人教版高中数学精讲精练必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末重难点归纳总结（含答案及解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一不等式的性质【例1-1】（2023上海市）如果，那么下列式子中一定成立的是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（

）A． B．C． D．【例1-3】（2023·高一课时练习）已知，则的取值范围是__________．【一隅三反】1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定3．（2023·云南红河）（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．（2023·北京）若实数x、y满足，，则的取值范围是考点二基本不等式【例2-1】（2023·高一课时练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（

）A．若，则B．若，则由知，的最小值为1C．若，则D．若，则【例2-2】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【例2-3】（2023·广东汕尾）已知，求的最小值为______.【例2-4】（2023春·江苏淮安）已知函数（），则它的最小值为______.【例2-5】．（2023春·山东德州）已知正实数，满足，且有解，则的取值范围______．【一隅三反】1．（2023·福建福州）（多选）已知关于，且．下列正确的有（

）A．最小值为9 B．最小值为1C．若，则 D．2．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）（多选）以下结论正确的是（

）A． B．的最小值为2C．若，则 D．若，则3．（2023春·河南）（多选）已知，且有，则的可能取值为（

）A．3 B． C．4 D．4．（2023·海南海口）（多选）已知，，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最小值为2 D．的最大值为4考点三三个一元二次的关系【例3-1】（2023春·吉林长春）已知函数.(1)若不等式的解集为空集，求的取值范围.(2)若，的解集为，求的最大值.【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．【一隅三反】1．（2023·河北沧州）（多选）已知函数，其中，若，则（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏扬州）（多选）以下四个命题，其中是真命题的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则函数的最小值为D．若，，，则的最小值为43．（2022秋·云南昆明·高一统考期末）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．(1)求函数的表达式；(2)设，求函数在区间上的最小值．4．（2023春·湖北）已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)在（1）的条件下，关于的不等式组的解集中有且仅有两个整数解.求的取值范围.

第二章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一不等式的性质【例1-1】（2023上海市）如果，那么下列式子中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，A正确；由，得，则，B错误；由，得，C错误；由，得，即，D错误.故选：A【例1-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当时取等号,，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，．故选：A【例1-3】（2023·高一课时练习）已知，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，在中，∵，∴，解得：，故答案为：.【一隅三反】1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A中，若，则，故A不正确；对于B中，当时，无意义，故B不正确；对于C中，，由，可得，但不确定，所以与无法确定大小关系，故C不正确；对于D中，，由，可得，且，所以，所以，故D正确.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【答案】B【解析】，∴M<N.故选：B.3．（2023·云南红河）（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【解析】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；对于C选项，当时，，所以C错误；对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.故选：AD．4．（2023·北京）若实数x、y满足，，则的取值范围是【答案】【解析】设，由题意可得，解得，所以，由，可得，所以，即，故的取值范围是.考点二基本不等式【例2-1】（2023·高一课时练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（

）A．若，则B．若，则由知，的最小值为1C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，，当时，，当且仅当等号成立，当时，，当且仅当等号成立，当异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误；对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误，对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误；对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确.故选：D.【例2-2】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【答案】D【解析】因为，，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：D.【例2-3】（2023·广东汕尾）已知，求的最小值为______.【答案】【解析】，，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【例2-4】（2023春·江苏淮安）已知函数（），则它的最小值为______.【答案】【解析】由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故答案为：.【例2-5】．（2023春·山东德州）已知正实数，满足，且有解，则的取值范围______．【答案】【解析】由题知，因为，所以，，若有解，则即可，因为，都是正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：【一隅三反】1．（2023·福建福州）（多选）已知关于，且．下列正确的有（

）A．最小值为9 B．最小值为1C．若，则 D．【答案】CD【解析】A选项，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，A错误；B选项，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，但由于，故等号取不到，所以的最小值不为-1，B错误；C选项，，因为，，所以由基本不等式得，故，C正确；D选项，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立，D正确.故选：CD2．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）（多选）以下结论正确的是（

）A． B．的最小值为2C．若，则 D．若，则【答案】AD【解析】对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，但，故B错误；对于C，因为，所以，，当且仅当即即时等号成立，故C错误；对于D，由，得，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：AD.3．（2023春·河南）（多选）已知，且有，则的可能取值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】CD【解析】因为,且满足,所以,则,当且仅当,即时取等号,则的最小值为16,所以的最小值为4.故选:CD.4．（2023·海南海口）（多选）已知，，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最小值为2 D．的最大值为4【答案】AC【解析】对于A项，因为，，，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，所以，故A正确；对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，的最小值为4，故D不正确.故选：AC.考点三三个一元二次的关系【例3-1】（2023春·吉林长春）已知函数.(1)若不等式的解集为空集，求的取值范围.(2)若，的解集为，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，函数，不等式的解集为空集，所以恒成立，即，解得，故的取值范围.（2）因为，的解集为,所以有两个不同实根，即是的两个实根，故，，故同为负值，所以，，所以=，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为.【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由已知得，在R上恒成立.①当时，显然不满足题意.②当时，只需满足，解得.综上所述，实数的取值范围为.（2）不等式，即为，即，可化为.①当，即时，，解集为；②当，即时，，解集为或;③当，即时，i当，即时，解集为；ii当，即时，解集为；iii当，即时，解集为.综上所述：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【一隅三反】1．（2023·河北沧州）（多选）已知函数，其中，若，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由，得，又，所以，且的符号不确定，故的符号也不确定，故错误；由，得，故B正确；由，得，故C正确；因为，两边平方后不等式不一定成立，故D错误.故选：BC.2．（2023·江苏扬州）（多选）以下四个命题，其中是真命题的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则函数的最小值为D．若，，，则的最小值为4【答案】BC【解析】A选项，因，则，故A错误；B选项，因，则，故B正确；C选项，因，则，当且仅当，即时取等号，故C正确；D选项，因，，则.当且仅当时，即时取等号，故D错误.故选：BC3．（2022秋·云南昆明·高一统考期末）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．(1)求函数的表达式；(2)设，求函数在区间上的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，所以，因为对于任意，都有，即恒成立，故，解得，.所以；（2），则的对称轴为，当，即,函数在上单调递增，故在上的最小值为；当，即时，函数在上单调递减，故在的最小值为；当，即时,函数在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为.综上,.4．（2023春·湖北）已知函数.(1)若关于的不等式