人教版高中数学精讲精练必修一4.1 指数运算（精讲）（含答案及解析）

4.1指数运算（精讲）一．n次方根，n次根式1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.二.根式的性质1.负数没有偶次方根.2.0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.3.(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).4.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).5.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).三.分数指数幂1.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.四.有理数指数幂的运算性质1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).④eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q).2.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.一．eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别1.eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.二．根式与分数指数幂互化1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式.(2)运用分数指数幂的运算性质求解.3.利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.考点一根式的意义求范围【例1】（2023·云南曲靖）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·北京）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求3．（2023·全国·高一假期作业）若代数式有意义，则.考点二根式的性质化简或求值【例2-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期末）（多选）若，化简的结果可能（

）A． B．. C． D．【一隅三反】1．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）（多选）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（

）A．xy<0 B．xy>0C．x>0，y>0 D．x<0，y<02．（2023·全国·高一假期作业）化简的结果是．3．（2023·全国·高一假期作业）化简.考点三根式与指数幂的互化【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【例3-2】（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【例3-3】（2023云南）计算下列各式：(1)；(2)；(3).【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）化简（式中各字母均为正数）：(1)；(2)；(3)．2．（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）计算下列各式的值.(1)；.计算：；(7)（，）.3．（2023秋·高一课时练习）已知，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)

4.1指数运算（精讲）一．n次方根，n次根式1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.二.根式的性质1.负数没有偶次方根.2.0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.3.(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).4.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).5.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).三.分数指数幂1.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.四.有理数指数幂的运算性质1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).④eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q).2.无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.一．eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别1.eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.二．根式与分数指数幂互化1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式.(2)运用分数指数幂的运算性质求解.3.利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.考点一根式的意义求范围【例1】（2023·云南曲靖）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确；取，则，所以无意义，B错误；因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确；若，则，所以无意义，D错误.故选：AC【一隅三反】1．（2023·北京）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，的偶次方根无意义.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，故答案为：．3．（2023·全国·高一假期作业）若代数式有意义，则.【答案】8【解析】因为代数式有意义，所以且，故，所以，故答案为：8.考点二根式的性质化简或求值【例2-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.【例2-2】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期末）（多选）若，化简的结果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【解析】由化简可得，所以，所以或，又，所以，当时，，当时，，故选：AC.【一隅三反】1．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）（多选）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（

）A．xy<0 B．xy>0C．x>0，y>0 D．x<0，y<0【答案】BCD【解析】由知，所以异号，所以A对，BCD错；故选：BCD．2．（2023·全国·高一假期作业）化简的结果是．【答案】【解析】.故答案为：.3．（2023·全国·高一假期作业）化简.【答案】6【解析】.故答案为：.考点三根式与指数幂的互化【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】BD【解析】当时，，，故A错误．（），故B正确．（），故C错误．（），故D正确．故选：

BD【例3-2】（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)3【解析】（1）将两边平方，得，即；（2）将两边平方，得，即；,所以．【例3-3】（2023云南）计算下列各式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)100(3)【解析】（1）原式=1+=1+=（2）原式===100【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）化简（式中各字母均为正数）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）原式.（2）原式.（3）方法一（从里向外化）．方法二（从外向里化）2．