量子力学导论第章答案

第四章力学量用算符表达与表象变换4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且证：ⅰ）为厄米算符。ⅱ）也为厄米算符。ⅲ）令，则，且定义（1）由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得4.2）设是的整函数，证明整函数是指可以展开成。证：（1）先证。同理，现在，而。又而4.3）定义反对易式，证明证：4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为，为Levi-civita符号，试验证（1）（2）（3）证：（1）式左端（1）式右端也可以化成。（1）式得证。（2）式左端（）（2）式右端故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明（1）（2）证：（1）式右端（1）式左端（2）式右端（2）式左端4.6）设是由，构成的标量算符，证明（1）证：（2）（3）同理可证，（4）（5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。4.7）证明。证：利用基本对易式即得。因此其次，由于和对易，所以因此，4.8）证明（1）（2）（3）（4）证:（1）利用公式，，有其中因此（2）利用公式，（Δ）可得①②③由①②③，则（2）得证。（3）（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），，其中（即）类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。4.9）定义径向动量算符证明：，，，，证：，即为厄米算符。据4.8）（1），。其中，因而以左乘上式各项，即得4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量。又奇，，，（由(3.8)、(3.9)题可知），，由测不准关系，得。，得同理有，。谐振子（三维）基态能量。4.11)利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径，在类氢原子中变为。类氢原子基态波函数，仅是的函数。而，故只考虑径向测不准关系，类氢原子径向能量为：。而，如果只考虑基态，它可写为，与共轭，于是，，（1）求极值由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证：设定态波函数的空间部分为，则有为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：。这里已用到最基本的对易关系，由此这里用到了的厄米性。这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。4.13）证明在的本征态下，。（提示：利用，求平均。）证：设是的本征态，本征值为，即，，同理有：。4.14)设粒子处于状态下，求和解：记本征态为，满足本征方程，，，利用基本对易式，可得算符关系将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此又上题已证。同理。4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求（a）的可能测值及平均值;（b）的可能测值及相应的几率；（c）的可能测值及相应的几率。解：，；，。（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。（b）的可能测值为，，相应的几率为，。（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，，0，，。1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是求本征矢并令，则，得，，，。。ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。在态下，取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；取的振幅为，相应的几率为。总几率为。2）在的空间，对角化表象中的矩阵利用，，，。，本征方程，，，，，。ⅰ），，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；ⅱ），，，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。ⅲ），，，，，本征矢为，在态下，测得几率为。ⅳ），，，，，本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；ⅴ），，，，，本征矢为，在态下，测得的几率为。。在态中，测（和）的可能值及几率分别为：4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解：，，，。是归一化的。，，。它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。4.17）设有矩阵等，证明，，，，，表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。证：（1）由定义，故上式可写成：，其中是的任意一个置换。（2）（3）（4）（5）简答题什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。光电效应规律如下：1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。3．光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h是普朗克常数；f是入射光子的频率。写出德布罗意假设和德布罗意公式。德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。德布罗意公式：简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。答：设和是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由和的线性叠加来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由确定，中出现有和的干涉项，和的模对相对相位对概率分布具有重要作用。5.何谓定态？它有何特征？答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定，则体系可以处于定态。定态具有以下特征：（1）定态波函数时空变量可以分离其中是哈密顿的本征函数，而为对应的本征值（2）不显含t的任何力学量，对于定态的期待值，不随时间变化，各种可能观察值出现的几率分布亦不随时间变化。注意通用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写离子状态的波函数都是含时的。6.什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的叫束缚态。束缚态的能级是离散的。例如，一维谐振子就属于束缚态，具有量子化的能级。但束缚态不一定是定态，例如，限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包，上题已讨论过，这种叠加态是没有确定能量植的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态。例如：弹性散射中，入射粒子受散射势作用而向各方向散射，粒子不局限在有限区域，但粒子处于能量的本征态。这时粒子处于一个非束缚态，或者说处于散射定态（常简称为散射态）。7.简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？答：对于一般情况，如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：ψ

=c1ψ1+c2ψ2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义：表示当粒子处于态ψ1和ψ2的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态ψ1，又处于态ψ2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。答：（1）与、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相对概率，故与、均描述同一态。（2）由于任意复数，以及显然，只有当复数，即，且时，均描述同一态。9.量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？答:表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。10．简述量子力学的五个基本假设。（1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述；（2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程；（3）力学量由相应的线性算符表示；（4）力学量算符之间有想确定的对易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直角坐标系分量与动量算符的三个直角坐标系分量之间的对易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条件确定；（5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。11.简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。12.简述测不准关系的主要内容，并写出时间f和能量E的测不准关系。答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。能量E（E=ħω）和时间t的测不准关系：ΔEΔt≥ħ或者ΔωΔt≥1。13.量子力学中的守恒量是如何定义的（用式子表示）?守恒量有什么性质？答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量。式子：P76；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。14.原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？答：量子力学的原子轨道是解薛定谔方程得到的，以满足量子化条件为前提的。

15.什么是全同性原理和泡剩不相容原理，二者是什么关系？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。16.那些实验事实说明电子存在自旋？自旋有什么特征？电子具有自旋的实验证据：斯特恩-盖拉赫实验；光谱精细结构；反常塞曼效应。自旋的特点：电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3）电子自旋值是，而不是的整数倍。（4），而两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系：。它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当时，自旋效应消失；它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取两个值。17.自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。18.自旋与轨道角动量的不同之处。P145：a，b19.什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的精细结构；当n和l给定后，j可以取，即具有相同的量子数n，l的能级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简并度为。20.解：表示电子自旋向上（）、位置在处的几率密度；表示电子自旋向下（）的几率。21.二电子体系中，总自旋的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。P157-158(主要是表格）(依据胡锦涛指示：此题为老师所删的内容）22.何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会