概率论与数理统计章节练习题及答案

习题L基础达标题解答

一、填空题

1.设AB是两个随机事件，P（X）=0.9,P（AB）=0.36,则P（A方）=.

解：0.54.因为尸（4可=尸（A）-P（A8）=0.54.

2.设P（A）=0.3,P（B）=0.2,尸（AU3）=0.4,则P（A月）二.

解：0.2.因为P（A5）=P（AU5）-P（3）=0.2.

3.设A,8是两个随机事件，P（X）=0.5,玳4一用=0.2,则=,尸（而）

解：0.3,0.7.因为P（A3）=P（A）-P（4-3）=0.3,。（而）=l—P（A8）=0.7.

4.在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率.

解；0.504.因为所求概率为*=0.504.

5.盒子中有5红2白共7只质量、大小相同的球，不放回取两次，则两次取不同颜色球的概

率.

解：因为所求概率与=3.

21C；21

6.设A,B是两个随机事件，尸（A）=0.7,P（B）=0.6,P（fi|A）=0.4,贝IJP（AJ3）=

尸（明

解：因为。.4=小种貂得P（加）=0.12,放

0.82.而‘

P（AlB）=P（A）+P（BA）=0.82.

二、选择题

1.设48为仟意两个事件，表达式4UA表示（）.

（A）A与B同时发生（B）A发生但8不发生

（C）8发生但A不发生（D）A与8至少有一件发生

解：选D.事件和的定义.

2.设A,B为两个事件，则关系式=A当（）时成立.

（A）Au3（B）3uA（C）A^B（D）火u4

解：选A.\/XGA=AB=>xGB,故Au吕.

3.设任意的两个事件AB,若=则必有().

(A)P(AJB)=1(B)事件A与8互不相容

(C)*4)=0或P(5)=0(D)事件A与B互为对立

解：选民事件不相容的定义.

4.设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品.现从中不放回任意抽取3件产品，求这3件产

品中恰有一件是次品的概率为().

79315

(A)—(B)—(C)-(D)—

1516416

解：选A.所求概率为卑=2_.

C：。15

5.袋中有3白1红共4只质量、大小相同的球，甲先任取一球，观察后放回；然后乙再任取一球，

则二人取相同颜色球的概率为().

小8/□、9/「、10小、11

(A)—(B)—(CJ—(D)——

16161616

2

解：选c.所求概率为I二J二U10.

4216

6.设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品.现从中每次抽取1件产品，有放回抽取3次,

求这3次抽取中恰有一次抽取是合格品的概率是().

1114

(A)0.096(B)—(C)-(D)—

解：选A.所求概率为&⑴=C；*1

=0.096.

三、解答题

1.设43是两个随机事件，已知P(A)=0.45,P(B)=0.3,P(^IJB)=0.8,求

P(AB),P(AB),P(B-A),P(AJB).

解：由夕(耳一耳)=P(而)=1一尸(A3)=0.8,得Q(AB)=l-0.8=0.2；

B)=1-P(^LB)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]

=1-[0.45+0.3-0.2]=0.45;

P(AB)=03-0.2=0.1；

P(AUB)=l-P(Al7I)=l-P(AB)=l-P(B-A)=1-0,1=0.9.

2.已知P(A)=P(B)=P(C)=L,P(AB)=P(AC)=P(BC)=-,P(A8C)=求概率户(AU8(JC)和

4816

P(ABC).

解：由P(AJ8UO=P(A)+P(3)+P(O-P(AB)-P(AC)-P(3C)+P(ABC)

11111117

=―+-+------------+=;

4448881616

―/77

PiABC}-P(AJBUC)-1-P(/AUZ?JO-1——-—.

1616

3.已知尸(A)=0.5,尸(8)=04,P(A-8)=0.6,求P(A⑻，网斗⑻.

解：由尸(45)=P(4)+P(A)—P(AJN)=0.5+0.4-0.6=0.3,

P\A\B)=^^~=—=0.75；

P(B)0.4

由P(AB)=P(A-B)=P(A)-P[AB)=0.5-0.3=0.2,

0,2_0,2_0.2_1

-l-P(B)-1-0.4―港一3•

4.甲组有3男生1女生，乙组有1男生3女生.今从甲组随机抽一人编入乙组，然后再从乙组随机

抽一人编入甲组，求(1)甲组仍为3男生1女生的概率；(2)甲组为4男生的概率.

解：设4=｛先由甲组抽取一男生｝,8=｛再由乙组抽取一男生｝.

(1)P(A3+而)=P(A)P(8|A)+尸(无)户(月区)=；•|+；•1=为=0.5；

(2)P(AB)=P(A)P(B\A)=11=J-=0.05.

5.袋中有5个白球与10个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回.求第二次取出的球与

第一次取出的球颜色相同的概率.

解：设事件A=｛第一次抽到的是白球｝,3=｛第二次抽到的是白球｝.

P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(叫A)+P(A)P(B\A)

55-11010-1

=—«0.5238.

-5+105+10-15+105+10-121

另解：所求概率为

Q21

6.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，由于设筝差别，各车间的生产量分别占总产量的

60%、25%,15%；各车间生产的产品优质品率分别为70%、80%、90%.现从总产品中随机挑选一件,

习题1:综合提高题解答

1.设一系统由两个元件并联而成，如下图所示

已知各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为

求系统能正常工作的概率.

解：记4,4分别表示元件正常工作，于是所求概率为

p(AJA)=I-P(AUA)=I-P(AX)

2.某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%,

从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：(1)两个灯泡寿命均大于2500小

时；(2)两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；(3)两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小

时.

解：用A,8分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独

立.

(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.9=0.72；

(2)P(A^B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98；

(3)P(A□B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.1-0.2x0.1=0.28.

3.设两个随机事件A和B相互独立，且P(丽q(M)=P(丽，试求P(A).

解：因为A和8相互独立，则由P(AB)=P(AB)得P⑷P,)=P(可P(B),即

P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB),从而P(A)=P(B).又P(AB)=P(B)P(A)=-,从而P(A)=-,故

-2

P(A)=\-P(A)=-.

习题2：基础达标题解答

一、填空题

0,x<-1,

2

百—1Wx<0,

1.设随机变量x的分布函数为尸（犬）=则P(X?=1)

3

一,0<x<1,

5

Q39R

解：—.因为P(x2=l)=P(X=l)+P(X=-l)=l-2+——0=—.

1551515

C—x.0<x<1,

2.设随机变量X的密度函数为/(x)=八廿心则常数C=___________

0,其他，

4+001Q

解：因为「”/（外山:二］9一外也二。一一=b因此。二士.

2。4^2

2丫0<x<I

3.设随机变量x的概率密度为/0）=八‘甘心’以y表示对x的三次独立重复观察中事件

o,其他.

x<-"出现的次数，则p（y=i）=

解:因为p/x《）=宸血$p（y=i）=c>（i-p）-g.

4.设X服从［-1,1］上的均匀分布，则概率P（X2-』X-，£0）=

48

解：因为p（x?—!x—'wo）=P

84842乜28

5.设X〜N（4，/）,尸（幻为其分布函数，则对任意实数a,#F{/j+a）+F（p-a）=

解：1.因为尸（〃+。）+尸（4一〃）=①（"伫乂）+①（匕士以）=飘0）+①（一0）=1.

x,0<x<1,

I33

6.设连续随机变量X的概率密度为了（幻=户乂1<%<2,则PQWX<二）=

0,其他.

3d,()</<1

7.设随机变量X的概率密度为/"）=.如果P(X>a)=P(X<a),则〃二

解:f.因为由题意可知尸(X>〃)=P(X<〃)j尸—止J：3W因此"日

8.若随机变量X的概率分布列为工-2T__9__\——L,记y=x+2,Z=-X+1,W=X2,

P0.30.20.10.20.2

则随机变量y、z和w的概率分布列分别为:

y|01237Z-40123

P0.30.20.10.20.2P0.20.20.10.20.3

VV01425

P0.10.40.30.2

丫_]01?Q

9.设随机变量X的分布列为胃二c八，八。二,，则y=2X-l,Z=X?+1的分布列

P0.20.10.10.30.3

为;.

y-3-1135Z1251()

解.-------------------------------------------------

p0.20.10.10.30.3'p0.10.30.30.3,

10.设X服从［-1,1］上的均匀分右，则随机变量y=ex的概率密度为,Z=-ln(l-X)的

概率密度为_______________

1!”4e,e-L

-Z-，——•-In2<z<+8.

解：fAy)='2ye7z(z)=・2

.0,其它.0,其它.

1

〜、附(刊，a<y<p_-<y<e,

因为％(y)=l”,4叫ye

0其它一斤

o,其它.

e

fx也(y)]|%(y)|，a<y<p,-In2<z<+8,

T,

似z)-yz(z)=«=-

・°，其它

o,其它.

二.选择题

1.下列函数中能够作为分布函数的是().

0,x<0,

0,x<(),

1

(A)F(x)=0<x<2,(B)F(x)=2+x八

2，；

------r2x20

Lx>2;\+x

0,x<0,

0,x<0,

Y+2

(C)FU)=^--,0<x<l,(D)F(x)=«2+cosx,()<x<

4

1,X>7T.

1,x>l;

解：选C.因为A：R(x)在x=2处左连续，但不右连续；B：/(内)=001；D：F(0)=3.

2.设随机变量X~N(1O1,1O2),而且c满足P(X>C)=P(XWC),则。等于().

(A)0(B)101(C)111(D)91

解：选B.因为由题意可知,=P(Xw。尸①,因此£22=0,因此C=101.

21010

3.设随机变量X的概率密度为/(x)=—J,-8<x<+oo,则2的值为().

1+JC

(A)-J=(B)-(C)-(D)-

yJTT万22

解：选B.因为由题意可知1=f—JdA=(Zarctanx)匿=A/，因此〃=L

J^014-X71

4.下列命题正确的是().

(A)离散随机变量的分布函数是连续函数

(B)连续随机变量的密度函数满足0<f(x)<1

(C)连续随机变量的分布函数是连续函数

(D)两个概率密度函数的乘积还是密度函数

解：选C因为离散随机变量的分布函数是右连续函数，连续随机变量的密度函数/(女)满足/(1)>0,

两个概率密度函数的乘积不一定是密度函数.

5.设标准正态随机变量X的分布函数为①"),则对于任意实数a,有中(-/二().

(A)①⑷(B),一①⑷(C)2①⑷-1(D)1-中⑷

2

解：选D.因为中(一x)+①(x)=l,所以①(一〃)=1一①(a).

6.设耳⑴和5(x)都是随机变量的分布函数，下面哪组值能够使得%用=西。)-此⑴一定是某随

机变量的分布函数().

32221313

(A)a=-,b=--(B)=-^b=~-(C)a=——,b=——(D)a=­,b=——

55a332222

22

解：选A.因为B条件下尸(x)=§4(x)+§6(x),F(+oo)=

C条件下F(x)=-^1(x)+3^(x)无法判断其单调性;

D条件下F(x)=；6(x)+%(x),F(+oo)=2工1.

三.解答题

1.设随机变量X的概率密度为

"叼。x，e',x>其0他,

求X的分布函数F(x)和概率P(-l<X<1).

解：(1)由/(%)=「/(r)dr得

J-oc

....0,x<0,

当x<()H寸，F(x)=0；当xNO时，F(x)=(xe'dr=l-(x+l)e因此T7。)=«

Jo[l-(x+l)e-\x>0.

、2

(2)P(-1<X<1)=F(1)-F(O)=1一一.

e

2.设随机变量X的概率密度为

—sinx,0<x</r,

/«=2

0,其他

对x独立地重复观察3次，用y表示观察值大于工的次数，试求y的分布律.

2

解：由题意可知y〜3(几〃)，其中〃=3,p=P(X>—)=[J-sin.vdv=-.

2J,22

I3

因止匕P(Y=0)=《〃。(1一")3=_,P(Y=1)=C>'(1一”)2二一，

88

3I

P(Y=2)=C；/r(l-p)'=-,P(y=3)=C浮(1-p)°=-.

oo

因此，y的分布律

yo123

p1331

8-8-8-8-

3.一个袋中有6只球，编号1,2,3,4,5,6,在具中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最

大号码，求X的分布律.

解：由题意可知

I]C23C13C21

P(X=3)=—=—,p(x=4)=T=3，P(X=5)===2,P(X=6)=T=一.

20Cl20d10Cl2

因此，X的分布律

X3456

J_2_2_1

2020IO2

4.设8件产品中有5件正品、3个次品，现随机地从中抽取产品，每次抽I件，直到抽到正品为止,

求（1）有放回抽取时，抽取次数X的分布律；（2）无放回抽取时，抽取次数丫的分布律.

解：（1）由题意可知

P(X=k)=q)J(R=l,2,3,.....

（2）由题意可知

3x2x53x2x1x5_1

尸(y=l)S,p(y=2)=—=—,P(K=3)=—,P(r=4)=

88x7568x7x6568x7x6x556

因此，丫的分布律

Y1234

525J_

P

8565656

5.设随机变量丫服从也可上的均匀分布‘且关于未知量、的方程，-枚+5丫+3=°没有实根的概率

为”求“的值•

解：方程f一心+[y+2=o没有实根等价于△二片一丫一2<0,因此可得尸(片一丫—2<0)='.

422

而P(Y2-r-2<0)=P(-l<y<2)=J：fy(y)dy,

当1时，ffy(y)dy—I,—5—dy=—-—=—,因此a=—2：

4-6/2

当T<4时，j>y)dy=f七dy=1^=；因止匕4=0；

当〃>2时，尸（丫2一丫一2<0）=0与已知矛盾.

综上口、知，〃=—2或〃=（）.

6.设随机变量X的概率密度为

-1<r<0,

x,0<x<h

0,其他.

求y=x2的分布函数.

解：因为随机变量x在区间（-1』）内取值，所以随机变量y=x?将在区间（0」）内取值.当），zo时,

求y=x2的分布函数6（），）：

2

FY(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P[-^<X<^}=^fx(x)dx.

当OKy41时,4()，)=[1九(工)八=J])(l+x)dx+J，xdx=6；

当y>l时，耳()，)=1.

0,y<0,

所以随机变量y的分布函数为6(.y)=",0<><1,

1,y>\.

7.设X服从区间(0,4)上的均匀分布，试求随机变量y=X2-2X的密度函数.

解：因为随机变量X在区间(0,4)内取值，所以随机变量y=x2-2X将在区间(-1,8)内取值.对于

-l<y<8时，先求y=X2-2X的分布函数弓(y).

2

FY(y)=P[Y<y]=P{X-2X<y}=P{l-4y^<X<\+y^}=^fx(x)ax

当-l<y<。时，Wy)=.dx=争进而加y)=*(y)=J7r

当。"<8时，Fr(y)=f^dx=l^±l,进而人()，)=『,)=..

-1<y<0,

4V7+T

i

所以随机变量y的概率密度为f(y)=0<y<8,

Y3+1

0,其他.

习题2：综合提高题解答

1.设随机变量x的分布函数为

0,x<—1,

F(x)=((2x+6)/15,-1<A<1,

1,x>\.

求P(>2=1).

2

解：p(x=i)=p(x=i)+p(x=-i)=F(l)-F(r)+F(-l)-F((-l)-)

,84八11

=1-----+------0=—.

151515

2.设随机变量X的密度函数为

C+x,-1<x<0,

/(x)=*C-x,0<x<1,

0,其他.

求：(1)常数C；(2)随机变量X的分布函数尸3)；(3)P(-1<X<1).

22

解：(1)由1=］：工(幻口=，：。+工)心+［(。一］)心=20-1有(7=1.

(2)尸(x)=P{X/(x)dx,

J-00

当x<—l时，F(x)=0；

、2

当一l〈xv()时，F")=「(l+x)&=(l+x)；

J-2

当OK无<1时，F(x)=j°(14-x)dx+jV(l-x)dx=--x2+x4--；

当xNl时，F(x)=1.

0,x<—l,

所以随机变量X的分布函数为F(x)=2

22'

1,x>\.

1、713

(3)P(——<X<-)=

222884

3.设f(x)=CerXx为某一随机变量的概率密度，求参数C的值.

解：由概率密度正则性有J：/(x)dx=l,而

「"/(%)心=/Ce-f'dx=「。©”一.=Ce4e-(t-2)；dx

JF八，J-00J-x.J-oo

"2)2

=Ce4y/27rx-^=x[-----!——e巧dr=Cy/Tre4,

>/2

因此c=

1

X>-

o,2

4.已知X〜U(T,1),Y=<1

X<-

2

解：p（y=0）=P（X>-）=P（-<X<l）=C-clr=-,

22^24

p（y=l）=p（X<l）=p（-l<X<1）=pldr=2.

22J-24

Y01

因此，y的分布律为i3一.

p--

44

5.设随机变量x的分布函数用⑴为严格单调增加的连续函数，y服从[0,“上的均匀分布，证明随

机变量Z=F-\Y）的分布函数与X的分布函数相同.

证：因为z=F;（y）的分布函数为

xi：）

Fz（z）=P{Z<z}=P{F-\Y）<z}=P{Y<Fx（z）}=[dx=Fx（z）f

因此，随机变量工=FX\Y）的分布函数与X的分布函数相同.

习题3：基础达标题解答

一.填空题

1.在一个箱子中装有12只开关，其中2只是次品，从中有放回取两次，每次任取一只开关，定义随

机变量

Y[0,若第一次取出的是正品v[0,若第二次取出的是正品

A=S、丫=<

[L若笫一次取出的是次品[1,若第二次取出的是次品

试写出二维随机变量（x,y）的联合概率分布列与x的边缘分布列

Y

（x,y）

123

\_J_1

1

6918

X

2.若二维随机变量（x,y）的联合概率分布列为£

2aP

3

且X与y相互独立，则a=；p=

解：a=-iP=—•因为由独立性知！='d+a）,即a=2；再由规范性知1=,+L+'+,+a+〃，

99939969183

即a+0=g,则夕

3.设相互独立的随机变量X与V都服从（0,2）上的均匀分布，则它们的联合密度函数

/(X,y)=；P(\X-Y\<\)=

解：八乂）,）={^'3.因为X与丫都服从（0,2）上的均匀分布，则X与y的概率

0,其他4

密度函数分别为

1八c，心）二”。《

一,0<x<2,

/“)=2'

o,其他o,其他

再由x与y相互独立,所以他们的联合概率密度函数为

0<x<2,0<y<2,

f(x,y)=-4

0,其他

因此P(|X—丫归1)=Jjf(x,y)dxdy="；dxd)，=1.

k-小।k-胭44

0<.v<2

0<y<2

le~2x,x>()

4.设随机变量X与y相互独立，它们的概率密度函数分别为/x（x）=

0,x<0

v>0

fY(y)=\')，则概率P[X<2,y>i)=______________

0,y<0

解：(l—eY)"3a0.0489.因为X与丫相互独立，则P(X<2,K>1)=P(X<2)P(K>1)

2s3y43

=jjfx(x)dx^fY(y)dy=£2e~dx^3e-dy=(\-e-)e-=0.0489.

二.选择题

1.设X的分布函数为8(上)，则随机变量函数Y=3X+1的分布函数为.

v-1I1

(A)&(=);(B)&(3y+1)；(C)3&(y)+l；(D)§外()')一§

解：选A.因为小)，)=P{y«)，}=p{3x+iw)，}二p{xw^^}=G(T).

3'3

2.设随机变量X〜U(0,6),则y=X-3的概率密度函数为.

1

-3-<y-<

(A)/y(y)=.£-3<y<3

（B）人（），）=<6

u,其他0其他

（D）力（），）=E0<y<6

（C）/.（,）=?

u.其他

0,其他

解：选B.因为4(y)=P{Y«y}=P{X_3«y}=P{X«y+3}=&(y+3),X〜U(0,6),所以Y=X-3

的概率密度函数为

\_

人()，)=邛(》)=*()，+3)=/x(y+3)=，6'-3<><3

o,其他

三.解答题

1.设随机变量X在正整数123,4中等可能取值，另一随机变量y在1〜X中等可能地取一整数值，试

求（X,y）的联合分布律.

解：x的可能取值为123,4,而y«x,则y的可能取值也是123,4.由于｛y>x｝是不可能事件,

所以当iv/时,

p{x=z,r=j}=o；

当后j时，由概率乘法公式得

P{X=z,y=j)=p{x=z}.p{y=j|x=z)；

(Z-1,2,3,4,J</).

4i

于是，(x,y)的联合分布律为

Y

（x,y）

1234

i-000

4

2II00

88

X

111c

3———0

121212

J_J_J_J_

4161616T?

2.设二维随机变量（X,y）的密度函数为

k(6-x-y)y0<x<2,2<y<4,

/(-%y)=•

0,其他.

求：(1)确定常数%;(2)求P(Xvl,y<3)；(3)求P(X+y<4).

解：(1)由1=JJ/(x,y)d_rdy=k(6-x-y)dy=%J；(6-2x)dx=8攵，得攵=:.

(2)记〃={(x,y)ix<i,y<3},则

=jjf。,y)drdy=北dxj；(6—x-y)dy=1.

p(x<i,r<3)

(3)记2={(x,y)ix+y<4},则

尸(X+y<4)="f(x,j)drdv=1J；cbj：'(6—x—y)dy=1-4x+6)dx=|.

*^2

3.设二维随机变量（x.y）的密度函数为

0<x<2,0<y<1,

f(x,y)=«2

o,其他

求随机变量x与y中至少有一个小于os的概率.

解：由题意，所求事件为｛X<0.5｝与｛y<0.5｝的和事件，其概率为

P({X<0.5}u{y<0.5})=l-P(X>0.5,r>0.5)

=l-f—dy=-.

J0.5J().528

1冶

4.设随机变量乂与丫相互独立，x~u(o,2),y的概率密度/(),)=(，'2,y>0写出二维随机

0,y<0

变量（X,y）的联合概率密度/（x,y）,并求概率p（xwy）.

解：由/,（©=5'0<x<2,A（J）=2e2,及x与y相互