伸长；纵向线11和22只发生了相对转动，仍为直线，且与横向线垂直。

若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示，上部纤维缩短，下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。由于每根纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示，上部纤维缩短，下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。由于每根纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。图6.126.3.2横截面上的正应力梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等高度的各点处正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零。横截面上应力分布如图6.13(a)所示。可以证明,距离中性轴y处点的正应力计算公式为，如图6.13(b)所示。式中，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，对矩形截面，Iz=bh3/12，对圆形截面，Iz=πd4/64。从图6.13中可以看出，离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大，最大正应力的值为式中，称为截面对中性轴z的抗弯截面系数，其单位为m3或mm3。对于常见的截面,其抗弯截面系数分别如下：图6.13

(1)矩形截面(如图6.14(a)所示)：

(2)圆形截面(如图6.14(b)所示)：

(3)圆环截面(如图6.14(c)所示)：

其中其他形状截面的弯曲截面系数Wz可从有关资料中查得。

图6.146.3.3弯曲正应力强度条件对于等截面梁，最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上，此截面称为危险截面。危险截面的上、下边缘正应力最大。正应力最大的点称为危险截面上的危险点。弯曲正应力强度条件为：梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力,即

当材料的抗拉强度与抗压强度相等时，[σ]采用材料的许用拉(压)应力。当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或横截面相对中性轴不对称时，应分别建立抗拉强度条件与抗压强度条件。实际工程中，运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸。

【例6.4】如图6.15(a)所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材料的许用应力[σ]=150MPa，求此悬臂梁的许可载荷。图6.15

解绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。图中，Mmax=Fl=4000F。梁的横截面抗弯截面系数为由梁的弯曲正应力强度条件得因此,悬臂梁的许可载荷为F=25000N。

【例6.5】某建筑工地上,用长l=3m的矩形截面木板做跳板，木板横截面尺寸b=500mm，h=50mm，木板材料的许用应力［σ］=6MPa。试求：

(1)一体重为700N的工人走过是否安全？

(2)要求两名体重均为700N的工人抬着1500N的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。

解(1)计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央时，弯矩最大。校核弯曲强度：所以,体重为700N的工人走过是安全的。

(2)设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为按弯曲强度设计：

h≥65.95mm所以，木板厚度应满足h≥66mm。

6.4梁的变形

6.4.1挠度与转角如图6.16所示，悬臂梁AB受载以后轴线由直线弯曲成一条光滑的连续曲线AB′，曲线AB′称为挠曲线。梁的变形可以用挠度ω和转角θ来度量。挠度：取轴线上任意一点C，变形后移至C1，其线位移ω为C点的挠度值。转角：梁弯曲变形后，轴上任意一点C处的横截面m-m将绕中性轴转动一个角度至m′-m′，其角位移θ称为该截面的转角。6.4.2计算变形的叠加法梁的挠度和转角都是载荷的一次函数，当梁上同时受到几个载荷作用时，由某一载荷作用引起梁的变形不受其他载荷作用的影响，故梁的变形满足线性叠加原理，即可以分别计算出单个载荷作用下梁的挠度和转角，再将它们求代数和，得到所有载荷同时作用时梁的总变形。几种常见梁在简单载荷作用下的变形见表6.1。表6.1几种常见梁在简单载荷作用下的变形

6.4.3刚度条件梁的刚度条件为：最大挠度小于或等于许用挠度，最大转角小于或等于许用转角，即ωmax≤［ω］θmax≤［θ］其中，［ω］、［θ］的具体数值可查有关设计手册。

【例6.6】如图6.17(a)所示，行车大梁采用NO.45a工字钢，跨度l=9m，电动葫芦重5kN，最大起重量为55kN，许用挠度[ω]=l/500。试校核行车大梁的刚度。图6.17解将行车简化后受力情况如图6.17(b)所示。把梁的自重看成均布载荷，并且当电动葫芦处于梁的中央时，梁的变形最大。

(1)用叠加法求挠度。查手册可知：NO.45a工字钢的q=788N/m，Iz=32240cm4,E=200GPa。梁需要承受的最大载荷F=5+55=60kN。查表6.1可得，在力F作用下产生的挠度为

在均布载荷q作用下产生的挠度为梁的最大变形：ωCmax=ωCF+ωCq=0.015m。

(2)校核梁的刚度。梁的许用挠度，则ωCmax<[ω]所以梁的刚度足够。6.5提高梁的承载能力的措施

1.选用合理截面梁的截面多种多样，合理截面是指用较小的截面面积获得较大的抗弯截面系数Wz或者较大的截面惯性矩Iz。前面的应力分布图6.13已经表明：截面上离中性轴愈远，正应力愈大，而中性轴上的正应力为零。因此，合理截面应当是将材料放在离中性轴较远的地方，如工字形截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆形截面合理，等等。

2.采用变截面梁对截面形状一定的梁，其截面尺寸是按需要承受最大弯矩Mmax的截面强度条件设计的。若做成等截面梁，则对于其他截面，由于承受的弯矩M<Mmax，其材料未被充分利用，造成浪费，并且增大了梁的重量。因此,同一梁上根据不同截面的载荷大小不同，采用不同的截面尺寸，即采用变截面梁，有利于提高梁的承载能力。图6.18所示为采用变截面梁形式的托架和阶梯轴。图6.18

3.合理安排载荷如图6.19(a)所示，当简支梁AB在中点受集中力F作用时，其弯矩图如图6.19(b)所示。其上弯矩的最大值出现在中点，且。当增加副梁后，如图6.19(c)所示，所受的载荷相同，但产生的弯矩最大值减小为原来的一半。所以合理地安排载荷，可以提高梁的承载能力。图6.19

4.减小跨度或增加支承由前面内容可知，梁的变形与梁的跨度的高次方成正比，减小跨度l能够有效提高梁的抗弯刚度并减少弯矩；增加支承也可以提高梁的抗弯刚度。例如，车床上车削工件时，车刀尖给工件作用力，不用尾架顶尖时工件易变形，使用顶尖后，变形可以减小。6.6组合变形简介

6.6.1组合变形的概念工程实际中，许多构件同时受到多种基本变形的作用，如有的构件同时受到拉(压)与弯曲，或者同时受到弯曲与扭转的作用。像这种同时受两种或两种以上基本变形的变形形式，称为组合变形。图6.20(a)所示的AB构件，其受力图如图6.20(b)所示。其上作用的力NAx和Fx使杆产生压缩变形；力NAy、Fy与G使杆产生弯曲变形。所以,AB杆的变形属组合变形。图6.20在对组合变形的杆件进行强度分析和计算时，通常采用叠加法，即把作用于杆件上的载荷分解、简化，使简化后的每一种载荷只产生一种基本变形，并且分别求出每一种载荷使杆件产生的应力，然后进行叠加，求得截面上的总应力。6.6.2拉伸(压缩)与弯曲的组合变形如图6.21(a)所示，矩形截面悬臂梁在自由端B处受外力F的作用。将力F分解为两个互相垂直的力Fx和Fy，力Fx使AB杆产生拉伸变形，力Fy使AB杆产生弯曲变形。所以AB杆在力F的作用下发生拉伸和弯曲的组合变形。

(1)内力分析。将力F分解为

Fx=Fcosθ

Fy=Fsinθ分力Fx使AB杆产生拉伸变形，横截面上的应力为均匀分布的拉应力σN，如图6.21(b)所示。分力Fy使杆AB产生弯曲变形，横截面上应力分布如图6.21(c)所示。图6.21

(2)应力计算。由于杆AB任一截面上的应力都有拉伸产生的正应力与弯曲产生的正应力，同一截面上两种应力平行，所以叠加时可以代数相加。叠加后横截面上应力分布如图6.21(d)所示，并且最大正应力为σmax=σN+σW

(3)强度条件。为了保证此组合变形杆件的承载能力，必须使其横截面上的最大正应力小于或等于材料的许用应力,即σmax≤［σ］对于塑性材料，[σ]取材料的拉伸许用应力；对于脆性材料，因材料的抗拉与抗压强度不同，故应分别校核。

【例6.7】如图6.22(a)所示，杆AB为矩形截面，已知F=8kN，材料的许用应力[σ]=100MPa，试校核AB杆的强度。解〓[HT](1)选AB为对象，作受力分析，如图6.22(b)所示。∑MA=FCDsin30°×2.5-8×4=0FCD=25.6kN

(2)作内力图。

AB杆在图上各力作用下产生拉伸与弯曲的组合变形。绘出其轴力图，如图6.22(c)所示。绘出其弯矩图，如图6.22(d)所示。Mmax=-F×1.5=-12kN·m图6.23

(3)强度校核。危险点在C截面的上边缘，其最大拉应力为所以强度足够。6.6.3扭转与弯曲的组合变形如图6.23(a)所示，直角曲拐处于水平位置，C端固定，自由端A处作用一铅垂方向的外力F。将F平移到B点后，应附加力偶T

，如图6.23(b)所示。其中，力F使BC产生弯曲变形，而力偶T使BC杆产生扭转变形。因此BC杆受弯曲和扭转同时作用产生组合变形。弯曲和扭转组合变形是机械轴类零件最常见的组合变