《工程力学 》课件第15章

第15章刚体运动力学15.1刚体的平动15.2刚体绕定轴转动15.3刚体绕定轴转动的动力学基本方程15.4转动惯量15.5刚体绕定轴转动的动力分析方程及其应用思考题

习题

15.1刚

体

的

平

动

刚体在运动过程中，其上任一直线始终与它原来的位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。在生产中平动的例子很多，例如，直线轨道上车厢的运动，如图15-1(a)所示；机车车轮连杆的运动，如图15-1(b)所示；摆式输送机送料槽的运动，如图15-1(c)所示。

图15-1

刚体平动时，其上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线。若轨迹是直线，则称刚体作直线平动，如上述车厢的运动；若轨迹是曲线，则称刚体作曲线平动，如上述送料槽的运动。由于刚体上任意两点间的距离不变，而对于平动的刚体其上任意一条直线始终与它原来的位置平行，因此在任意一时间间隔Δt内，刚体上任选两点A、B（图15-2）的位移的大小和方向完全相同。由于点A和点B是任意选取的，因此可得出结论：刚体平动时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点的速度、加速度也相同。图15-215.2刚体绕定轴转动15.2.1转动方程为确定转动刚体任一瞬时在空间的位置，过z轴作一固定平面Ⅰ为参考面，再过z轴作一动平面Ⅱ并固结在转动刚体上（图15-3）。于是，这两个平面间的夹角φ，就可以确定定轴转动刚体上任意一瞬时的空间位置，称为转角。刚体转动时，φ角随时间t变化，是时间t的单值连续函数，可表示为（15-1）

图15-315.2.2角速度角速度是描述刚体转动快慢和方向的物理量。定轴转动刚体的角速度等于其转角φ对时间的一阶导数，用字母ω表示，即（15-2）

角速度ω是代数量，其正负表示刚体的转动方向。当ω>0时，刚体逆时针转动；反之,则顺时针转动。角速度ω的单位是rad/s。工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速，用符号n表示，单位是r/min（转/分）。转速n与角速度的关系为（15-3）

15.2.3角加速度角加速度α是表示角速度ω变化的快慢和方向的物理量。定轴转动刚体的角加速度等于其角速度ω对时间的一阶导数，或等于其转角φ对时间的二阶导数，即（15-4）

角加速度α是代数量，当α与ω同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作加速转动，如图15-4(a)所示；反之，则作减速转动，如图15-4(b)所示。角加速度α的单位是rad/s2。图15-415.2.4匀速、匀变速转动

1.匀速转动当刚体作匀速转动时，ω=dφ/dt=常量，设t=0时，φ=φ0，则有（15-5）

2.匀变速转动当刚体作匀变速转动时，α=dω/dt=常量，设t=0时，ω=ω0，φ=φ0，则有（15-6）

（15-7）

（15-8）

以上两式消去t得

表15-1点的曲线运动与刚体的定轴转动基本公式对照

例15-1已知一飞轮的转速n=600r/min，在制动期间飞轮作匀变速转动，经过5s后停止。试求飞轮的角速度和制动期间转过的圈数。

解由题意知,飞轮制动期间初角速度为

末角速度ω=0，t=5s，由式（15-6）得

设制动开始时初转角φ0=0，

则飞轮制动期间的转角为

由此求出飞轮制动期间转过的圈数为

15.2.5定轴转动刚体上各点的速度和加速度

1.定轴转动刚体上点的运动方程

在刚体上任选一点M，设它到转轴的距离为R（图15-5），t=0时，M在M0处，φ0=0。取M0为弧坐标s的原点，以转角增大的方向为s的正向，则点M的运动方程为图15-5图15-62.定轴转动刚体上点的速度由式（15-2）可得，

动点M的速度大小为

（15-9）

上式表明，定轴转动刚体上任意一点速度的大小，等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积，它的方向垂直于转动半径，

指向与角速度转向一致。

3.定轴转动刚体上点的加速度由于转动刚体上任意一点M都作圆周运动，因此这一点的加速度包括切向和法向加速度，由式（15-4）和式（15-9）分别得到

（15-10）

（15-11）

以上两式表明:定轴转动刚体上任意一点的切向加速度的大小等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积，方向与转动半径垂直，指向与角加速度的转向一致；法向加速度的大小等于该点的转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向沿转动半径指向转轴，如图15-7所示。

点M的全加速度大小为

（15-12）

方向

（15-13）

式（15-12）和式（15-13）表明，定轴转动刚体上各点的全加速度的大小与该点到转轴的距离成正比，方向与转动半径成β角，且各点的β角均相同。因此,转动刚体上通过且垂直于转轴的直线上各点，在同一瞬时加速度按线性规律分布，与速度分布规律相同,如图15-8所示。

图15-7图15-8例15-2起重机鼓轮直径d=200mm，钢丝绳绕在鼓轮上，一端悬挂重物如图15-9所示。设向上提升重物时鼓轮的转动方程为φ=3t2，式中φ以rad计，t以s计。试求起重机启动3s后重物的速度、加速度及在3s内上升的高度。

解鼓轮的转动方程为φ=3t2，所以角速度为角加速度为

当起重机启动t=3s时，鼓轮的角速度、角加速度分别为

(1)重物的速度。因钢丝绳绕在鼓轮上，故重物的速度和鼓轮轮缘上点的速度大小相等。于是，重物上升的速度为

图15-9

(2)重物的加速度。重物的加速度和轮缘上点的切向加速度大小相等。

于是，

重物上升的加速度为

(3)重物上升的高度。

重物在3s内上升的高度h等于轮缘上一点转过的弧长，即

4.定轴转动刚体的传动问题转动刚体之间的运动传递在工程上应用很广，常见的传动系统有齿轮传动和皮带轮传动。设主动轴的角速度为ω1（或转速n1），从动轴的角速度为ω2（或转速n2），则两轴间的传动比i12为（15-14）

在定轴转动系统中，一般均假设各构件之间无相对滑动，因而两构件接触处的速度相同，据此可导出齿轮传动和皮带传动的传动比的计算公式。

1）齿轮传动如图15-10所示，齿轮Ⅰ、齿轮Ⅱ分别绕固定轴O1、O2转动，角速度为ω1、ω2，节圆半径为R1、R2，转速为n1、n2，齿数为z1、z2。因两齿轮之间无相对滑动，故v1=v2，而v2=R1ω1，v2=R2ω2，则有又因齿轮传动时两轮逐齿啮合，故每分钟转过的齿数相等，

即

由于

,因此

（15-15）

即相啮合的两齿轮的传动比与其齿数或节圆半径成反比。各齿轮的转向可用箭头标注（图15-10）。

图15-10

2）皮带传动如图15-11所示，设主动轮Ⅰ半径为R1，以ω1绕O1轴转动，通过皮带带动从动轮Ⅱ以ω2绕O2轴转动，其半径为R2。设皮带不伸长，且带与轮之间无相对滑动，因此v1=v2，而v1=R1ω1，v2=R2ω2，所以（15-16）

即皮带传动中，两轮的传动比与其半径成反比。

皮带轮的转动方向可用箭头标出（图15-11）。图15-1115.3刚体绕定轴转动的动力学基本方程设一刚体在主动力F1，F2，…，Fn和轴承约束力FN1、FN2作用下绕z轴作定轴转动，如图15-12所示，某一瞬时其角速度为ω、角加速度为α。对于刚体上任一质点Mi，设其质量为mi，其到转轴的距离为ri。该质点上的力分为两类：一类是刚体内其它质点对该质点的作用力，称为内力，其合力为F(i)i；另一类是刚体以外其它物体对该质点的作用力，称为外力，其合力为F

(e)i。由于该质点绕z轴作圆周运动，因此可列出自然坐标形式的质点运动微分方程图15-12因这里只研究刚体的转动，故只考虑力矩的作用效应，而法向分力对转轴之矩为零，所以上述第二式与所研究问题无关，只需对切向投影式进行分析。为了分析力矩的作用效应，将上述第一式两端同乘以ri，得对于整个刚体，每一个质点均可列出上式，将式左、右求和，

得

由于刚体的内力总是大小相等、方向相反地成对出现，因此， ；主动力F1，F2，…，Fn和轴承约束力FN1、FN2都是作用在刚体上的外力，但轴承约束力F1、FN2对z轴的力矩等于零，因而外力对z轴的力矩只有主动力对z轴的力矩，即所以

令，称为刚体对z轴的转动惯量，于是有

（15-16）

15.4转动惯量

15.4.1转动惯量从式（15-16）可以看出，在一定外力作用下，刚体的转动惯量越大，则转动的角加速度越小；转动惯量越小，则转动的角加速度越大。这就是说，刚体转动惯量的大小可以反映刚体转动状态改变的难易程度。因此，转动惯量是度量刚体转动惯性大小的一个物理量。由前面所述，刚体绕定轴的转动惯量等于刚体内各质点的质量与质点到转轴的距离平方的乘积的总和，即

（15-18）

图15-13若定轴转动刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算式可写成定积分形式，即

（15-19）

式中，M表示刚体的总质量，r表示质量为dm的微元到转轴的距离。该式只适用于质量均匀分布且具有规则形状的刚体，否则采用近似方法或通过实验来测定其转动惯量。15.4.2简单图形转动惯量的计算转动惯量可以由式(15-17)计算。对于形状简单、质量分布均匀连续的物体，可用积分法求得。常见的均质物体的转动惯量，

可通过表15-2或手册中查得。

表15-2几种均质简单物体的转动惯量

表15-2几种均质简单物体的转动惯量

15.4.3回转半径工程中为表达和计算方便，常用到惯性半径这一概念。设想刚体的全部质量集中在与轴z相距为ρ的一质点上，则此质点对轴z的转动惯量等于原刚体对同一轴的转动惯量。ρ称为刚体对该轴的回转(惯性)半径，于是有（15-20）

应注意的是：

回转半径是一个假想的长度，

并不是质心到转轴的半径。

15.4.4平行轴定理手册中给出的转动惯量是刚体对通过质心轴的转动惯量，工程中有些刚体的转轴并不通过刚体的质心，如偏心凸轮的旋转。要计算刚体平行于质心轴的转动惯量，就需要用到平行轴定理。如图15-14所示，设刚体质量为m，对质心轴zC的转动惯量为JzC，则对另一与质心轴zC平行且相距为d的轴z′的转动惯量Jz′为（15-21）这就是平行轴定理。它表明：刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对与此轴平行的质心轴的转动惯量，加上刚体质量与此两平行轴间的距离的平方之积。由该定理知，在一组平行轴中，

刚体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小。

图15-14图15-15例如，均质细直杆质量为M，长为l，如图15-15所示，d=l/2，查表15-2，得到该杆对质心轴z的转动惯量为，通过平行轴定理，可得到该杆对平行于质心轴z的轴z′的转动惯量为

例15-3

已知飞轮的转动惯量J=18×103kg·m2，在恒力矩M的作用下，由静止开始转动，经过20s，飞轮的转速n达到120r/min，如图15-16所示。若不计摩擦的影响，试求启动力矩M。

解取飞轮为研究对象。由于飞轮作用有恒力矩，因此角加速度为常量，即飞轮作匀变速转动。经过20s后，飞轮的角速度为

飞轮的角加速度为

由定轴转动微分方程得出飞轮的启动力矩为

图15-16

例15-4

图15-17(a)所示为卷扬机的运动简图，被吊重物的质量为m1；鼓轮的质量为m2，半径为r，且质量近似分布在轮缘上。不计吊绳的质量，试求当作用于鼓轮上的力矩为M0时，重物的加速度和绳子的张力。

解鼓轮作定轴转动，重物作直线平动。分别取二者为研究对象，进行受力分析，如图15-17(b)、(c)所示。设鼓轮的角加速度为α，重物上升的加速度为a。由运动学知，轮缘上任意一点的切向加速度与重物加速度相等，

(1)由式（15-16）列出鼓轮的定轴转动微分方程

(2)

由式（15-4）列出重物的运动微分方程

(3)根据作用与反作用原理，

有

(4)联立以上四式，

即得重物上升的加速度和绳子的张力:

图15-1715.5刚体绕定轴转动的动力分析方程及其应用

刚体绕定轴转动的动力分析基本方程，可以解决刚体转动时动力分析的两类问题：一类为已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力矩或外力；另一类为已知作用于刚体上的外力矩，

求转动规律。

例15-5

如图所示，已知飞轮的转动惯量J=2×103kg·m2，在一不变力矩M的作用下，由静止开始转动，经过10s后，飞轮的转速达到60r／min。若不计摩擦的影响，求力矩M的大小。

解取飞轮为研究对象，画受力图，如图15-18所示。由于力矩M为常量，因此飞轮的角加速度α也是常量，飞轮作匀变速运动。根据公式M=Jε，又则

图15-18

例15-6如图11-19(a)所示，摩擦制动装置的鼓轮质量为m，半径为R，以等角速度ω0旋转。在力F的作用下，摩擦块K给鼓轮以制动作用。设摩擦块与鼓轮的滑动摩擦系数为f。试问需要多少时间才能使鼓轮停止转动(不计摩擦块的厚度)?图15-19

解

(1)选取研究对象，画受力图。分别取制动杆AB和鼓轮为研究对象，受力如图15-19(b)、（c）所示。

(2)运动分析。制动杆静止不动，鼓轮绕定轴转动。

(3)列方程，求未知量。先讨论制动杆AB,由于其处于平衡状态，因此有

即

所以

再讨论鼓轮，

由于鼓轮绕定轴转动，

则有

则鼓轮的转动惯量为

鼓轮与摩擦块之间的摩擦力为

鼓轮因摩擦力而所受到的摩擦力矩为

所以

将上式两边积分得

即

则

思

考

题

15-1自行车行驶时，脚踏板作什么运动？汽车在圆弧弯道上行驶时，车厢作什么运动？

15-2各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？

15-3在求平面图形上一点的加速度时，能否不进行速度分析，而直接求加速度？为什么？

15-4飞轮匀速转动，若半径增大一倍，则轮缘上点的速度、加速度是否都增加一倍？若转速增大一倍呢？

15-5钟表运行时，分针和秒针的角速度及转速各为多少？

15-6试画出思考题15-1图所示构件上标有字母的点的速度方向和加速度方向。

思考题15-1图

习

题

15-1计算机在启动时，磁盘以匀加速度在0.3s内经2.5转由静止达到工作转速。试求：(1)磁盘的角加速度；(2)磁盘的工作转速。

15-2带轮轮缘上一点A的速度vA=50cm/s，和点A在同一半径上的点B速度vB=10cm/s，距离AB=20cm,如图所示。求带轮的角速度及其半径。

15-3在图示的曲柄滑杆机构中，滑杆上设有一圆弧滑道，其半径R=100mm，此圆弧的圆心O1在滑杆BC上。曲柄OA=100mm，以等角速度ω=4rad/s绕轴O转动。试求滑杆BC的运动方程，以及当曲柄与水平线间的夹角φ=30°时，滑杆BC的速度和加速度。题15-2图

题15-3图

15-4在图示机构中，杆AB以匀速v上升，带动杆OC绕轴O转动，已知轴O到杆AB的距离为l，机构运动开始时转角φ=0°。试求当时，杆OC的角速度和角加速度。

15-5图示为固连在一起的两滑轮，其半径分别为r=5cm，R=10cm，A、B两物体与滑轮以绳相连，设物体A以运动方程s=80t2向下运动（s以cm计，t以s计）。试求：(1)滑轮的转动方程及第2s末大滑轮轮缘上一点的速度、加速度；(2)物体B的运动方程。题15-4图

题15-5图

15-6电动绞车由带轮Ⅰ、Ⅱ鼓轮Ⅲ组成，鼓轮Ⅲ与带轮Ⅱ固定在同一轴上，如题15-7图所示。各轮的半径分别为R1=30cm，R2=75cm，R3=40cm，轮Ⅰ的转速n1=100r/min。设带轮与胶带间无相对滑动，求重物Q上升的速度。

题15-6图

15-7椭圆规尺AB由曲柄OC带动,如图所示，曲柄以匀角速度ω=2rad/s绕O轴转动。已知OC=BC=AC=0.12m，求当φ=45°时A点与B点的速度。题15-7图

15-8偏置曲柄连杆机构如图示。曲柄OA以匀角速度ω=1.5rad/s绕轴转动。如OA=0.4m，AB=2m,OC=0.2m,求当曲柄在两水平和铅垂位置时滑块B的速度。题15-8图

15-9均质圆盘如图所示。外径D＝60cm，厚h＝10cm，其上钻有四个圆孔，直径均为d1=10cm，尺寸d＝30cm，钢的密度ρ=7.9×10-3kg/cm3。求此圆盘对过其中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量。