《通信原理》-樊昌信-曹丽娜-编著第六版课件-1-14全

通信原理第1章绪论第1章绪论

1.1通信的基本概念

通信的目的：传递消息中所包含的信息。

消息：是物质或精神状态的一种反映，例如语音、文字、音乐、数据、图片或活动图像等。

信息：是消息中包含的有效内容。

实现通信的方式和手段：

非电的：如旌旗、消息树、烽火台…

电的：如电报、电话、广播、电视、遥控、遥测、因特网和计算机通信等。第1章绪论

电信发明史

1837年：莫尔斯发明有线电报

1876年：贝尔发明有线电话

1918年：调幅无线电广播、超外差接收机问世

1936年：商业电视广播开播……………

后面讲述中，“通信”这一术语是指“电通信”，包括光通信，因为光也是一种电磁波。

在电通信系统中，消息的传递是通过电信号来实现的。第1章绪论

1.2通信系统的组成

1.2.1通信系统的一般模型

信息源（简称信源）：把各种消息转换成原始电信号，如麦克风。信源可分为模拟信源和数字信源。

发送设备：产生适合于在信道中传输的信号。

信道：将来自发送设备的信号传送到接收端的物理媒质。分为有线信道和无线信道两大类。

噪声源：集中表示分布于通信系统中各处的噪声。第1章绪论

接收设备：从受到减损的接收信号中正确恢复出原始电信号。

受信者（信宿）：把原始电信号还原成相应的消息，如扬声器等。第1章绪论

1.2.2模拟通信系统模型和数字通信系统模型

模拟信号和数字信号

模拟信号：代表消息的信号参量取值连续，例如麦克风输出电压：tt(a)话音信号(b)抽样信号图1-2模拟信号第1章绪论

数字信号：代表消息的信号参量取值为有限个，例如电报信号、计算机输入输出信号：tt(a)二进制信号(b)2PSK信号图1-3数字信号

通常，按照信道中传输的是模拟信号还是数字信号，相应地把通信系统分为模拟通信系统和数字通信系统。第1章绪论

模拟通信系统模型

模拟通信系统是利用模拟信号来传递信息的通信系统：图1-4模拟通信系统模型

两种变换：模拟消息

原始电信号（基带信号）基带信号

已调信号（带通信号）第1章绪论

数字通信系统模型

数字通信系统是利用数字信号来传递信息的通信系统图1-5数字通信系统模型

信源编码与译码目的：

提高信息传输的有效性

完成模/数转换

信道编码与译码目的：增强抗干扰能力

加密与解密目的：保证所传信息的安全

数字调制与解调目的：形成适合在信道中传输的带通信号

同步目的：使收发两端的信号在时间上保持步调一致第1章绪论

1.2.3数字通信的特点

优点

抗干扰能力强，且噪声不积累

传输差错可控

便于处理、变换、存储

便于将来自不同信源的信号综合到一起传输

易于集成，使通信设备微型化，重量轻

易于加密处理，且保密性好

缺点：

需要较大的传输带宽

对同步要求高第1章绪论

1.3通信系统分类与通信方式

1.3.1通信系统的分类

按通信业务分类：电报通信系统、电话通信系统、数据通信系统、图像通信系统……

按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统调制传输系统又分为多种调制，详见书中表1-1。

按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统

按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统

按工作波段分类：长波通信、中波通信、短波通信……

按信号复用方式分类：频分复用、时分复用、码分复用第1章绪论

1.3.2通信方式

单工、半双工和全双工通信

单工通信：消息只能单方向传输的工作方式

半双工通信：通信双方都能收发消息，但不能同时收发的工作方式

全双工通信：通信双方可同时进行收发消息的工作方式第1章绪论

并行传输和串行传输

并行传输：将代表信息的数字信号码元序列以成组的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输同时发送8比特01发1接0送收1方1方00优点：节省传输时间，速度快：不需要字符同步措施缺点：需要n条通信线路，成本高第1章绪论

串行传输：将数字信号码元序列以串行方式一个码元接一个码元地在一条信道上传输优点：只需一条通信信道，节省线路铺设费用缺点：速度慢，需要外加码组或字符同步措施

其他分类方式：

同步通信和异步通信

专线通信和网通信第1章绪论

1.4信息及其度量

信息：是消息中包含的有效内容

如何度量离散消息中所含的信息量?

度量信息量的原则

能度量任何消息，并与消息的种类无关。

度量方法应该与消息的重要程度无关。

消息中所含信息量和消息内容的不确定性有关【例】“某客机坠毁”这条消息比“今天下雨”这条消息包含有更多的信息。上例表明：消息所表达的事件越不可能发生，信息量就越大。第1章绪论

度量信息量的方法

事件的不确定程度可以用其出现的概率来描述：消息出现的概率越小，则消息中包含的信息量就越大。

设：P(x)－消息发生的概率，I－消息中所含的信息量，

则P(x)和I之间应该有如下关系：

I是P(x)的函数：I＝I[P(x)]

P(x)

，I

；P(x)

，I

；P(x)=1时，I＝0；P(x)=0时，I＝

；

I[P(x1)P(x2)

]

I[P(x1)]

I[P(x2)]

满足上述3条件的关系式如下：1I

loga

logaP(x)－信息量的定义P(x)第1章绪论1I

loga

logaP(x)P(x)

上式中对数的底：若a=2，信息量的单位称为比特(bit)，可简记为b若a=e，信息量的单位称为奈特(nat)，若a=10，信息量的单位称为哈特莱(Hartley)。

通常广泛使用的单位为比特，这时有1I

log2

log2P(x)(b)P(x)

【例】设一个二进制离散信源，以相等的概率发送数字“0”或“1”，则信源每个输出的信息含量为1I(0)

I(1)

log2

log22

1(b)1/2

在工程应用中，习惯把一个二进制码元称作1比特第1章绪论

若有M个等概率波形（P=1/M），且每一个波形的出现是独立的，则传送M进制波形之一的信息量为11I

log2

log2

log2M(b)P1/Mk

若M是2的整幂次，即M=2，则有kI

log22

k(b)当M=4时，即4进制波形，I=2比特，当M=8时，即8进制波形，I=3比特。第1章绪论

对于非等概率情况设：一个离散信源是由M个符号组成的集合，其中每个符号xi(i=1,2,3,…,M)按一定的概率P(xi)独立出现，即

x1,x2,L,xM

P

x1

,P

x2

,L,P

xM

M且有

P(xi)

1i

1则x1,x2,x3,…,xM所包含的信息量分别为

log2P(x1)，

log2P(x2)，L，

log2P(xM)于是，每个符号所含平均信息量为H(x)

P(x1)[

log2P(x1)]

P(x2)[

log2P(x2)]

L

P(xM)[

log2P(xM)]M

P(xi)log2P(xi)(比特/符号）(1.4

6)i

1由于H(x)同热力学中的熵形式相似，故称它为信息源的熵第1章绪论

【例1】一离散信源由“0”，“1”，“2”，“3”四个符号组成，它们出现的概率分别为3/8，1/4，1/4，1/8，且每个符号的出现都是独立的。试求某消息201020130213001203210100321010023102002010312032100120210的信息量。【解】此消息中，“0”出现23次，“1”出现14次，“2”出现13次，“3”出现7次，共有57个符号，故该消息的I

23log28/3

14log24

13log24

7log28

108(b)信息量I108I

1.89(比特/符号）每个符号的算术平均信息量为符号数57第1章绪论若用熵的概念来计算：33111111H

log2

log2

log2

log288444488

1.906（比特/符号）则该消息的信息量I

57

1.906

108.64(b)以上两种结果略有差别的原因在于，它们平均处理方法不同。前一种按算数平均的方法，结果可能存在误差。这种误差将随着消息序列中符号数的增加而减小。当消息序列较长时，用熵的概念计算更为方便。第1章绪论

连续消息的信息量关于连续消息的信息量可以用概率密度函数来描述。可以证明，连续消息的平均信息量为

H(x)

f

x

logaf

x

dx式中，f(x)－连续消息出现的概率密度。第1章绪论

1.5通信系统主要性能指标

通信系统的主要性能指标：有效性和可靠性

有效性：指传输一定信息量时所占用的信道资源（频带宽度和时间间隔），或者说是传输的“速度”问题。

可靠性：指接收信息的准确程度，也就是传输的“质量”问题。

模拟通信系统：

有效性：可用有效传输频带来度量。

可靠性：可用接收端最终输出信噪比来度量。第1章绪论

数字通信系统

有效性：用传输速率和频带利用率来衡量。

码元传输速率RB：定义为单位时间（每秒）传送码元的数目，单位为波特（Baud），简记为B。1RB

(B)T式中T－码元的持续时间（秒）

信息传输速率Rb：定义为单位时间内传递的平均信息量或比特数，单位为比特/秒，简记为b/s，或bpsRB

b

第1章

绪论

码元速率和信息速率的关系或对于二进制数字信号：M

=

2，码元速率和信息速率在数量上相等。

对于多进制，例如在八进制（M

=

8）中，若码元速率为1200

B，，则信息速率为3600

b/s。

(b/s)(B)Rb

RB

log2

M

Rb

log2

M第1章

绪论

频带利用率：定义为单位带宽（1赫兹）内的传输速率，即或

可靠性：常用误码率和误信率表示。

误码率

误信率，又称误比特率在二进制中有(B/Hz)

b/(s

Hz)RB

B

Rb

B

错误码元数传输总码元数Pe

错误比特数传输总比特数P

b

Pb

Pe第1章

绪论

1.6

小结通信的目的、电信发明史通信系统的模型数字信号、模拟信号，基带信号、已调信号（带通信号、频带信号）数字通信特点通信系统分类单工、半双工、全双工通信，并行传输和串行传输信息及其度量通信系统的有效性和可靠性通信原理第2章确知信号第2章确知信号

2.1确知信号的类型

按照周期性区分：

周期信号：s(t)

s(t

T0),

t

T0－信号的周期，T0>0

非周期信号

按照能量区分：

2

能量信号：能量有限，0

E

s(t)dt

功率信号：2222

归一化功率：P

V/R

IR

V

IT/212

平均功率P为有限正值：P

lims(t)dtT

T

T/2

能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于

第2章确知信号

2.2确知信号的频域性质

2.2.1功率信号的频谱

周期性功率信号频谱（函数）的定义T/210

j2

nf0tCn

C(nf0)

s(t)edt(2.2

1)T0

T0/2式中，f0＝1/T0，n为整数，-

<n<+

。

j2

nt/T0s(t)

Cne(2.2

2)n

T/210C0

s(t)dt(2.2

3)T0

T0/2j

nCn

Cne－双边谱，复振幅(2.2－4)|Cn|－振幅，

n－相位第2章确知信号

周期性功率信号频谱的性质

对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有

T/2T/210

j2

nf0t

10

j2

nf0t

*C

n

T0

T0/2s(t)edt

T0

T0/2s(t)edt

Cn(2.2

5)正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即|Cn|Cn的模偶对称-5-4-3-2-1012345n(a)振幅谱

nCn的相位奇对称-5-4-2-13n-301245(b)相位谱第2章确知信号将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到

j2

nt/T0s(t)

Cne

C0

ancos

2

nt/T0

bnsin

2

nt/T0

n

n

1

22

C0

n

1

an

bncos

2

nt/T0

(2.2

8)

1122式中

tan

bn/an

Cn

an

bn2式(2.2－8)表明：1.实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n=1时)和各次谐波(n=1,2,3,…)。222.实信号s(t)的各次谐波的振幅等于an

bn称为单边谱。3.实信号s(t)的各次谐波的相位等于

4.频谱函数Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅之半。第2章确知信号

若s(t)是实偶信号，则Cn为实函数。因为T/2T/210

j2

nf0t10Cn

s(t)edt

s(t)[cos(2

nf0t)

jsin(2

nf0t)]dtT0

T0/2T

T0/2T/2T/21010

s(t)cos(2

nf0t)dt

js(t)sin(2

nf0t)dt

Re(Cn)

jIm(Cn)T

T0/2T

T0/2T/20而s(t)sin(2

nf0t)dt

0

T0/2所以Cn为实函数。第2章确知信号

【例2.1】试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。

V,

/2

t

/2s(t)s(t)

0,

/2

t

(T

/2)s(t)

s(t

T),

t

V

由式(2.2-1)：t-T0T

/21

/2

j2

nf0t1

V

j2

nf0t

Cn

T

/2Vedt

T

j2

nf0e

/2j2

nf0

/2

j2

nf0

/2Ve

eVV

n

sin

nf0

sinc

Tj2

nf0

nf0TT

T

Cn

j2

nf0tV

n

j2

nf0ts(t)

Cne

sinc

en

n

T

T

第2章确知信号

【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。

V,0

t

s(t)s(t)

0,

t

TVs(t)

s(t

T),

t

t由式(2.2-1)：-T0

T

1

j2

nf0t1

V

j2

nf0t

Cn

T

0Vedt

T

j2

nf0e

0

j2

nf0

V1

eV

j2

n

/T

1

e

Tj2

nf0j2

n因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。第2章确知信号

【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。s(t)s(t)

sin(

t)0

t

11s(t)

f(t

1)

t

t由式(2.2-1)：T/211

j2

nf0t

j2

nt

2Cn

T

T/2s(t)edt

0sin(

t)edt

(4n2

1)

21j2

nts(t)

e

2

n

4n

1由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。第2章确知信号

2.2.2能量信号的频谱密度

频谱密度的定义：

j2

ft能量信号s(t)的傅里叶变换：S(f)

s(t)edt

j2

ft

S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t)

S(f)edf

S(f)和Cn的主要区别：

S(f)是连续谱，Cn是离散谱；

S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。

注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。

实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭，因

j2

ft

j2

ft

s(t)edt

s(t)edt,S(f)

S(

f)

第2章确知信号

【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。设

1t

/2ga(t)

－单位门函数0t

/2

它的傅里叶变换为

/2

j2

ft1j

f

j

f

sin(

f

)Ga(f)

edt

(e

e)

sinc(

f

)

/2j2

f

f

g(t)aG(f)1a0-1/

1/

t-2/

02/

f(a)ga(t)(b)(f)Ga图2-5单位门函数矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/

)Hz。第2章确知信号

【例2.5】试求单位冲激函数(

函数)的频谱密度。

函数的定义：

(t)dt

1

(t)

0t

0

函数的频谱密度：

j2

ft

(f)

(t)edt

1

(t)dt

1

函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。第2章确知信号

函数的性质1：

函数可以用抽样函数的极限表示：k

(t)

limsinc(kt)k

因为，可以证明ksinc(kt)dt

1

式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越t小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。（见左图）和下式比较：

t

(t)dt

1(2.2-26)

k可见

(t)

limsinc(kt)k

(2.2-28)即抽样函数的极限就是

函数。t第2章确知信号

函数的性质2：单位冲激函数

(t)的频谱密度

j2

ft

(f)

(t)edt

1

(t)dt

1

(f)

(t)10tf0第2章确知信号

函数的性质3：

f(t0)

f(t)

(t

t0)dt(2.2-30)

【证】因为

f(t)

(t

t0)dt

f(t0)

(t

t0)dt

f(t0)

物理意义：可以看作是用

函数在t=t0时刻对f(t)抽样。由于单位冲激函数是偶函数，即有

(t)=

(-t)，所以式(2.2-30)可以改写成：

f(t0)

f(t)

(t0

t)dt(2.2-31)

第2章确知信号

函数的性质4：

函数也可以看作是单位阶跃函数的导数。单位阶跃函数的定义：

0,当t

0,1u(t)

1,当t

00t即u

(t)=

(t)图2-8单位阶跃函数

用

函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。第2章确知信号

【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2

f0t，则其频谱密度S(f)按式(2.2-21)计算，可以写为

/2

j2

ft

sin[

(f

f0)

]sin[

(f

f0)

]

S(f)

lim

/2cos2

f0tedt

lim

2

(f

f0)

(f

f0)

lim

2

sinc

(f

f0)

sinc

(f

f0)

参照式(2.2-28)，上式可以改写为1S(f)

[

(f

f0)

(f

f0)]2t－f00f0(b)频谱密度(a)波形引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。第2章确知信号

2.2.3能量信号的能量谱密度

定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理

22E

s(t)dt

S(f)df(2.2-37)

2将|S(f)|定义为能量谱密度。式(2.2-37)可以改写为

(2.2-38)E

G(f)df

2式中G(f)=|S(f)|－能量谱密度

由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数,因此上式可以改写成

E

2G(f)df(2.2-40)

0第2章确知信号

【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度在例2.4中，已经求出其频谱密度：S(f)

Ga(f)

sinc(

f

)故由式(2.2-39)得出2222G(f)

S(f)

sinc(

f

)

sinc(

f

)第2章确知信号

2.2.4功率信号的功率谱密度

定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2<t<T/2sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能2量谱密度|ST(t)|，由巴塞伐尔定理有T/2

22E

sT(t)dt

ST(f)df(2.2-41)

T/2

将12limST(f)T

T定义为信号的功率谱密度P(f)，即12P(f)

limST(f)T

T第2章确知信号

周期信号的功率谱密度：令T等于信号的周期T0，于是有T/2T/212102P

lims(t)dt

s(t)dt(2.2-45)T

T

T/2T0

T0/2由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:

T/21022P

T0

T0/2s(t)dt

n

Cn(2.2-46)2式中|Cn|－第n次谐波的功率利用

函数可将上式表示为

2P

C(f)

(f

nf0)df(2.2-47)

式中

Cnf

nf0C(f)

0其他处上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即

2(2.2-48)P(f)

C(f)

(f

nf0)n

第2章确知信号

【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。该例中信号的频谱已经求出，它等于式(2.2-14)：V

n

Cn

sinc

T

T

2所以由式(2.2-48)：P(f)

C(f)

(f

nf0)n

得出2

2

V

2P(f)

C(f)

(f

nf0)

sinc

f

(f

nf0)n

n

T

(2.2-50)s(t)V

t-T0T第2章确知信号

2.3确知信号的时域性质

2.3.1能量信号的自相关函数

定义：

R(

)

s(t)s(t

)dt

(2.3-1)

性质：

自相关函数R(

)和时间t无关，只和时间差

有关。

当

=0时，R(0)等于信号的能量：

2R(0)

s(t)dt

E(2.3-2)

R(

)是

的偶函数R(

)

R(

)(2.3-3)2

自相关函数R(

)和其能量谱密度|S(f)|是一对傅里叶变换：2

j2

f

2j2

f

S(f)

R(

)ed

R(

)

S(f)edf

第2章确知信号

2.3.2功率信号的自相关函数

定义：T/21R(

)

lims(t)s(t

)dt

(2.3-10)T

T

T/2

性质：

当

=0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：T/212R(0)

lims(t)dt

P(2.3-11)T

T

T/2

功率信号的自相关函数也是偶函数。

周期性功率信号：

自相关函数定义：T/210R(

)

s(t)s(t

)dt

(2.3-12)T0

T0/2

R(

)和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：

j2

f

j2

f

R(

)

P(f)edfP(f)

R(

)ed

第2章确知信号

【例2.9】试求周期性信号s(t)=Acos(t+

)的自相关函数。【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。

求功率谱密度：结果为

222AAP(f)

C(f)

(f

nf0)

(f

f0)

(f

f0)n

44

求自相关函数：22

j2

f

Aj

j

AR(

)

P(f)edf

[e

e]

cos

42第2章确知信号

2.3.3能量信号的互相关函数

定义：R12(

)

s1(t)s2(t

)dt,

性质：

R12(

)和时间t无关，只和时间差

有关。

R12(

)和两个信号相乘的前后次序有关：R21(

)

R12(

)【证】令x=t+

，则

R21(

)

s2(t)s1(t

)dt

s2(x

)s1(x)dx

s1(x)s2[x

(

)]dx

R12(

)(2.3-23)

互相关函数R12(

)和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换*互能量谱密度的定义为：S12(f)

S1(f)S2(f)

j2

f

j2

f

R12(

)

S12(f)edfS12(f)

R12(

)ed

第2章确知信号

2.3.4功率信号的互相关函数T/21

定义：R12(

)

lims1(t)s2(t

)dt,

T

T

T/2

性质：

R12(

)和时间t无关，只和时间差

有关。

R12(

)和两个信号相乘的前后次序有关：R21(

)=R12(-

)

若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为式中T0－信号的周期

R12(

)和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：*互功率谱定义：C12

(Cn)1(Cn)2

j2

nf0

j2

nf0R12(

)

C12

eR12(

)

C12(f)

(f

nf0)edfn

第2章确知信号

小结

能量信号、功率信号

确知信号再频域中的四种性质：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度

确知信号在时域中的特性：自相关函数、互相关函数通信原理第3章随机过程1第3章随机过程

3.1随机过程的基本概念

什么是随机过程？

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：

角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。2第3章随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形

样本函数

i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。

随机过程：

(t)={

1(t),

2(t),…,

n(t)}是全部样本函数的集合。

(t)

1(t)

2(t)

n(t)3t0第3章随机过程

角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。

在任一给定时刻t1上，每一个样本函数

i(t)都是一个确定的数值

i(t1)，但是每个

i(t1)都是不可预知的。

在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{

i(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为

(t1)。

换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。

因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。4第3章随机过程

3.1.1随机过程的分布函数

设

(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值

(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

随机过程

(t)的一维分布函数：F1(x1,t1)

P[

(t1)

x1]

随机过程

(t)的一维概率密度函数：

F1(x1,t1)f1(x1,t1)

x1若上式中的偏导存在的话。5第3章随机过程

随机过程

(t)的二维分布函数：F2(x1,x2;t1,t2,)

P

(t1)

x1,

(t2)

x2

随机过程

(t)的二维概率密度函数：2

F2(x1,x2;t1,t2)f2(x1,x2;t1,t2)

x1

x2若上式中的偏导存在的话。

随机过程

(t)的n维分布函数：Fn(x1,x2,

,xn;t1,t2,

tn)

P

(t1)

x1,

(t2)

x2,

,

(tn)

xn

随机过程

(t)的n维概率密度函数：n

Fn(x1，x2，，

xn；t1，t2，，

tn)fn(x1，x2，

，xn；t1，t2，

，tn)

x1

x2

xn6第3章随机过程

3.1.2随机过程的数字特征

均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值

(t1)是一个随机变量，其均值

E

(t1)

x1f1(x1,t1)dx1式中f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为

E

(t)

xf1(x,t)dx7第3章随机过程

E

(t)

xf1(x,t)dx

(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:

(t)a(t)

1(t)

2(t)

n(t)t08第3章随机过程

方差2D[

(t)]

E

[

(t)

a(t)]

2方差常记为

(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为22D

ξ

t

E

ξ

t

2a

t

ξ

t

a

t

22

E[ξ(t)]

2a

t

E

ξ

t

a(t)22

E[ξ(t)]

a(t)

22

xf1(x,t)dx

[a(t)]

均方值均值平方所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。9第3章随机过程

相关函数R(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]

x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

式中，

(t1)和

(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。

协方差函数B(t1,t2)

E

[

(t1)

a(t1)][

(t2)

a(t2)]

[x1

a(t1)][x2

a(t2)]f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的

(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二维概率密度函数。10第3章随机过程

相关函数和协方差函数之间的关系B(t1,t2)

R(t1,t2)

a(t1)a(t2)若a(t1)=a(t2)，则B(t1,t2)=R(t1,t2)

互相关函数R

(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]式中

(t)和

(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。11第3章随机过程

3.2平稳随机过程

3.2.1平稳随机过程的定义

定义：若一个随机过程

(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数

，有fn(x1,x2,

,xn；t1,t2,

,tn)

fn(x1,x2,

,xn；t1

,t2

,

,tn

)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。12第3章随机过程

性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：f1(x1,t1)

f1(x1)而二维分布函数只与时间间隔

=t2–t1有关：f2(x1,x2;t1,t2)

f2(x1,x2;

)

数字特征：

E

(t)

x1f1(x1)dx1

aR(t1,t2)

E[

(t1)

(t1

)]

x1x2f2(x1,x2;

)dx1dx2

R(

)

可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔

有关。13第3章随机过程

数字特征：

E

(t)

x1f1(x1)dx1

aR(t1,t2)

E[

(t1)

(t1

)]

x1x2f2(x1,x2;

)dx1dx2

R(

)

可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔

有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。14第3章随机过程

3.2.2各态历经性

问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?

回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。

下面，我们来讨论各态历经性的条件。15第3章随机过程

各态历经性条件设：x(t)是平稳过程

(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：1T/2a

x(t)

limx(t)dtT

T

T/21T/2R(

)

x(t)x(t

)

limx(t)x(t

)dtT

T

T/2如果平稳过程使下式成立

a

a

R(

)

R(

)则称该平稳过程具有各态历经性。16第3章随机过程

“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。

具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。17第3章随机过程

[例3-1]设一个随机相位的正弦波为

(t)

Acos(

ct

)其中，A和

c均为常数；

是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论

(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求

(t)的统计平均值：数学期望2

1a(t)

E[

(t)]

Acos(

ct

)d

02

A2

(cos

ctcos

sin

ctsin

)d

2

0A2

2

[cos

ctcos

d

sin

ctsin

d

]

02

0

018第3章随机过程自相关函数R(t1,t2)

E[

(t1)

(t2)]

E[Acos(

ct1

)

Acos(

ct2

)]2A

E{cos

c(t2

t1)

cos[

c(t2

t1)

2

]}222AA2

1

cos

c(t2

t1)

cos[

c(t2

t1)

2

]d

22

02

2A

cos

c(t2

t1)

02令t2–t1=

，得到2AR(t1,t2)

cos

c

R(

)2可见，

(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔

有关，所以

(t)是广义平稳过程。19第3章随机过程(2)求

(t)的时间平均值T12a

Tlim

T

T2Acos(

ct

)dt

0T12R(

)

Tlim

T

T2Acos(

ct

)

Acos[

c(t

)

]dt2TTA22

Tlim

2T{

T2cos

c

dt

T2cos(2

ct

c

2

)dt}2A

cos

c

2比较统计平均与时间平均，有a

a,R(

)

R(

)因此，随机相位余弦波是各态历经的。20第3章随机过程

3.2.3平稳过程的自相关函数

平稳过程自相关函数的定义：同前

平稳过程自相关函数的性质2

R(0)

E[

(t)]—

(t)的平均功率

R(

)

R(

)—

的偶函数

—R(

)的上界R(

)

R(0)即自相关函数R(

)在

=0有最大值。22

R(

)

E[

(t)]

a—

(t)的直流功率2

R(0)

R(

)

表示平稳过程

(t)的交流功率。当均值为0时，有221R(0)=

。第3章随机过程

3.2.4平稳过程的功率谱密度

定义：

对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为2FT(f)Pf(f)

limT

T式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数f(t)fT(t)tT0T

2222第3章随机过程

对于平稳随机过程

(t)，可以把f(t)当作是

(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故

(t)的功率谱密度可以定义为2EFT(f)P

(f)

E

Pf(f)

limT

T23第3章随机过程

功率谱密度的计算

维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即

有

j

P

(

)

R(

)ed

1

j

R(

)

P

(

)ed

2

简记为R(

)

P

(f)以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。24第3章随机过程

在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：

对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：

R(0)

P

(f)df

上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。

各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即R(

)

R(

)两边取傅里叶变换：F[R(

)]

F[R(

)]即P

(f)

Pf(f)式中R(

)

P

(f)R

Pf(f)25第3章随机过程

功率谱密度P

(f)具有非负性和实偶性，即有P

(f)

0和P

(

f)

P

(f)这与R(

)的实偶性相对应。26第3章随机过程

[例3-2]求随机相位余弦波

(t)=Acos(

ct+

)的自相关函数和功率谱密度。【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为2AR(

)

cos

c

2因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有R(

)

P

(

)以及由于有cos

c

[

(

c)

(

c)]2

A所以，功率谱密度为P

(

)

[

(

c)

(

c)]22平均功率为1

AS

R(0)

2

P

(

)d

227第3章随机过程

3.3高斯随机过程（正态随机过程）

3.3.1定义

如果随机过程

(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

n维正态概率密度函数表示式为：fn(x1,x2,...,xn；t1,t2,...,tn)nn1

1xj

ajxk

ak

(2

)n/2

1

2...

nB1/2exp

2B

j

1

k

1Bjk(

j)(

k)

22式中ak

E[

(tk)],

k

E[

(tk)

ak]28第3章随机过程式中|B|－归一化协方差矩阵的行列式，即1b12

b1nb211

b2nB

bn1bn2

1|B|jk－行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk－为归一化协方差函数，即E{[

(tj)

aj][

(tk)

ak]}bjk

j

k29第3章随机过程

3.3.2重要性质

由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。

广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。30第3章随机过程

如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j

k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为n21(xk

ak)fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)

exp[

2]k

12

k2

k

f(x1,t1)

f(x2,t2)

f(xn,tn)这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。

高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。31第3章随机过程

3.3.3高斯随机变量

定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为21

(x

a)

f(x)

exp

2

式中2

2

a－均值2f(x)

－方差12

曲线如右图：oax32第3章随机过程

性质f(x)

f(x)对称于直线x=a，即12

f

a

x

f

a

x

f(x)dx

1

a

1oaxf(x)dx

f(x)dx

a2

a表示分布中心，

称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着

的减小而变高和变窄。当a=0和

=1时，称为标准化的正态分布：21

x

f(x)

exp

2

2

33第3章随机过程

正态分布函数2x1

(z

a)

F(x)

P(

x)

2

exp

2

2

dz这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：

用误差函数表示正态分布函数：令t

(z

a)/2

则有dz

2

dt(x

a)/2

2及12

tF(x)

edt2

11

x

a

erf

22

2σ

式中2x

t2erf(x)

0edt－误差函数，可以查表求出其值。34

第3章随机过程

用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：1

x

a

F(x)

1

erfc

2

2

式中2

t2erfc(x)

1

erf(x)

edt

x

当x>2时，1

x2erfc(x)

ex

35第3章随机过程

用Q函数表示正态分布函数：

Q函数定义：1

t2/2Q(x)

edt

x2

Q函数和erfc函数的关系：1

x

Q(x)

erfc

erfc(x)

2Q(2x)2

2

Q函数和分布函数F(x)的关系：1

x

a

x

a

F(x)

1

erfc

1

Q

2

2

Q函数值也可以从查表得到。36第3章随机过程

3.4平稳随机过程通过线性系统

确知信号通过线性系统（复习）：

v0(t)

h(t)

vi(t)

hi(

)v(t

)d

式中vi－输入信号，vo－输出信号对应的傅里叶变换关系：V0(f)

H(f)Vi(f)

随机信号通过线性系统：

0(t)

h(

)

i(t

)d

假设：

i(t)－是平稳的输入随机过程，a－均值，Ri(

)－自相关函数，Pi(

)－功率谱密度；求输出过程

o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。37第3章随机过程

输出过程

o(t)的均值对下式两边取统计平均：

0(t)

h(

)

i(t

)d

得到E[

0(t)]

E

h(

)

i(t

)d

h(

)E[

i(t

)]d

设输入过程是平稳的，则有E[

i(t

)]

E[

i(t)]

a

E[

0(t)]

a

h(

)d

a

H(0)

式中，H(0)是线性系统在f=0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。38第3章随机过程

输出过程

o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义R0(t1,t1

)

E[

0(t1)

0(t1

)]

E

h(

)

i(t1

)d

h(

)

i(t1

)d

h(

)h(

)E[

i(t1

)

i(t1

)]d

d

根据输入过程的平稳性，有E[

i(t1

)

i(t1

)]

Ri(

)

于是R0(t1,t1

)

h(

)h(

)Ri(

)d

d

R0(

)

上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔

的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。39第3章随机过程

输出过程

o(t)的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：

R0(t1,t1

)

h(

)h(

)Ri(

)d

d

R0(

)

得出

j

P0(f)

R0(

)ed

jωτ

h(

)h(

)Ri(

)d

d

ed

令

=

+

-

，代入上式，得到

'j

j

'

j

'P0(f)

h(

)ed

h(

)ed

Ri(

)ed

即2

P0(f)

H(f)

H(f)

Pi(f)

H(f)Pi(f)结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由Po(f)的反傅里叶变换求Ro(

)40第3章随机过程

输出过程

o(t)的概率分布

如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。

因为从积分原理看，

0(t)

h(

)

i(t

)d

可以表示为：

0(t)

lim

k

0

k

0

i(t

k)h(

k)

k由于已假设

i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和”也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变41了。第3章随机过程

3.5窄带随机过程

什么是窄带随机过程？若随机过程

(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围

f内，即满足

f<<fc的条件，且fc远离零频率，则称该

(t)为窄带随机过程。42第3章随机过程

典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数43第3章随机过程

窄带随机过程的表示式

(t)

a

(t)cos[

ct

(t)],a

(t)

0式中，a

(t)－随机包络，

(t)－随机相位

c－中心角频率显然，a

(t)和

(t)的变化相对于载波cos

ct的变化要缓慢得多。44第3章随机过程

窄带随机过程表示式展开

(t)

a

(t)cos[

ct

(t)],a

(t)

0可以展开为

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct式中

c(t)

a

(t)cos

(t)－

(t)的同相分量

s(t)

a

(t)sin

(t)－

(t)的正交分量可以看出：

(t)的统计特性由a

(t)和

(t)或

c(t)和

s(t)的统计特性确定。若

(t)的统计特性已知，则a

(t)和

(t)或

c(t)和

s(t)的统计特性也随之确定。45第3章随机过程

3.5.1

c(t)和

s(t)的统计特性

数学期望：对下式求数学期望：

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct得到E

(t)

E[

c(t)]cos

ct

E[

s(t)]sin

ct因为

(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E[

(t)]=0，所以E[

c(t)]

0，E[

s(t)]

046第3章随机过程

(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式R

(t,t

)

E[

(t)

(t

)]

Rc(t,t

)cos

ctcos

c(t

)

Rcs(t,t

)cos

ctsin

c(t

)

Rsc(t,t

)sin

ctcos

c(t

)

Rs(t,t

)sin

ctsin

c(t

)式中Rc(t,t

)

E[

c(t)

c(t

)]Rcs(t,t

)

E[

c(t)

s(t

)]Rsc(t,t

)

E[

s(t)

c(t

)]Rs(t,t

)

E[

s(t)

s(t

)]因为

(t)是平稳的，故有R

(t,t

)

R(

)这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与

有关。因此，若令t=0，上式仍应成立，它变为R

(

)

Rc(t,t

)cos

c

Rcs(t,t

)sin

c

47第3章随机过程R

(

)

Rc(t,t

)cos

c

Rcs(t,t

)sin

c

因与时间t无关，以下二式自然成立Rc(t,t

)

Rc(

)Rcs(t,t

)

Rcs(

)所以，上式变为R

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

再令t=π/2

c，同理可以求得R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

由以上分析可知，若窄带过程

(t)是平稳的，则

c(t)和

s(t)也必然是平稳的。48第3章随机过程

进一步分析，下两式R

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

应同时成立，故有Rc(

)

Rs(

)Rcs(

)

Rsc(

)上式表明，同相分量

c(t)和正交分量

s(t)具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有Rcs(

)

Rsc(

)代入上式，得到Rsc(

)

Rsc(

)上式表明Rsc(

)是

的奇函数，所以Rsc(0)

0同理可证Rcs(0)

049第3章随机过程将Rsc(0)

0Rcs(0)

0代入下两式R

(

)

Rc(

)cos

c

Rcs(

)sin

c

R

(

)

Rs(

)cos

c

Rsc(

)sin

c

得到R

(0)

Rc(0)

Rs(0)222即

c

s上式表明

(t)、

c(t)和

s(t)具有相同的平均功率或方差。50第3章随机过程

根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式

(t)

c(t)cos

ct

s(t)sin

ct得到t

t1

0时,

(t1)

c(t1)

t

t2

时,

(t2)

s(t2)2

c因为

(t)是高斯过程，所以，

c(t1)，

s(t2)一定是高斯随机变量，从而

c(t)、

s(t)也是高斯过程。

根据Rcs(0)

0可知，

c(t)与

s(t)在

=0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此

c(t)与

s(t)也是统计独立的。51第3章随机过程

结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程

(t)，它的同相分量

c(t)和正交分量

s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的

c和

s是互不相关的或统计独立的。52第3章随机过程

3.5.2a

(t)和

(t)的统计特性

联合概率密度函数f(a

,

)根据概率论知识有

(

c,

s)f(a

,

)

f(

c,

s)

(a

,

)

c

a

cos

22由

1

c

s

s

a

sin

f(

c,

s)

f(

c)

f(

s)

2exp[

2]2

2

可以求得

c

s

(

c,

s)

a

a

cos

sin

a

(a

,

)

c

s

a

sin

a

cos

53第3章随机过程于是有22a

(a

cos

)

(a

sin

)

f(a

,

)

a

f(

c,

s)

2exp

2

2

2a

a

2exp

2

2

2

式中a

0,

=(0~2π)54第3章随机过程

a

的一维概率密度函数

2

2a

a

f(a

)

f(a

,

)d

02

2exp

2

2

d

2a

a

2exp

2

a

0

2

可见，a

服从瑞利(Rayleigh)分布。55第3章随机过程

的一维概率密度函数

21a

a

f(

)

0f(a

,

)da

2

0

2exp

2

2

da

1

0

2

2

可见，

服从均匀分布。56第3章随机过程

结论2一个