人教版高中数学精讲精练必修一第四章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结（含答案及解析）

第四章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结考点一指数对数的运算【例1】（2023·广东潮州）化简计算求值（1）计算：；（2）设化简．(3);(4);(5)(6)【一隅三反】（2023·辽宁大连）化简计算（1）计算：；（2）计算：.（3）化简：；（4）计算；.（5）计算：；（6）已知，，试以表示．(7)；(8).(9)；(10)．(11)(12).考点二指数对数函数的三要素【例2-1】（1）（2023·辽宁大连）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（2）（2023·陕西榆林）函数的定义域为.（3）（2023云南）已知函数的定义域为，则函数的定义域为【例2-2】（1）（2022秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期中）函数的值域是.（2）（2023秋·辽宁）函数的值域为．【例2-3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是．【一隅三反】1．（2023·辽宁大连）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2（2023春·宁夏银川）函数值域是.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为．4．（2023·安徽芜湖）已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为.5．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是.6．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是．考点三指数对数函数的单调性【例3-1】（2023秋·江苏苏州）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【例3-2】（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2024秋·北京房山）下列函数中，在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．3（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四指数对数函数单调性的应用【例4-1】（2023秋·广东惠州）已知，，，则（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023秋·四川成都）已知，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023春·安徽滁州·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·辽宁大连）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁大连）设，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西汉中）已知，，，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·云南保山）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高一课堂例题）设定义在上的偶函数在区间上的解析式为，若，则的取值范围为．考点五指对数函数的奇偶性【例5-1】（2023·陕西榆林）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【例5-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）若为奇函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2023秋·广东惠州）已知函数，且满足时，实数的取值范围（

）A．或 B．或C． D．2．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数是偶函数，则实数3．（2023·辽宁模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（

）A． B． C． D．考点六零点【例6-1】（2023·湖南衡阳）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023秋·高一单元测试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·天津北辰）函数的零点落在的区间是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南长沙）已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为．3．（2023秋·陕西安康）已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是.4．（2023秋·宁夏银川）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.考点七函数模型的应用【例7】．（2023秋·河北承德）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少【一隅三反】1．（2023秋·河北）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（

）（参考数据）A．64个月 B．40个月 C．52个月 D．48个月2．（2023秋·江苏盐城）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？

第四章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结考点一指数对数的运算【例1】（2023·广东潮州）化简计算求值（1）计算：；（2）设化简．(3);(4);(5)(6)【答案】（1）；（2）(3)(4)0(5)(6)【解析】（1）原式；（2）原式．（3）；（4）.（5）原式.（6）原式．【一隅三反】（2023·辽宁大连）化简计算（1）计算：；（2）计算：.（3）化简：；（4）计算；.（5）计算：；（6）已知，，试以表示．(7)；(8).(9)；(10)．(11)(12).【答案】（1）；（2）8（3）；（4）（5）；（6）(7)(8)(9)(10)3(11)16(12)【解析】（1）；（2）.（3）原式；（4）原式.（5）；（6）由得：，.（7）原式=；（8）.（9）由题意可得：.（10）由题意可得：.（11），（12）考点二指数对数函数的三要素【例2-1】（1）（2023·辽宁大连）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（2）（2023·陕西榆林）函数的定义域为.（3）（2023云南）已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】（1）A（2）（3）【解析】（1）要使函数有意义，需满足，即，得，解得，则函数的定义域为.故选：A.（2）因为，所以，所以，所以定义域为，故答案为：.（3）由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：【例2-2】（1）（2022秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期中）函数的值域是.（2）（2023秋·辽宁）函数的值域为．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得，即，所以函数的定义域为(－3，3)．因为，所以，故函数的值域为．故答案为：.（2）设，则且，根据反比例函数性质，从而，所以．故答案为：.【例2-3】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】，当时，单调递增，所以当时，恒成立，注意到，所以由得在区间上恒成立，令，当时，，当时，任取，，其中，，，所以，所以在上递增，，所以在区间上，所以，即的取值范围是.故答案为：【一隅三反】1．（2023·辽宁大连）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数可知，令，得到，即该函数定义域为.故选：B2（2023春·宁夏银川）函数值域是.【答案】【解析】令，得,即函数定义域为，函数是由和复合而成，因为，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以，即函数的值域为.故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为．【答案】．【解析】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：.4．（2023·安徽芜湖）已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为.【答案】【解析】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.故答案为：.5．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是.【答案】【解析】因为函数的值域为，所以，是函数的值域的子集，所以，当时，的值域为，满足题意；当时，要使是函数的值域的子集，则需满足，解得，综上，的取值范围是故答案为：6．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是．【答案】【解析】当时，．因为的值域为，则当时，．当时，，故在上单调递增，，即，解得，即的最大值为．故答案为：．考点三指数对数函数的单调性【例3-1】（2023秋·江苏苏州）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，令，即，解得，即函数的定义域为，令，根据二次函数的性质，可得在单调递增，在上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，即的递减区间为.故选：C.【例3-2】（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设．∵在上单调递减，∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．（注意对数的真数在上大于0）又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）∴解得．则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，故只需看是哪一个的真子集，故选：C【一隅三反】1．（2024秋·北京房山）下列函数中，在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对选项A，，定义域为，令，则在为减函数，为增函数，所以在为减函数，故A错误；对选项B，在R上为减函数，故B错误.对选项C，，定义域为，令，则在为增函数，为增函数，所以在为增函数，故C正确；对选项D，定义域为R，对称轴为，在为减函数，在为增函数，故D错误.故选：C2．（2023秋·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由条件可得得.设，易知其图象的对称轴为.∵函数为减函数，∴要求函数的单调递增区间，即求函数在上的单调递减区间，由二次函数性质可得：函数在上的单调递减区间为，故选：D.3（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是上的单调递增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.考点四指数对数函数单调性的应用【例4-1】（2023秋·广东惠州）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数为单调递增函数，所以，即；因为为单调递增函数，所以，即；因为单调递减，所以，即，故，故选：A.【例4-2】（2023秋·四川成都）已知，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，函数在上单调递增，所以.在上单调递减，所以，由于，所以，所以，综上所述，.故选：A【例4-3】（2023春·安徽滁州·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，单调递减，，当时，单调递减，，显然函数单调递减，所以由，故选：D【一隅三反】1．（2023·辽宁大连）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，∴.故选：A.2．（2023·辽宁大连）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，所以，，，故，故选：C.3．（2023秋·陕西汉中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，，，由为增函数，且，故；由在上为增函数，且，故；综上，.故选：B4．（2023春·云南保山）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故选:D.5．（2023·全国·高一课堂例题）设定义在上的偶函数在区间上的解析式为，若，则的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以．与都在区间内，由复合函数可知在上单调递减，所以，两边同时平方得，，解得，即的取值范围为．故答案为：考点五指对数函数的奇偶性【例5-1】（2023·陕西榆林）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，易知函数的定义域为，且满足，显然是偶函数，由二次函数性质可知，其开口向上，且在上单调递增，所以A正确；对于B，易知函数的定义域为，所以是非奇非偶函数，B错误；对于C，函数的定义域为，由指数函数单调性可知其在上单调递增，但，即不是偶函数，即C错误；对于D，函数的定义域为，且在上单调递增，满足，所以是奇函数，所以D错误.故选：A【例5-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）若为奇函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由为奇函数，得，解得，于是，而是减函数，是增函数，函数是R上的减函数，不等式，因此，所以不等式的解集为.故选：D【一隅三反】1（2023秋·广东惠州）已知函数，且满足时，实数的取值范围（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】该函数的定义域为全体实数，因为，所以函数是奇函数，又因为，函数是实数集上的增函数，且，所以函数是实数集上的减函数，所以函数是实数集上的减函数，而函数也是实数集上的减函数，所以由函数单调性的性质可知函数是实数集上的减函数，由，故选：D2．（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数是偶函数，则实数【答案】1【解析】因为是偶函数，所以由得，，即，故，因为，所以不恒为0，故.故答案为：1.3．（2023·辽宁模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】为奇函数，，为偶函数，但在单调递增，所以在单调递减，而为偶函数且在单调递增.故选：A考点六零点【例6-1】（2023·湖南衡阳）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数为增函数，，，，，所以函数的零点所在的区间为.故选：B【例6-2】（2023秋·高一单元测试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，令，则，解得或，故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·天津北辰）函数的零点落在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，，，，所以函数的零点落在区间上.故选：B.2．（2023秋·湖南长沙）已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】函数存在3个零点，等价于与有3个交点．画出函数和的图象，如下图．

由图知，要使函数和有3个交点，则，即．故答案为：3．（2023秋·陕西安康）已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是.【答案】1【解析】画出的图象如图所示.

因为方程有四个不同的解，故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，故的取值范围是，故a的最小值是1.故答案为：14．（2023秋·宁夏银川）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示，因为由三个不同的实数根，即函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，可得，即实数的取值范围为.故答案为：.

考点七函数模型的应用【例7】．（2023秋·河北承德）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少【答案】(1)当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元(2)当年产量为吨时，可获得最大利润万元【解析】（1）因为，所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.（2）设该工厂年获得总利润为万元，则.因为在上是增函