人教版高中数学精讲精练必修一5.6 函数y=Asin(ωx+φ)（精讲）（含答案及解析）

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（精讲）一．三角函数的伸缩平移1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响-----横坐标平移-----左加右减2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-----横坐标伸缩3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-----纵坐标的伸缩二.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意义（1）简谐运动的振幅就是A.（2）简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).（3）简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).（4）ωx＋φ称为相位.（5）x＝0时的相位φ称为初相.一．图象平移变换的方法(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．(3)当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移eq\f(φ,ω)个单位；若φ<0，则右移eq\f(|φ|,ω)个单位．二．“五点法”作图1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤第一步：列表ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．三．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式的常用方法方法一：最值法(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq\f(T,2)，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.(3)φ：以五点作图法中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y有最大值，或者由五点作图法中的第一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．方法二：“五点”对应法依据五点作图法的原理，点的序号与式子的关系如下；“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π.考点一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【一隅三反】1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；(2)直接写出函数的值域和最小正周期．列表：作图：

2．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）3．（2023·江西赣州·高一统考期末）设函数.（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；（2）若，求的值.考点二三角函数图象的伸缩平移变换【例2-1】（2023秋·湖北武汉）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【例2-2】（2023秋·新疆·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（

）A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【例2-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为.【例2-4】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【一隅三反】1．（2023秋·广西贵港）要得到函数的图象，需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度2．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（

）A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）3．（2023秋·河南焦作）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东广州）要得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度考点三由图象求三角函数的解析式【例3】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（

）

A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．为是偶函数D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【一隅三反】1．（2023春·新疆伊犁·高一校联考期末）（多选）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（

）

A．的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的单调递增区间为D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象2．（2023秋·四川成都）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）

A． B．C． D．3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度考点四y＝Asin（ωx＋φ）的性质的综合应用【例4】（2023春·江西赣州·高一统考期末）已如函数．(1)用“五点法”作出函数在区间上的图像；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在区间上的取值范围．【一隅三反】1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．2．（2023春·江西·高一校联考期末）已知函数.(1)求的最大值及相应的取值；(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间.3．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（精讲）一．三角函数的伸缩平移1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响-----横坐标平移-----左加右减2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响-----横坐标伸缩3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-----纵坐标的伸缩二.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意义（1）简谐运动的振幅就是A.（2）简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).（3）简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).（4）ωx＋φ称为相位.（5）x＝0时的相位φ称为初相.一．图象平移变换的方法(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．(3)当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移eq\f(φ,ω)个单位；若φ<0，则右移eq\f(|φ|,ω)个单位．二．“五点法”作图1.实质：利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤第一步：列表ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．三．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式的常用方法方法一：最值法(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|，|A|＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq\f(T,2)，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.(3)φ：以五点作图法中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y有最大值，或者由五点作图法中的第一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．方法二：“五点”对应法依据五点作图法的原理，点的序号与式子的关系如下；“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π.考点一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）先列表，后描点并画图.0xy0100

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.【一隅三反】1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；(2)直接写出函数的值域和最小正周期．列表：作图：

【答案】(1)答案见解析(2)值域，最小正周期为【解析】（1）解：列表:0图象如图所示：

（2）解：因为，则，故函数的值域为，最小正周期为.2．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【解析】（1）令，则，列表如下，描点画图.（2）方法一：先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.方法二：先将的图象各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，然后将曲线向左平移个单位，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.3．（2023·江西赣州·高一统考期末）设函数.（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；（2）若，求的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）列表如下：020-202（2）解：由，得，由，得，由，得，则.考点二三角函数图象的伸缩平移变换【例2-1】（2023秋·湖北武汉）要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.【例2-2】（2023秋·新疆·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（

）A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度【答案】A【解析】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．故选：A【例2-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为.【答案】【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因为图像关于轴对称，所以，，则，.令，得的最小值为.故答案为：【例2-4】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【答案】D【解析】，，函数的图象向左平移可以得到的图象.故选：D【一隅三反】1．（2023秋·广西贵港）要得到函数的图象，需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【答案】B【解析】由于，所以将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．故选：B2．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（

）A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平移个单位得到的图像；或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.故选：B3．（2023秋·河南焦作）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，因为的图象关于坐标原点对称，所以，即，因为，故当时，m取得最小值．故选：B.4．（2023春·广东广州）要得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，即只需要把函数的图像向右平移个单位长度即可.故选：D考点三由图象求三角函数的解析式【例3】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（

）

A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．为是偶函数D．将的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】ACD【解析】由图可知，，最小正周期，故选项A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于选项B，当时，，所以，故选项B错误；对于选项C，令，定义域为，，所以为偶函数，即为偶函数，故选项C正确；对于选项D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，故选项D正确.故选：ACD.【一隅三反】1．（2023春·新疆伊犁·高一校联考期末）（多选）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（

）

A．的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的单调递增区间为D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象【答案】CD【解析】由图象可得，，，又，故，所以.显然A错误；对于B项，，不是对称轴，故B错误；对于C项，令，故C正确；对于D项，将函数的图象向右平移个单位得，故D正确.故选：CD.2．（2023秋·四川成都）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，又，即可得，因此，易知，故选：C.3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得，故，又，故，所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平