广东省湛江市雷州市十校联考2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省湛江市雷州市十校联考九年级（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（）A．﹣1 B． C．3.14 D．2．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（）A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×10113．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．2x2+x2＝2x4 B．x3•x3＝2x3 C．（x5）2＝x7 D．2x7÷x5＝2x25．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．﹣66．（3分）把函数y＝x2的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为（）A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2﹣1 D．y＝（x﹣1）27．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（）A．40° B．70° C．110° D．140°8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3均过点（﹣1，y1）、（2，y2）、（4，y3），则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y39．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝3610．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤2a+b＞0．A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝．13．（3分）抛物线y＝（x+I）2﹣2与y轴的交点坐标是．14．（3分）若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2023＝．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD＝6cm，则直径AB的长为______________cm．16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，则△ABD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．18．（4分）解不等式组：．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：BE＝2CE．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）．请解答下列问题：（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标．21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．22．（10分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．24．（12分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为．探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．

参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．D．2．C．3．A．4．D．5．A．6．D．7．B．8．D．9．A．10．D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．x≥2023．12．．13．（0，﹣1）．14．﹣1．15．．16．8．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．解：∵x2+6x﹣7＝0，∴（x+7）（x﹣1）＝0，∴x1＝﹣7或x2＝1．18．解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤，则不等式组的解集为1＜x≤．19．解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）证明：如图所示，连接AE，∵DE为线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∴BE＝2CE．20．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1的坐标为：（4，0）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2的坐标为：（﹣4，0）．21．（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＝（4m2﹣4m+1）﹣（4m2﹣4m）＝1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3，解得m＝﹣3或1．22．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．23．（1）证明：∵DB是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CB＝AC＝，∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD＝．24．解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．25．解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；设直线BC的函数表达式为y＝mx+2，把B（4，0）代入得：4m+2＝0，解得m＝﹣，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2；（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∴S△PBC＝PH•OB＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，此时P的坐标为（2，3）；（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作