高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理

2012年高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理

一、集合、简易逻辑、函数

1.研究集合必须注意集合元素三个特征，即元素的确定性、互异性和无序性。已知集合

A=(x,xy,Igxy),集合B={0,IxI,y},且A=B,则x+y=

2.研究集合，首先要弄清集合所表示的对象，即元素，才能理解集合的意义。已知集合后{y|

y=x2,XGR},N={yIy^+l,xWR},求MAN与己知集合M二{(x,y)Iy=x2,xeR},N={(x,y)I

y=x2+l,x£R}求MAN的区别。

3.集合A、B,Ac3=0时，你是否注意到了“极端”情况，即A=0或8=0；集合A三3

求子集/时是否忘记0.例如；(a—2)x?+2(々—2)%—1v。对一切xeR恒成立，求a的

取植范围，你讨论了a=2的情况了吗？

4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

2〃，2〃—1,2〃—1,2"-2.如满足条件{1}qM<={1,2,3,4}的集合朗共有多少个

8.可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p、q形式的复合命题的真情表:

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.转换等价命题时注意到了逻辑连接词

的转换吗？如“或”变“且"，“且”变“或二

10.什么是充要条件？充要条件的判断方法有哪些？(定义法、逆否法、集合法)

11.什么是全称量词、存在量词，全称命题和特称命题？

12.含有一个量词的命题的否定；

①全称命题p：DxWM,〃(工)；它的否定」p：u3.r0eM,是特称命题

②特称命题p：”三⑷匕必，p(M)”；它的否定」p：「〃⑴”是全称命题.

13.你对映射的概念了解了吗？映射f：A-B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一

性，是映射的特征。哪几种对应能够成映射？举正反例说明。

14.函数的几个重要性质：

①如果函数y=/(x)对于一切x£R,都有刈=一x)或f(2a-x)=f(x),那么

函数y=.x)的图象关于直线x=〃对称.如果函数y=/(x)对于一切JtdR,都有

f［ci+x）=f（b-x）,那么函数y=/（x）的图象关于直线x=L（〃+份对称.（同一函数的

对称轴将自变量的取值相加除以2）o

②函数尸£5+乂）与尸£（卜乃的图像关于直线小,（匕-〃）对称。（两个函数的对称轴是将自

2

变量的取值联立起来解得。）

15.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数尸的定义域是；

1Jg"d”尸•?

复合函数的定义域弄清了吗？函数/*）的定义域是求人唾。,5幻的定义域.函数7（X）

的定义域是域b>-a>^求函数F（x）=.f（.i）+/（r）的定义域

16.含参数的二次函数的值域、最值问题要注意分类讨论。若函数产asir?户2cos广m2（a£曲的

最小值为/〃，求m的表达式。

17.判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了

吗？在公共定义域内：两人奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数

与一个偶函数的乘积是奇函数；

18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值，作差，判正负.）可别忘了导数也是

判定函数单调性的一种重要方法。

19.你知道函数）,=工+幺（4>0）的单调区间吗？（该函数在和［JZ,+QO）上单调递增；

在［-右0）和（o,JZ］上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

20.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等

于1）字母底数还需讨论呀.

21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（log〃b=g&q』og.b〃=log.％）

logcCl

22.你还记得对数恒等式吗？（=h）

23.“实系数一元二次方程19+匕戈+。=0有实数解”转化为“八=〃2一44。20，，，你是否注意

到必须当a=0时，“方程有解”不能转化为△=〃-4ac20.若原题中没有指出是“二

次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

24.函数的零点与方程的根的关系：

①一般地，如果函数y=/U）在区间［〃，以上的图象是连续不断的一条曲线，并且有人。）十与<0,那

么函数y=/U）在区间（。，份内有零点，即存在c£（ab）,使大c）=0,这个c也就是方程兀v）=0

的根.我们称方程«r）=0的实数根x叫做函数），=/口）（工£0的零点.

②方程/U）=0有实数根。函数y=/U）有零点。函数>=/U）的图象与x轴有交点.

③函数"（x）=/&）—g（x）的零点就是方程兀K）=g（x）的实数根，也就是函数y=/U）的图象与函数y=

g（x）的图象交点的横坐标.

一般地，对于不能使用公式求根的方程式幻=0,我们可以将它与函数），=兀0联系起来，利用函数

的图象、性质来求解.

25.用二分法求方程儿0=（）近似解的一般步骤有哪些？

二、三角函数、不等式

26.三角公式记住了吗？两角和与差的公式；二倍角公式；解题时本着“三看”

的基本原则来进行：“看角，看函数,看特征”，基本的技巧有:巧变角，公式变形使用,化切割为弦，

用倍角公式将高次降次，

27.在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函

数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？

28.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换.（如尸=（a+/）—a,尸=（。-4）+«

笠等）

29.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求

出值的式子，一定要算出值来）

3。.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（/=|a|r,S扇形=1/r）

31.辅助角公式：asinx+/?cosx=J^"7"Fsin（x+e）；其中。角所在的象限由a,b的符号确

定，。角的值由tanO=2确定）在求最值、化简时起着重要作用.

a

32.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取

最值时的x值的集合吗？（别忘了kEZ）

三角函数性质要记牢。函数尸Asin（0・x+°）+k的图象及性质：

2%

振幅|A|,周期T二若x=x。为此函数的对称轴，则X。是使y取到最值的点，反之亦然,

阿’

使y取到最值的x的集合为当。＞0,A＞0时函数的增区间为

----------,减区间为；当外＜0时要利用诱导公式将。变为大于零后再用上

面的结论。

五点作图法：令5+0依次为0M肛［,2万求出x与y,依点（x,y）作图

33.三角函数图像变换还记得吗？

34.有关斜三角形的几个结论：（1）正弦定理：（2）余弦定理：（3）面积公式

35.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是

（0卷］,［0申,［0,加.

JT

②直线的倾斜角、乙到乙的角、6与乙的夹角的取值范围依次是［°，乃），

36.同向不等式能相减，相除吗？

37.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

38.分式不等式细＞。（。工0）的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的

g（”

系数变为正值，奇穿偶回）

39.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对数的真数大于零.）

40.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论）

/r\2

41.利用重要不等式。+〃22比石以及变式。等求函数的最值时，你是否注意到a,

bcR+（或a,b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a+b其中之一应是定值？（一正

二定三相等）

42.J七直2”^2旅2里~,（a,bwR+）（当且仅当a=b=c时，取等号）；a、b、

V22a+b

CGR,a1+b2+c2>ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；

43.柯西不等式：.二维形式的柯西不等式：

（1）代数形式：设a、b、c、"均为实数，则

（w2+62）Q2+龙）2（dc+A）2.

上式等号成立Qdd=be.

（2）向量形式：设。、£为平面上的两个向量，则

|a||£|2|a・£］.

当且仅当£是零向量或存在实数h使。=々£时，等号成立.

（3）三角形式：设两、M、M、2eR»则—X2）2+CX1一力）2,其几何

意义是三角形两边之和大于第三边.

你会做吗？设。、b、。为正数，且a+2b+3c=13,则'尻+痔+&的最大值为（）

A.野B.华C.邛D.VI3［答案］C

JJJ

29.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0<。<1或〃>1）

讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是…….

30.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键

31.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

三、数列

32.等差数列中的重要性质：（1）若+〃〃+4,则

（2）数歹此2n},%4+加仍成等差数歹!hSn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列

（3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为、a-'d、a-、a+』d；

2222

（4）在等差数列中，求SR的最大（小）值，其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正（负）

值或0,而它后面各项皆取负（正）值，则从第一项起到该项的各项的和为最大（小）.即：当ai>0,d<0,

解不等式组〃20，a/iW0可得S。达最大值时的n的值；当a1<0,d>0,解不等式组an^0,

十1）。可得Sn达最小值时的n的值；

（5）若a。，如是等差数列,Sn,Tn分别为，匹的前n项和，则2=红出.

bmT2m-I

33.等比数列中的重要性质：（1）若〃?+〃=p+q,则区〃=4〃•4；（2）Sk,S2k-Sk，

S3M-S24成等比数列

34.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论.（夕=1时，；9W1

时，s〃="Q）

i-q

35.等比数列的一个求和公式；设等比数列｛%｝的前n项和为S〃，公比为夕，则

m

5计〃=Sm+qSn.

36.等差数列的一个性质：设S“是数列｛〃〃｝的前n项和，｛〃〃｝为等差数列的充要条件是

2

Sn=an4-bn（a,b为常数）其公差是2a.

37.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若c“=a〃b”,其中｛%｝是等差数

列，也｝是等比数列，求｛c〃｝的前n项的和）

38.用o〃=S〃—求数列的通项公式时，你注意到q=3了吗？

39.你还记得裂项求和吗？（如一5—=--——.）

n（n+1）nn+1

四、排列组合、二项式定理

40.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.

41.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位

问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接

法，还记得什么时候用隔板法？

42.排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：=m!・C：

组合数性质：c;;*=c;rC：+C：i=Xc：=2〃

r=O

q+C—••+q=M：

二项式定理：①+力〃=c%〃+。储1〃+。：优一2〃2+...+c“TM+…+c»”

二项展开式的通项公式：（句〃（1=012…，〃）

五、立体几何

64..三视图：三视图的三大原则：长对正，高平齐，宽相等

65.有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线O线〃面O面〃面，线_1_线0

线，面O面，面，垂直常用向量来证。

65.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，二

作垂线，三作斜线，射影可见.

66.二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量

67.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）

68.你记住三垂线定理及其逆定理了吗？

69.有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你

还记得经度及纬度的含义吗？（经度是面面角；纬度是线面角）

六、解析几何

70.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k,你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不

存在的情况？（例如：一条直线经过点（—3,—且被圆V+y2=25截得的弦长为8,

求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）

71.定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及几值可要搞清）

线段的定比分点坐标公式

设P（x,y）,Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）,且［尸=4尸4，则

X%1-I-/ix2x}+X2

<1+'中点坐标公式,之

yj+仪yJ+乃

I1+2I2

若A（X]，M）,B（x2,y2）,。（工3，），3），则△ABC的重心G的坐标是

（再+々+当Y+为+力）

（33

72.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合，而在立体几何中

一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

73.直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式的局

限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）

74.对不重合的两条直线4:A1X+Bj+G=0，，2：AzX+BzV+C2=0，有

A.B）=A-）B.

/"o'；例2=44+用e=0.

A]Cx2WA,C]

75.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

76.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为；=但不要忘记当a=0时,

ab

直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等.

77.两直线Ax+5y+G=0和Ar+By+G=0的距离公式d=_______

78.直线日方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当警L的方向向

量为m=（xo,y0）时，斜率k=；当直线斜率为k时，直线的方向向量〃2二。

79.直线到直线所成角公式；两直线夹角公式,何时用？

80.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程

联立，判别式.一般来说，前者更简捷.

81.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

82.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几

何性质.

83.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？

判别式ANO的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在△>（）下进

行）,

84.椭圆中，a,b,c的关系为一；离心率e二一；准线方程为一；焦点到相应准线距

离为-双曲线中，a,b,c的关系为-----；离心率e=----；准线方程为----；焦点

到相应准线距离为——

85.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

86.你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的儿何条件代数化，特别是一些很不起眼

的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经

过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要

忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解儿问题的重要思想方法，要记得画图

分析哟！

87.你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀！

88.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确

目标困数，其中关键就是要犒清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中

的y的系数变为正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范围，但也可以不用

线性规划。

七、向量

89.两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意3=是向量平行的

充分不必要条件。(定义及坐标表示)

90.向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|"|2二］.】，

cos。二四=「同2_+平

I。MlJ/+y］2J,+y22

91.利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情

况，要注意是向量标口向量/夹角为钝角的必要而非充分条件。

92.向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律,

即a(b•c)。(a•1))(:,切记两向量不能相除。

93.你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内

任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？

94.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，

对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边

同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量。

95.向量的直角坐标运算

设。=(q,a2M3)»6=(4也也)，则。+b=(q+b^a2+b2,a3+/?3)

-/7)

a-b=-b^a2-b2,a33Aa=Aa2,G/?)

—>—>a=yja-a=小a；+〃；

ab-a}b}+a2b2+«3/73

—>—>ab、+a2b2+出仇

cos<a,b>=}

+a；+a；+后+b；

—>—>—>—>

allb<=>ax=劝］,%=4b2，％=也,(4£R)，a«L〃<=>。自+a2b2+a3b3=0

设A=(X|，M，Z|),B=(X2,V2,Z2),

则AB=OB-OA=(x29y29z2)-(xt,yi,zl)=(x2-x1,y2-yl9z2-zl)

222

网=UB・XB+7(X2-xj+(J2-y,)+(z2-Zj)

八、导数与定积分

96.导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。

97.几个重要函数的导数：①C'=0,(C为常数)②=〃才1(〃£。)

导数的四运算法则土N)=jn±v

98.利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f'(x)20或「(x)W0,带上等号。

99..f'(x0)=0是函数f(x)在X。处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在X。处取得极值的充

分要条件是什么？

100.利用导数求最值的步骤：(1)求导数/'⑴(2)求方程/'(x)=0的根为，勺，…，Z

(3)计算极值及端点函数值的大小

(4)根据上述值的大小，确定最大值与最小值.

101.求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。

告诉连续的函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，

②函数在此点的值为定值。

102.定积分

①.定积分的定义及其儿何意义

②定积分的基本性质

phpbfh

性质1f[/(x4)g(x)4k/(4dX.

JaJaJa

这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.

性质21妙(x)公=公(k为常数).

性质3不论a,b,。三点的相互位置如何，恒有，/。)公=『/(x)必:+，/(x)公.

性质4若在区间切上，f(x)0,则//(幻①:20.

Ja

③微积分基本定理

如果广(X)=/(X),且/(X)在他，切上可积，则ffMdx=F(b)-F(a)这个结论叫微

Jat

积分基本定理，其中b(x)叫做/")的一个原函数.也常记为公=/(刈：=尸㈤一方⑷

九、概率统计

103.有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的

知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互

独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意

公式的使用条件。

(1)若事件A、B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)

(2)若事件A、B为相互独立事件，则P(A•B)=P(A)-P(B)

(3)若事件A、B为对立事件，则P(A)+P(B)=1

一般地，〃(勾=1—P(A)

(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生k

次的概率Pn⑹=CAQ-p)'T

104.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它

的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征

就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要

使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。

105.平均数、中位数和众数的概概念

106.戚率分布直言方图

107.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域力的几何度量(长度、面积或

体积)成正比，而与力的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型.

构成事件A的区域长度(面积或体积)

几何概型的概率：P(A)=

试验的全部结果所构成区域长度(面积或体积)

108.条件概率：一般地，设A、8为两个事件，且P(A)>(),称P(5|A)=今繁为在事件A发生

的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作4发生的条件下8发生的概率.

任何事件的条件概率都在0和1之间，即0WP(8|A)W1

如果8和。是两个互斥事件，则P(8UC|A)=P(8|A)+P(C|A)

109.两点分布：如果随机变量X的分布列为

X10

PPl—p

其中0<p<l,则称离散型随机变量X服从参数为〃的两点分布，称〃=P(X=1)为成功概率

二项分布：随机变量X服从参数为〃、P的二项分布，记作X~8(〃，p),

P(X=k)=cM"(l-p)"T,%=01,2,…，n.

113.超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛X=A｝发

生的概率为

「k/^n~k

P(X=k)=-^7,2=()』,2,…，加，(其中机是"，〃中的最小值，nWN,MWN,〃、M、

LN

NWN*).

称分相列为超几何分布列，如果随机变量*的分市列为超儿何分布列，则称随机变量才服从

超几何分布.

114.两点分布、二项分布、均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)=p,O(X)=〃(1—p).

(2)若X〜3(〃，p),则E(X)=〃p,D(X)=np[\—p).

115有关正态分布问题：①总体密度函数的图象和性质；②了解线性回归的方法：①相关变

量的定义；②回归直线的求法；③线性回归求最值的基本思想(即偏差的平方和最小)④相

关系数Ir|的意义。

116：用总体亩+点本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。

十、极坐标与参数方程

117.极坐标

(1)极坐标系的概念(2)极坐标和直角坐标的互化公式

x=pcos0

若点M的极坐标为(p,0,直角坐标为(x,)，)，贝%,八

y=〃sin9ta小,丘()

⑶简单的特殊曲线的极坐标方程

①圆心在极轴上点eg0）,过极点的圆方程P=2acose.

②圆心在极点、半径为〃的圆的极坐标方程夕=".

③过极点倾角为Q的直线的极坐标方程为：e=Q或8=Q+TI（。20）.

④过4（a,0）（a＞0）与极轴垂直的直线QCOS6=a.

⑤过A（〃，§（。＞0）与极轴平行的直线psin9=a.

118.参数方程

①参数方程的概念②直线的参数方程

A{x=XQ-\~at

过点（即，州），斜率为5的直线的参数方程为。为参数）.

特别当/+从=1时，设直线的倾斜角为呢则直线的参数方程为：

x=xo+/cosa

'।,。为参数），这时，参数/的儿何意义是以直线/上点MQo,比）为起点，任意一

y=