人教版高中数学精讲精练必修二第十章 概率 章末小结及测试（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

第十章概率章末小结及测试考法一事件的类型【例1-1】（2023陕西）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【例1-2】（2023陕西汉中）（多选）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（

）A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点【例1-3】（2023江苏）（多选）下列现象中，是随机现象的有（

）A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品考法二事件的关系与运算【例2-1】（2024云南）（多选）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2024湖北）（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件C． D．【例2-3】（2023江苏无锡）（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（

）A． B．C．若A与B互斥，则 D．一定有【例2-4】（2024山东）文具盒中有圆珠笔3支，钢笔2支，从中无放回地任取3支．(1)用集合A表示事件“3支都是圆珠笔”；(2)用集合B表示事件“恰有2支是圆珠笔”；(3)用集合C表示事件“恰有1支是圆珠笔”；(4)用A，B，C表示；(5)解释事件，，，的含义．考法三古典概型【例3-1】（2024广西·开学考试）某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率；(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.【例3-2】（2024·四川成都）2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．(1)计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；(2)拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．考法四概率的性质【例4-1】（2024新疆昌吉·开学考试）（多选）下列命题正确的是（

）A．对立事件一定是互斥事件B．若为不可能事件，则C．若事件，，两两互斥，则D．事件，满足，则，是对立事件【例4-2】（2024浙江杭州）（多选）已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（

）A．如果，那么B．如果A与B互斥，那么C．如果A与B相互独立，那么D．如果A、B与C两两互斥，那么【例4-3】（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则．【例4-4】（2023湖北武汉·期中）已知事件与事件互斥，若，，那么.【例4-5】（2023上海宝山）已知事件与事件互斥，如果，，那么.考法五事件的相互独立【例5-1】（2023河南）有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（

）A．与相互独立B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立【例5-2】（2024·云南昆明）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（

）A． B． C． D．考法六综合运用【例6-1】（2024·内蒙古赤峰）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.【例6-2】（2023广东茂名）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．单选题1．（2023重庆渝中）甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是（

）A． B． C． D．2.（2024湖北孝感）假设，且A与B相互独立，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.583．（2024广东惠州）下列关于概率的命题，错误的是（

）A．对于任意事件A，都有B．必然事件的概率为1C．如果事件A与事件B对立，那么一定有D．若A，B是一个随机试验中的两个事件，则4．（2023陕西咸阳）奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是（

）A．对立事件 B．互斥且对立事件C．互斥但不对立事件 D．既不互斥又不对立事件5．（2023四川遂宁）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是

（

）A．与互斥 B．，C． D．，为对立事件6．（2024安徽淮北）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（

）A． B．事件A与是互斥事件C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件7．2024陕西商洛）在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件8．（2023湖南）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（

）A． B． C． D．多选题9．（2023山东枣庄·期末）已知为两个事件，，，则的值可能为（

）A． B． C． D．10．（2024四川攀枝花）某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（

）A． B．与是互斥事件C． D．与是互斥事件，且是对立事件11．（2023·广东广州·期末）下列关于概率的命题，正确的是（

）A．对于任意事件，都有B．必然事件的概率为1C．如果事件与事件互斥，那么一定有D．若，是一个随机试验中的两个事件，则12．（2024·贵州贵阳）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件填空题13．（23-24高一上·全国·课时练习）下列现象中，是确定性现象的是．①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．14．（2024山西朔州）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.15（2023全国·课时练习）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为.16．（2024广东梅州）某产品分甲、乙、丙三级，其中甲级属正品，乙、丙两级属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为.解答题17．（2024四川泸州）已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲､乙､丙都通过测试的概率；(2)求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率；(3)求甲､乙､丙恰有有两人通过测试的概率．18．（2023安徽合肥）某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示：(1)求图中的值以及尺寸在内的零件数量；(2)求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）；(3)现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率．19．（2023湖南长沙·开学考试）2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估分数按，，，分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、、、四个等级，等级评定标准如表所示．评估分数评定等级A(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数；(2)从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A等级的概率．20．（2023·四川成都）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都不需要照顾的概率为0.6，甲、丙都不需要照顾的概率为0.4，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内不需要照顾的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器不需要照顾的概率.21．（2023福建厦门）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.22．（2024江苏）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.

第十章概率章末小结及测试考法一事件的类型【例1-1】（2023陕西）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【解析】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生．故选：D．【例1-2】（2023陕西汉中）（多选）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（

）A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点【答案】ABC【解析】因为记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，所以第一枚掷出5点，第二枚掷出2点时，，第一枚掷出3点，第二枚掷出3点时，，第一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，，第一枚掷出6点，第二枚掷出2点时，，所以表示的随机事件不可能是A,B,C，可能是D.故选：ABC【例1-3】（2023江苏）（多选）下列现象中，是随机现象的有（

）A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品【答案】ACD【解析】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确；故选：ACD.考法二事件的关系与运算【例2-1】（2024云南）（多选）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有和.故选：BC【例2-2】（2024湖北）（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件C． D．【答案】ABC【解析】由事件，，不一定两两互斥，所以,，且，所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件，所以A、B、C中说法错误.故选：ABC.【例2-3】（2023江苏无锡）（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（

）A． B．C．若A与B互斥，则 D．一定有【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，又且，则，所以，即，故B正确；对于C，因为A与B互斥，所以，则，故C错误；对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足，，但不成立，故D错误；故选：AB.【例2-4】（2024山东）文具盒中有圆珠笔3支，钢笔2支，从中无放回地任取3支．(1)用集合A表示事件“3支都是圆珠笔”；(2)用集合B表示事件“恰有2支是圆珠笔”；(3)用集合C表示事件“恰有1支是圆珠笔”；(4)用A，B，C表示；(5)解释事件，，，的含义．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)答案见解析【解析】（1）将3支圆珠笔记为，将2支钢笔记为，可得.（2）将3支圆珠笔记为，将2支钢笔记为，可得.（3）将3支圆珠笔记为，将2支钢笔记为，可得.（4）因为必有事件A，B，C之一发生，所以样本空间．（5）由事件A，B的定义可知，“至少有2支圆珠笔”，，是不可能事件，“3支都是圆珠笔”，“至少有1支钢笔”．考法三古典概型【例3-1】（2024广西·开学考试）某环保小组共有5名成员，其中男成员有2人，现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率；(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可知该环保小组女成员有3人，记为；男成员有2人，记为.从5名成员随机选出3人的情况有，共10种.所选的3人中恰有1名男成员的情况有，共6种，则所选的3人中恰有1名男成员的概率.（2）所选的3人中至少有2名女成员的情况有，共7种，则所选的3人中至少有2名女成员的概率.【例3-2】（2024·四川成都）2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．(1)计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；(2)拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．【答案】(1)，0.1(2)【解析】（1）解：因为，所以，

由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为.（2）解：样本中同学通关时间位于区间的有人，即为，通关时间位于区间的有：（位），即为，，从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别为，，，，，，，，，，

所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，，，故此2人的通关时间均位于区间的概率为．考法四概率的性质【例4-1】（2024新疆昌吉·开学考试）（多选）下列命题正确的是（

）A．对立事件一定是互斥事件B．若为不可能事件，则C．若事件，，两两互斥，则D．事件，满足，则，是对立事件【答案】AB【解析】由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，A正确；由于为不可能事件，所以，互斥，则，即B正确；事件，，两两互斥，比如掷骰子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件：“3次出现正面”，则，，满足，但，不是对立事件，故D不正确．故选：AB【例4-2】（2024浙江杭州）（多选）已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（

）A．如果，那么B．如果A与B互斥，那么C．如果A与B相互独立，那么D．如果A、B与C两两互斥，那么【答案】ABD【解析】对于A，如果，那么，，故A正确；对于B，如果A与B互斥，那么，，故B正确；对于C，如果A与B相互独立，那么，故C错误；对于D，如果A、B与C两两互斥，那么，故D正确；故选：ABD.【例4-3】（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则．【答案】/0.125【解析】因为，所以，故．故答案为：【例4-4】（2023湖北武汉·期中）已知事件与事件互斥，若，，那么.【答案】0.8【解析】.故答案为：0.8.【例4-5】（2023上海宝山）已知事件与事件互斥，如果，，那么.【答案】/【解析】事件与事件互斥，则，，故.故答案为：.考法五事件的相互独立【例5-1】（2023河南）有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（

）A．与相互独立B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立【答案】BC【解析】从上述个球中不放回的随机取两次，每次取1个球，所有的基本事件：、、、、、、、、、、、，共种，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，事件包含的基本事件有：、、、、、、，，共8种，事件包含的基本事件有：、、、，共4种，对于A：，，事件包含的基本事件有：、、、，共4种，则，故，不独立，故A错误；对于B：事件包含的基本事件有：、、、，共种，则，又，所以，故，相互独立，故B正确；对于C：事件包含的基本事件有：、，共2种，则，又因为，则，则、相互独立，故C正确；对于D：因为、互为对立事件，所以，则，故、不相互独立，故D错误．故选：BC．【例5-2】（2024·云南昆明）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：,因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为：.故选：B．考法六综合运用【例6-1】（2024·内蒙古赤峰）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.【答案】(1)平均数75，中位数约为76.67.(2)．【解析】（1），设中位数为，因为前组的频率之和为，而前2组的频率之和为，所以，由，解得：，故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为；（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，；成绩在内的有人，记为，，，从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能；其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能；故所求的概率为．【例6-2】（2023广东茂名）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．【答案】(1)(2)10【解析】（1）设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，由题意得，，，且事件A、B相互独立，则，所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，则由题意，，解得．单选题1．（2023重庆渝中）甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜.由概率性质可知，三种情况的概率和为1，所以乙获胜的概率为，故选：D.2.（2024湖北孝感）假设，且A与B相互独立，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58【答案】D【解析】由，，且A与B相互独立，得，所以.故选：D3．（2024广东惠州）下列关于概率的命题，错误的是（

）A．对于任意事件A，都有B．必然事件的概率为1C．如果事件A与事件B对立，那么一定有D．若A，B是一个随机试验中的两个事件，则【答案】D【解析】对于A，对于任意事件A，都有，故A正确；对于B，必然事件的概率为1显然正确，故B正确；对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有，故C正确；对于D，若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故D错误．故选：D．4．（2023陕西咸阳）奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是（

）A．对立事件 B．互斥且对立事件C．互斥但不对立事件 D．既不互斥又不对立事件【答案】C【解析】甲、乙不能同时得到红环，因而事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥事件；甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”的事件不是必然事件，故事件“甲分得红环”与“乙分得红环”不是对立事件，所以，事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥但不对立事件.故选：C.5．（2023四川遂宁）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是

（

）A．与互斥 B．，C． D．，为对立事件【答案】D【解析】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；故选：D．6．（2024安徽淮北）掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（

）A． B．事件A与是互斥事件C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件【答案】C【解析】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，即，事件，故，即事件A、B既不互斥也不对立.显然C正确.故选：C7．2024陕西商洛）在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故C错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故D正确.故选：D.8．（2023湖南）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B多选题9．（2023山东枣庄·期末）已知为两个事件，，，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，，所以所以,即，解得.故选：BC10．（2024四川攀枝花）某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（

）A． B．与是互斥事件C． D．与是互斥事件，且是对立事件【答案】AD【解析】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”；事件为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”；事件为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”；事件为“两次都没中靶”；故，与不是互斥事件，与是互斥事件，且是对立事件，.故选:：AD.11．（2023·广东广州·期末）下列关于概率的命题，正确的是（

）A．对于任意事件，都有B．必然事件的概率为1C．如果事件与事件互斥，那么一定有D．若，是一个随机试验中的两个事件，则【答案】BD【解析】对于A，对于任意事件，都有，故A错误；对于B，必然事件的概率为1显然正确，故B正确；对于C，如果事件与事件对立，那么一定有，但互斥事件不一定对立，故C错误；对于D，若，是一个随机试验中的两个事件，则正确，故D正确.故选：BD12．（2024·贵州贵阳）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件【答案】BCD【解析】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错；，故B对；而，故C对；两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：BCD.填空题13．（23-24高一上·全国·课时练习）下列现象中，是确定性现象的是．①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．【答案】①【解析】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．故答案为：①14．（2024山西朔州）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．15（2023全国·课时练习）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为.【答案】【解析】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为.故答案为：.16．（2024广东梅州）某产品分甲、乙、丙三级，其中甲级属正品，乙、丙两级属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为.【答案】0.96【解析】记“抽出的产品为正品”为事件，“抽出的产品为乙级产品”为事件，“抽出的产品为丙级产品”为事件，则事件，，彼此互斥，且与是对立事件，所以.故答案为：解答题17．（2024四川泸州）已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲､乙､丙都通过测试的概率；(2)求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率；(3)求甲､乙､丙恰有有两人通过测试的概率．【答案】(1)0.432(2)0.992(3)0.444【解析】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为.（2）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为．（3）甲､乙､丙恰有两人通过测试的概率为：.18．（2023安徽合肥）某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示：(1)求图中的值以及尺寸在内的零件数量；(2)求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）；(3)现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为(3)【解析】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：，解得，所以尺寸在内的零件数量为．（2）解：由题意得，这批产品尺寸的平均数为：，由频率分布直方图，可得前三个小矩形的面积和为，前四个小矩形的面积之和为，所以数据的中位数为．（3）解：由题意得，尺寸在内的有2个，记为，尺寸在内的有4个，记为，任选2个，所有的情况为，，共15种，其中满足条件的为，共9种，根据古典摡型的概率计算公式，可得所求概率．19．（2023湖南长沙·开学考试）2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估分数按，，，分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、、、四个等级，等级评定标准如表所示．评估分数评定等级A(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数；(2)从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A等级的概率．【答案】(1)77.5分(2)．【解析】（1）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为．因为，则第64百分位数位于区间内．设第64百分位数为，则，得．所以第64百分位数估计为77.5分．（2）由直方图知，A等级的连锁店有家，记为,B等级的连锁店有,记为．从这6家连锁店中任选2家，有：，，共有15种选法，则．设事件“至少抽到1家A等级”，事件E包含的样本点有：，共9个，即.所以，即至少抽到1家A等级的概率为．20．（2023·四川成都）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都不需要照顾