人教版高中数学精讲精练必修一5.1 任意角与弧度制（精练）（含答案及解析）

5.1任意角与弧度制（精练）1．（2023春·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.①小于的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；

④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

3（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角4．（2023·全国·高一专题练习）已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三5（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B． C． D．6（2023秋·江西）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（

）

A． B．C． D．

7．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（

）

A． B． C． D．8．（2023春·安徽·高一校联考期中）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（

）A． B． C． D．11．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．12（2023秋·山东临沂·高一校考期末）设，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．13．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）（多选）下列结论正确的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上的角的集合为D．若角为锐角，则角为钝角14（2023·全国·高一课堂例题）（多选）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．15．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）下列说法正确的有（）A．B．若角是锐角，则是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要条件是16．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．17（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）（多选）下列转化结果正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是18．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．

19．（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是20．（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为.22．（2023春·江西上饶·高一统考期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为.23．（2023·全国·高一课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．24．（2023·全国·高一假期作业）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．25．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．26．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．27．（2023秋·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.1．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为．

2．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（

）

A． B． C． D．3．（2023春·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）

A． B． C． D．4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）

A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为5（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）如图放置的边长为1的正沿轴滚动．设顶点的运动轨迹对应的函数解析式为，给出下列结论，其中正确结论的个数为（

）①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③在其两个相邻零点间的曲线长度为；④在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为．说明：“正沿轴滚动”包括沿轴正方向和负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正可以沿轴负方向滚动．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023秋·河南周口·高一校考开学考试）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为.

5.1任意角与弧度制（精练）1．（2023春·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.①小于的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；

④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，所以真命题的个数是1，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．3（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，与终边不相，故A错误；第三象限角的集合为，故B错误；终边在轴上角的集合为，即，即，故C正确；是第二象限角，第一象限角，，故D错误；故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【解析】因为为第三象限角，所以所以当为偶数时，记,所以所以为第二象限角，当为奇数时，记,所以所以为第四象限角，所以为第二或第四象限角，故选:A.5（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】

如图所示，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处，此时，即为正三角形，故.故选：A6（2023秋·江西）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】设该扇形的圆心角为，由扇形面积公式得，所以，取的中点，连接，交于点，则，则，，，所以扇形的弧长的近似值为.故选：D

7．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设，，

由弧长公式可得：，解得：，扇形的面积，扇形的面积所以扇面的面积．故选：D．8．（2023春·安徽·高一校联考期中）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为，解得，即正三角形的边长为1，由题意可得，故选：C9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限【答案】D【解析】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误；对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误；对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误；对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确；故选：D.10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】莱洛三角形的周长为，可得弧长，则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，等边的面积，所以莱洛三角形的面积是.故选：C.11．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，且，则，所以，所以该封闭图形的面积为.故选：A.12（2023秋·山东临沂·高一校考期末）设，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为表示终边落在轴上角的集合，表示终边落在轴正半轴上角的集合，表示终边落在轴负半轴上角的集合，所以，，正确；，故错误.故选：D13．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）（多选）下列结论正确的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上的角的集合为D．若角为锐角，则角为钝角【答案】AC【解析】对于选项A：因为，且为第二象限角，所以是第二象限角，故A正确；对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，例如，则为直角，故D错误；故选：AC.14（2023·全国·高一课堂例题）（多选）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】与终边相同的角可写为：，，，，与角终边相同的角的集合为：，A正确；，C正确.故选：AC.15．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）下列说法正确的有（）A．B．若角是锐角，则是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要条件是【答案】AC【解析】由题意A项，∴故A正确.B项，若角是锐角，∴∴∴不仅可能是第一或第二象限角，也可能在轴上，故B错误.C项，若角是第二象限角，∴∴则是第一或第三象限角故C正确.D项，若角是第三或第四象限角则，且∴，必要性成立若，则∴角是第三或第四象限角或在轴的负半轴上充分性不成立故错误.故选：AC.16．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为角是第二象限角，所以，，对于A，，，故是第三象限角，故A正确；对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；对于C，，，故是第三象限角，故C正确；对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.故选：AC17（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）（多选）下列转化结果正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【解析】对于A,化成弧度是,故A正确，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，，故D正确，故选：ABD18．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．

【答案】．【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.故答案为：19．（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是【答案】【解析】直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为故答案为：20．（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为.【答案】【解析】因为，又扇形的圆心角为，半径为，所以它的弧长为，故答案为：22．（2023春·江西上饶·高一统考期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为.【答案】/【解析】如图，顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为.故答案为：23．（2023·全国·高一课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【解析】因为是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．又由，当时，，此时是第一象限角；当时，，此时是第二象限角；当时，，此时是第四象限角．综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．24．（2023·全国·高一假期作业）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）设扇形的弧长为l．因为，即，所以．（2）由题设条件，知，则，所以扇形的面积．当时，S有最大值36，此时，所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．25．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为．【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，，．（2）依据题意，可知，化简得：，，当，．∴当时，y的值最大，且最大值为．26．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】(1)(2)取得最大值25，此时【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．所以扇形圆心角．（2）由已知得，．所以，所以当时，取得最大值25，,解得.当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.27．（2023秋·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.【解析】（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；（2）扇形周长，，．当且仅当，即时，扇形面积有最大值．（3）扇形的面积，所以所以当且仅当即时周长取得最小值1．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为．

【答案】【解析】如图，连接.由题意知，线段的长度都等于半径，所以，为正三角形，则，故的面积为，扇形的面积为，由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，所以阴影部分的面积.故答案为：.

2．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】第1次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线.故选：A.3．（2023春·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，由可得，所以，扇形的面积为，当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．因为，则扇形的圆心角，取线段的中点，由垂