人教版高中数学精讲精练必修一2.2 基本不等式（精讲）（含答案及解析）

2.2基本不等式（精讲）一.重要不等式对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.二．基本不等式1.定义：如果a>0，b>0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．常用变形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.三.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.利用基本不等式求条件最值的常用方法1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.二．利用基本不等式比较实数大小(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.三．利用基本不等式解决实际问题的步骤1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.4.正确写出答案.四．利用基本不等式证明不等式1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．考点一直接型【例1-1】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【例1-2】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．362．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（

）A．1 B． C． D．3．（2023福建省）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023安徽）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点二替换型【例2-1】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．11【例2-2】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（

）A．25 B． C．26 D．19【例2-3】（2023·浙江）已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2-4】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【一隅三反】1．（2023西藏）已知，，，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．52．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．3．（2023春·江苏南京）已知非负数满足，则的最小值是___________.4．（2023·重庆）已知正数，满足，则的最小值为__________.考点三配凑型【例3-1】（2023·广西）函数的最大值为________.【例3-2】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4【一隅三反】1.（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________．2．（2023·福建）已知，则函数的最小值是______．3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．考点四消元型【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【一隅三反】1．（2023·北京）设,则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．42．（2023·重庆沙坪坝）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.考点五基本不等式解决恒成立问题【例5-1】（2023·江苏）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【例5-2】（2023浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．考点六基本不等式的实际应用【例6】（2023春·湖南）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【一隅三反】1．（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？2（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．考点七利用基本不等式比较大小【例7-1】（2023·甘肃）已知a、b为正实数，，则（

）A． B．C． D．【例7-2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·云南）若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．2．（2023·河北邯郸·高一校考期末）（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．3．（2023·河北唐山·）（多选）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．考点八基本不等式证明不等式【例8-1】（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【例8-2】（2023·江苏）已知，，，且．求证：．【例8-3】（2023·全国·高一假期作业）已知，，，求证：.【一隅三反】1．（2023·吉林长春）下列不等式恒成立的是（

）A．； B．；C．； D．．2．（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：.3．（2023·贵州黔南）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2).

2.2基本不等式（精讲）一.重要不等式对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.二．基本不等式1.定义：如果a>0，b>0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．常用变形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.三.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.利用基本不等式求条件最值的常用方法1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.二．利用基本不等式比较实数大小(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.三．利用基本不等式解决实际问题的步骤1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.4.正确写出答案.四．利用基本不等式证明不等式1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．考点一直接型【例1-1】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因为，由基本不等式可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.【例1-2】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B.【一隅三反】1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．36【答案】B【解析】因为，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.2．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以，当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1，故选：A.3．（2023福建省）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.4．（2023安徽）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为.故选：C.考点二替换型【例2-1】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】因为x，，x＋2y＝1，则，当且仅当，即时取等.故选：B.【例2-2】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（

）A．25 B． C．26 D．19【答案】A【解析】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，联立，即时等号成立，故选：A.【例2-3】（2023·浙江）已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，，则，所以，当且仅当，即时，取得等号，故选:C.【例2-4】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【解析】由（当且仅当时取等号），又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，可得的最小值为32．故选：D．【一隅三反】1．（2023西藏）已知，，，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】，，（当且仅当时等号成立），故选：C2．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因为正数满足，所以.所以,当且仅当，即时，取等号，当时，取得的最小值为.故选：A.3．（2023春·江苏南京）已知非负数满足，则的最小值是___________.【答案】4【解析】由，可得，当且仅当，即时取等号.故答案为：44．（2023·重庆）已知正数，满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】由正数，满足，可得，所以，当且仅当，，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.考点三配凑型【例3-1】（2023·广西）函数的最大值为________.【答案】【解析】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.【例3-2】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．【一隅三反】1.（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________．【答案】【解析】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：2．（2023·福建）已知，则函数的最小值是______．【答案】【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．【答案】【解析】当时，当，.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：考点四消元型【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4.故选:A【一隅三反】1．（2023·北京）设,则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由题意，所以，得到，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为．故选：A.2．（2023·重庆沙坪坝）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.【答案】3【解析】因为，，，所以，即；因为，当且仅当时取到等号，所以，解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3考点五基本不等式解决恒成立问题【例5-1】（2023·江苏）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选：D．【例5-2】（2023浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为两个正实数满足，所以，当且仅当，即时取等号，因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或，即实数的取值范围是，故选：C【一隅三反】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，且，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则.故选：A.2．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正实数x，y，，则，即，当且仅当，即时，等号成立，则，故选：A.3．（2023·北京）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】当时，不成立，所以.由得.因为，，所以，解得，即.所以，令，则，于是.令，，则.由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.所以，即的最大值为.故答案为：.考点六基本不等式的实际应用【例6】（2023春·湖南）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【答案】C【解析】设米,，则种植花卉区域的面积．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，即当米，米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,故选：C【一隅三反】1．（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？【答案】(1)(2)6万元【解析】（1）．因为，所以（2）因为．又因为，所以，所以（当且仅当时取“”）所以即当万元时，取最大值30万元．2（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．【解析】因为泳池的长为x米，则宽为米．则总造价，整理得到，当且仅当时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．考点七利用基本不等式比较大小【例7-1】（2023·甘肃）已知a、b为正实数，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，，所以，当且仅当时，等号成立，综上：.故选：B【例7-2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（

）A． B．C．