人教版高中数学精讲精练必修二第七章 复数章末小结及测试（含答案及解析）（人教A版2019必修第二册）

第七章复数章末小结及测试考法一复数的相关概念【例1-1】（2024上·浙江绍兴）若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2024上·安徽亳州）已知复数，则“”是“的实部小于0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例1-3】（2024·四川成都）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（

）A． B． C． D．考法二复数的分类【例2-1】（2024上·浙江杭州·高二校考期末）若复数是纯虚数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【例2-2】（2024·山西·校联考模拟预测）已知为实数，则（

）A．1 B． C．2 D．【例2-3】（2024下·云南昆明）若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（

）A． B． C．3 D．【例2-4】（2024·广东汕头）在复数范围内，下列命题是真命题的为（

）A．若，则是纯虚数B．若，则是纯虚数C．若，则且D．若、为虚数，则考法三复数的几何意义【例3-1】（2024·山西晋城）设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B．C． D．【例3-2】（2024·吉林·校联考模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【例3-3】（2024下·陕西）复数（i为虚数单位，）在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例3-4】（2024下·北京）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数为（

）A． B． C． D．-3考法四复数的模长【例4-1】（2024下·天津）已知复数满足（为虚数单位），则（

）A．3 B． C．5 D．【例4-2】（2024·江西）已知为虚数单位，为复数的共轭复数,复数满足，则（

）A．1 B． C． D．【例4-3】（2024·四川成都·成都七中模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【例4-4】（2024下·江苏泰州）若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．考法五复数的计算【例5-1】（2023北京）已知是虚数单位，则.【例5-2】（2023·河南）若，则（）A． B． C． D．【例5-3】（2023云南）计算：（1）_______．（2）_______．【例5-4】．（2024河北）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.【例5-5】（2024全国·高一专题练习）计算：（1）；（2）．考法六复数范围内解方程【例6-1】（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．【例6-2】（2024·河南安阳）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，【例6-3】（2024下·青海西宁）已知为方程（a，）的一个根，则（

）A．， B．，C．， D．，单选题1．（2024下·内蒙古赤峰）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．12．（2023·河南）若复数为纯虚数，则实数m的值为（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·新余市第一中学校联考一模）在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4（2024下·北京西城）在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（

）A． B．C． D．5．（2023上·全国校联考开学考试）设复数z满足，则（

）A． B． C．2 D．86．（2024下·山东菏泽）已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（

）A． B．C． D．7．（2024下·山西晋城·）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．1 C．5 D．8．（2024下·浙江）已知复数，其中且，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．多选题9（2024·湖南长沙9）已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（

）A．B．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．D．为纯虚数10．（2024下·广东·高三统考阶段练习）若z满足，则（

）A．z的实部为3 B．z的虚部为1C． D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为311．（2023广东）下列说法中，错误的是（

）A．两个复数不能比较大小B．在复数集内，的平方根是C．是虚数的一个充要条件是D．若是两个相等的实数，则是纯虚数12（2024下·湖南长沙）已知为复数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则或填空题13．（2024上·天津南开）设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则．14．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）下列关于复数的命题，是真命题的是．（填序号）①；②若，则；③若，则是纯虚数；④对任意实数，都有是虚数．15（2024·上海虹口），若，则．16．（2023安徽）关于x的实系数方程x2+4x+m=0的两个复数根为a､β，且|a﹣β|=2，则m=.解答题17．（2023·河南焦作）计算：(1)；(2).(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)．18．（2023·高一单元测试）已知复数.(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；(2)若，试求实数、的值.19．（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：(1)不在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在实轴下方（不包括实轴）；(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；(5)第三象限．20．（2023·全国·高一随堂练习）求实数的值，使复数分别是：(1)实数；(2)纯虚数；(3)零．21．（2023安徽·课时练习）设复数、满足.(1)若、满足，求、；(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.22．（2024·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程.

第七章复数章末小结及测试考法一复数的相关概念【例1-1】（2024上·浙江绍兴）若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以的虚部为，故选：D【例1-2】（2024上·安徽亳州）已知复数，则“”是“的实部小于0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为若其实部小于0，则，即，显然是的必要不充分条件，则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件，故选：B.【例1-3】（2024·四川成都）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以的虚部是.故选：A考法二复数的分类【例2-1】（2024上·浙江杭州·高二校考期末）若复数是纯虚数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：,可得，所以,根据虚部的概念，可得的虚部为.故选：A【例2-2】（2024·山西·校联考模拟预测）已知为实数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由，为实数，，解得．故选：B．【例2-3】（2024下·云南昆明）若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】因为为纯虚数，所以且，即.故选：B．【例2-4】（2024·广东汕头）在复数范围内，下列命题是真命题的为（

）A．若，则是纯虚数B．若，则是纯虚数C．若，则且D．若、为虚数，则【答案】D【解析】对于A选项，取，则，所以，，此时，不是纯虚数，A错；对于B选项，取，则成立，但不是纯虚数，B错；对于C选项，取，，则，但且，C错；对于D选项，若、为虚数，设，，则，，所以，，D对.选：D.考法三复数的几何意义【例3-1】（2024·山西晋城）设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意得，所以，则在复平面内对应的点为．故选：C【例3-2】（2024·吉林·校联考模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】设，由得，即，即对应的点为，在第二象限，故选：B【例3-3】（2024下·陕西）复数（i为虚数单位，）在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，其在复平面内对应的点为，，在第三象限.故选：C.【例3-4】（2024下·北京）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数为（

）A． B． C． D．-3【答案】A【解析】依题意，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，所以.故选：A.考法四复数的模长【例4-1】（2024下·天津）已知复数满足（为虚数单位），则（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】由，则，所以.故选：D【例4-2】（2024·江西）已知为虚数单位，为复数的共轭复数,复数满足，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为,所以，则.故选：B.【例4-3】（2024·四川成都·成都七中模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，故选：A.【例4-4】（2024下·江苏泰州）若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】令，为实数由，所以，因此当时，取最小值，故选：B考法五复数的计算【例5-1】（2023北京）已知是虚数单位，则.【答案】【解析】，故答案为：【例5-2】（2023·河南）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，且，.故选：.【例5-3】（2023云南）计算：（1）_______．（2）_______．【答案】（1）（2）0【解析】(1)===(2)故答案为：，0【例5-4】．（2024河北）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合中元素的个数为．故答案为：．【例5-5】（2024全国·高一专题练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）513；（2）．【解析】（1）由于考法六复数范围内解方程【例6-1】（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为.故选：B．【例6-2】（2024·河南安阳）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，故选：C【例6-3】（2024下·青海西宁）已知为方程（a，）的一个根，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因为为方程的一个根，则，可得，解得.故选：A.单选题1．（2024下·内蒙古赤峰）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】由，所以虚部为2.故选：B.2．（2023·河南）若复数为纯虚数，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，因为是纯虚数，所以，解得.故选：A3．（2024·江西·新余市第一中学校联考一模）在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，且复数z对应的点在第三象限，则对应的点也在第三象限.故选：C4（2024下·北京西城）在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，所以复数所对应的向量的坐标为.故选：B5．（2023上·全国校联考开学考试）设复数z满足，则（

）A． B． C．2 D．8【答案】B【解析】，，因此．故选：B6．（2024下·山东菏泽）已知复数z满足（其中i为虚数单位），且z的虚部为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，有，即，由的虚部为，设，则有，解得，则.故选：B7．（2024下·山西晋城·）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．1 C．5 D．【答案】D【解析】因为，故其对应的点为，该点关于直线对称的点为，该点对应的复数为，故，故选：D.8．（2024下·浙江）已知复数，其中且，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】复数，其中且，复数在复平面内对应的点，在直线上，的几何意义是点到点的距离，其最小值为点到直线的距离，最小值为.故选：D多选题9（2024·湖南长沙9）已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（

）A．B．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．D．为纯虚数【答案】ABC【解析】，故，故，故A正确，而在复平面上对应的点为，它在第四象限，故B正确.，故C正确.，它不为纯虚数，故D错误，故选：ABC.10．（2024下·广东·高三统考阶段练习）若z满足，则（

）A．z的实部为3 B．z的虚部为1C． D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3【答案】AB【解析】设，因为，所以，所以．，解得，所以，所以A，B正确；，所以C错误；因为z对应的向量坐标为，所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为，所以D错误．故选：AB．11．（2023广东）下列说法中，错误的是（

）A．两个复数不能比较大小B．在复数集内，的平方根是C．是虚数的一个充要条件是D．若是两个相等的实数，则是纯虚数【答案】ACD【解析】A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误；B选项，在复数集内，，故的平方根是，B正确；C选项，不妨设，此时为实数，则，满足，故C错误；D选项，不妨设，，不是纯虚数，D错误.故选：ACD12（2024下·湖南长沙）已知为复数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则或【答案】ABD【解析】设，，因为，，所以，故A正确；又，，，所以，故B正确；取，，可得，故C错误；若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确；故选：ABD．填空题13．（2024上·天津南开）设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为，则．【答案】/【解析】，所以，解得，故答案为：.14．（2022下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）下列关于复数的命题，是真命题的是．（填序号）①；②若，则；③若，则是纯虚数；④对任意实数，都有是虚数．【答案】①②④【解析】对于①，，①正确；对于②，由，设，则，②正确；对于③，当时，，而是实数，③错误；对于④，当时，，当且仅当时取等号，因此是虚数，④正确，所以真命题的是①②④.故答案为：①②④15（2024·上海虹口），若，则．【答案】【解析】因为，所以，则，故所以.故答案为：.16．（2023安徽）关于x的实系数方程x2+4x+m=0的两个复数根为a､β，且|a﹣β|=2，则m=.【答案】3或5【解析】对于方程x2+4x+m=0，∴α+β=﹣4，αβ=m，①当△=16﹣4m<0时，设两个复数根为a､β，且设，a，b∈R，所以2a=﹣4，|2bi|=2，∴a=﹣2，b=±1故，或，∴αβ=(﹣2)2﹣i2=5.②△=16﹣4m≥0时，设两根为x1，x2.易知x1+x2=﹣4，x1x2=m，∴，解得m=3.综上可知，m的值为3或5.故答案为：3或5.解答题17．（2023·河南焦作）计算：(1)；(2).(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)0【解析】（1）.（2）.（3）.；（4）..（5）（6）（7）（8）；（9）原式；（10）原式，.18．（2023·高一单元测试）已知复数.(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；(2)若，试求实数、的值.【答案】(1)复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为(2)【解析】（1）因为.则复数的实部为，虚部为，模长为，表示复平面上的点的坐标为.（2）将代入方程得：，∴，∴.19．（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点