《工程力学》课件第5章

第5章扭转与剪切5.1扭转的概念与实例

5.2外力偶矩与扭矩

5.3圆轴扭转的切应力与强度计算5.4圆轴扭转变形与刚度计算5.5剪切与挤压的实用计算5.1扭转的概念与实例

5.1.1扭转的概念扭转是杆件的基本变形之一。其受力特点是：在垂直于杆轴线的两个平行平面内分别作用一个大小相等、方向相反的外力偶，如图5.1所示。图5.1其变形特点是：杆件的任意两横截面发生绕轴线的相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆件称为轴。实践中受扭转的构件很多，本章只讨论工程中常见的圆轴扭转问题。5.1.2受扭圆轴实例在工程实际中，圆轴扭转的实例很多。图5.2所示为汽车方向盘的转向轴，司机通过双手将力偶(F，F′)施加在方向盘上，并作用在转向轴的A端，转向器的阻力偶M作用在B端。转向时，杆AB就产生上述的扭转变形。图5.2图5.3所示为丝锥，在攻丝时，工人师傅两手施加的力偶(F,F′)作用在丝锥杆的上端，与工件对丝锥产生的反力偶M都作用在丝锥杆上，并使丝锥杆产生扭转变形。图5.35.2外力偶矩与扭矩

5.2.1外力偶矩的计算在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、转速和外力偶矩三者之间的关系，即(5.1)

式中，M为作用于轴上的外力偶矩，单位为N·m；P为轴所传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为r/min。说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；轴上输出力偶矩是阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。

【例5.1】已知某传动轴传递的功率为7.5kW，转速为300r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩。解由式(5.1)计算得5.2.2扭矩的计算

如图5.4(a)所示，等截面圆轴受到三个外力偶矩M1、M2和M3的作用达到平衡，现在用截面法求m-m截面上的内力。先将轴沿m-m横截面处截开，取左段作为研究对象，画出受力图，如图5.4(b)所示。由力偶平衡条件可知：m-m截面上必须有一个内力偶矩与外力偶矩Ｍ1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位为N·m。由∑m=0得

M1-T=0T=M1

若取m-m横截面的右段部分为研究对象，画出受力图，如图5.4(c)所示。可求得m-m横截面上的扭矩T′，显然，T′与T大小相等，方向相反，即为作用与反作用的关系。由∑m=0得

T′+Ｍ2-M3=0

T′=M3-M2(即M1=M3-M2)为了使取左段和右段求得的扭矩正、负号也相同，对扭矩的正、负号采用右手螺旋法则判断：如图5.5所示，右手四指顺着扭矩方向握住圆轴的轴线，伸直大拇指的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正；反之，为负。图5.5画受力图时，一般可以先假设扭矩为正方向，若计算出扭矩的结果为正值，表示扭矩的实际方向与假设方向相同；若计算出扭矩的结果为负值，表示扭矩的实际方向与假设方向相反。由前面分析可知，圆轴扭转时任意截面上的扭矩等于该截面一侧所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正负规定与扭矩相反。5.2.3扭矩图

通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴(横坐标轴)，以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。

【例5.2】已知一传动轴如图5.6(a)所示，主动轮A上输入功率为15kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10kW，轴的转速为n=1000r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图。

解(1)计算外力偶矩M。

(2)计算扭矩T。由图5.6(b)可得T1+MA=0T1=-MA=-143.24N·m由图5.6(c)可得T2+MA-MB=0T2=MB-MA=-47.75N·m方向与轴的转向相同方向与轴的转向相反

(3)绘制扭矩图如图5.6(d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其大小为143.24N·m。图5.6

【例5.3】图5.7所示为一齿轮轴，B为输入轮，A、C、D为输出轮，已知MA=535N·m，MB=1146N·m，MC=382N·m，MD=229N·m。试绘出该轴的扭矩图。

解(1)计算扭矩。在轴的AB段、BC段和CD段分别取1-1、2-2和3-3截面，利用任意截面上扭矩的计算规律，依次计算齿轮轴各段的扭矩。对AB段，可得T1＝－MA＝－535N·m对BC段，可得

T2＝MB－MA

＝1146-535=611N·m对CD段，可得T3＝MD＝229N·m图5.7

(2)绘制扭矩图。建立坐标系，根据以上计算结果按比例绘出扭矩图，如图5.7(b)所示。该轴所受的最大扭矩在BC段的横截面上，其值为Tmax=611N·m。5.3圆轴扭转的切应力与强度计算

5.3.1变形几何关系取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向线aa、bb,两条圆周线11、22，如图5.8(a)所示。再在圆轴的两端分别作用一个外力偶M，使杆件发生扭转变形。由图5.8(b)可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保持不变，只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角度γ，由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平行四边形。图5.8图5.8由以上分析可知,圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形状不变，由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用。但因为相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必然有垂直于半径方向的切应力。切应力用符号τ表示。在圆轴上取一微段dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对于左截面转过了一个角度dj，半径由O2B转至O2C位置，纵向线AB倾斜γ角度达到AC位置，A点的切应变为那么，距轴线为ρ的任意一点的切应变为对于给定的横截面，dj/dx为常量,故由式(5.2)可知，横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。(5.2)

5.3.2横截面上的切应力由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ,即式中，G为材料的切变模量，其数值可由试验测得，常用单位为GPa；τρ为截面上离轴心距离为ρ的各处切应力。(5.3)

式(5.3)表明：横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径垂直。可以证明，横截面上任意一点的切应力计算公式为τρ=Tρ/Ip。式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，其计算公式为：实心圆截面：空心圆截面：因此，实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图5.9表示。图5.9由图5.9可知，在圆轴横截面上，当ρ=0时，τρ=0；当ρ=R时，即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半径方向呈线性增长。其最大切应力为显然，Wp=Tp/R。式(5.4)中，Wp为抗扭截面系数，常用单位为m3、mm3。(5.4)

对于如图5.10所示的实心圆轴，其抗扭截面系数为图5.10对于如图5.11所示的空心圆轴，其抗扭截面系数为其中,α=d/D。图5.115.3.3强度计算圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于或等于材料的许用切应力,即τmax≤［τ］。对于等截面圆轴,有

【例5.4】一阶梯圆轴如图5.12(a)所示，轴上受到外力偶矩M1=6kN·m，M2=4kN·m，M3=2kN·m，轴材料的许用切应力[τ]=60MPa，试校核此轴的强度。

解

(1)绘制扭矩图如图5.12(b)所示。

(2)校核AB段的强度。则强度足够。图5.12

(3)校核BC段的强度。则强度足够。

【例5.5】某机器传动轴由45钢制成，已知材料的[τ]=60MPa，轴传递的功率P=16kW，转速n=100r/min，试确定其直径。

解

(1)计算外力偶矩和扭矩。

(2)计算轴的直径。

【例5.6】如图5.13所示的联轴器中，轴材料的许用切应力[τ]=40MPa，轴的直径d=30mm，套筒材料的许用切应力[τ]=20MPa，套筒外径D=40mm。试求此装置的许可载荷。图5.13解

(1)按轴的扭转强度求许可载荷。

(2)按套筒的扭转强度求许可载荷。

取两者之中的较小值，此装置的许可扭矩为72.44N·m。5.4圆轴扭转变形与刚度计算5.4.1扭转变形圆轴扭转时的变形采用两个横截面之间的相对转角j来表示。对于长度为L，扭矩为T，且截面大小不变的等截面圆轴，其变形计算公式为对于直径变化的圆轴(阶梯轴)，或者扭矩分段变化的等截面圆轴，必须分段计算相对转角，然后计算代数和。5.4.2刚度条件

圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角θmax不超过许用的单位长度扭转角[θ]，即式中,θ的单位为°/m。精密机器的轴：［θ］=0.25～0.50°/m。一般传动轴：［θ］=0.50～1.00°/m。要求不高的轴：［θ］=1.00～2.5°/m。

【例5.7】汽车传动轴输入的力偶矩M=1.5kN·m，直径d=75mm，轴的许用扭转角[θ]=0.50°/m，材料的切变模量G=80GPa，试校核此传动轴的刚度。解

(1)计算扭矩。此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5kN·m。

(2)计算Ip。

(3)校核轴的刚度。故此传动轴刚度足够。5.5剪切与挤压的实用计算5.5.1剪切与挤压的概念图5.14(a)所示为铆钉连接，在被连接的物体上作用有等值、反向的力，此时铆钉的受力特点是：铆钉受到一对等值、反向、作用线平行且相距很近的外力作用，如图5.14(b)所示。其变形特点是：位于两反向外力作用线之间的截面发生相对错动，这种变形称为剪切变形，如图5.14(c)所示。产生相对错动的面称为剪切面，作用在剪切面上的内力称为剪力，用Fs表示。图5.14在铆钉连接中，除铆钉受到剪切以外，铆钉与被连接件孔壁接触处还受到较大的压力作用，产生局部压缩变形，这种变形称为挤压变形，如图5.14(d)所示。5.5.2实用计算下面介绍两种实用计算：剪切的实用计算和挤压的实用计算。

1.剪切的实用计算工程中，通常近似地认为剪切面上的切应力是均匀分布的，所以剪切面上的切应力计算公式为

式中,A为剪切面的面积。剪切面为受剪部位的横截面，其截面形状不同，面积计算方法也不同。剪切强度条件：剪切应力不超过材料的许用切应力，即

2.挤压的实用计算工程中近似把挤压面上的挤压应力也看成是均匀分布的。挤压应力σbs

的计算公式为

挤压强度条件：挤压应力不超过材料的许用挤压应力,即式中,Fbs为挤压力，Abs为挤压面的计算面积。挤压面为挤压发生的接触面。当挤压面为圆柱面时，Abs等于通过圆柱直径的剖面面积，Abs=dh，如图5.1