沪科版九年级上册数学期末考试试卷及答案解析

沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y=x2-2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=-1 D．直线x=-22．若反比例函数的图象经过（2，-2），（m，1）,则m=（）A．1B．-1C．4D．-43．如右图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且△ADE～△ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．44．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6．则AC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．25．如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（）A．27° B．28° C．36° D．54°6．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x经变换后得到抛物线y=x2-4x，则这个变换可以是A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位7．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（）A．2π B．3π C．4π D．6π9．抛物线y=kx2-1与双曲线在同平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且-1x10，0x2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．二、填空题11．写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：____________．12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．13．如图，反比例函数与一次函数y=x-2的图象交于点P(a，b)，则的值为______________．14．抛物线y＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到抛物线_____．15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为______．三、解答题16．计算：cos230°+sin245°﹣tan60°•tan30°17．己知抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，B(-3，0)，求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．18．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2．19．已知：如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，延长DE、BC交于点F．求证：BF·EC=CF·AE．20．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：=1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)21．如图，点A在反比例函数的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点B，S△AOB=2．（1）求该反比例函数的表达式，（2）若P(x1，y1)、Q(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且x1x2，y1y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．22．己知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧BC的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O直径是5，AE=3.2，求BD的长．23．某公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：第n月第1月第2月维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元）35若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y(万元)，且y=an2+bn．（1）求出y的解析式；（2）设该公司第n月的利润为w(万元)，求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？24．如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF=∠EBG=90°，连接AG、FC．（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上(如图1)．①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；②求D、E两点之间距离的最小值．（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AGCF．参考答案1．A【解析】将函数解析式化成顶点式，即可得到抛物线的对称轴．【详解】解：，∴抛物线的对称轴为：x=1，

故选：A．【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．D【分析】先设出反比例函数解析式y=，代入（2，-2）确定k值，再代入（m，1）可求出m的值．【详解】设反比例函数图象的解析式为y=，∵反比例函数的图象经过点（2，-2），∴k=2×(-2)=-4，而m×1=-4，,m=-4∴故选D．3．C【分析】根据三角形相似的性质可知，即可求出AE的长．【详解】∵，∴，即．∴AE=3．故选：C．【点睛】本题考查三角形相似的性质．了解两三角形相似对应边成比例是解答本题的关键．4．C【分析】由∠C=90°，cosA=，可得：再解方程可得答案．【详解】解：如图，∠C=90°，cosA=，AB=6，故选：【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握锐角的余弦的定义是解题的关键．5．A【分析】由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，可得，从而可得答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．”是解题的关键．6．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=x2+4x=x2+4x+4-4=(x+2)2-4，顶点坐标是（-2，-4）．y=x2-4x=x2-4x+4-4=（x-2）2-4，顶点坐标是（2，-4）．所以将抛物线y=x2+4x向右平移4个单位长度得到抛物线y=x2-4x，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．B【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故选B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．8．C【分析】连接OC、OB．根据，可推出，即可求出．又由AB为小圆的切线，可推出，即可求出AO的长，最后利用弧长公式计算即可．【详解】如图连接OC、OB．∵，OA=OB．∴，∴．∵AB为小圆的切线，∴，又∵OC=OD=3，∴AO=2OC=6．∴．故选：C．【点睛】本题为圆的综合题．掌握切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式以及三角函数等知识是解答本题的关键．9．D【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别判断反比例函数图像与抛物线的位置，即可求解．【详解】分两种情况讨论：①当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在y轴上，且与y轴交点为，四个选项都不符合；②当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在y轴，且与y轴交点为，D选项符合．【点睛】本题主要考查反比例函数与二次函数的综合，熟练掌握反比例函数与二次函数的图像和性质，是解题的关键．10．D【分析】根据题意画出图象，结合图象列出不等式组求解即可．【详解】解：由于抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且-1x10，0x2，所以，画图象得，由图象得，∴，综上所述，a的取值范围是：．故选：D．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，需要掌握二次函数图象的性质，难度不大．11．对角互补的四边形是圆内接四边形；【分析】根据逆命题的概念解答即可．【详解】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题是：对角互补的四边形是圆内接四边形，故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题的关键．12．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【详解】在网格上取个点D，得∵CD=4，AD=3∴∴故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识．13．；【分析】将P(a，b)代入反比例函数和一次函数的解析式求得，代入代数式即可求解．【详解】解：，将将P(a，b)分别代入和y=x-2，得，，故答案为：．【点睛】本题是一次函数与反比函数的综合题，考查了点与函数的关系，将点的坐标代入函数解析式及整体代入是解题的关键．14．．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向右平移1个单位所得直线解析式为：；即：．

故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键．15．【分析】本题可通过假设未知数，结合表示BC、AB的长度，继而利用勾股定理求解AC，最后利用正切函数定义求解．【详解】解：如下图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴假设，，∴．∴．故填：．【点睛】本题考查三角函数，解题关键是理清各三角函数的概念，其次为方便解题，通常利用假设未知数将边长表示为具体数值．16．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可．【详解】解：原式＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．；【分析】把点A(1，0)，B(-3，0)代入利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式，再把抛物线的解析式化为顶点式，从而可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：抛物线过点A(1，0)，B(-3，0)，即①②得：把代入①得：抛物线的解析式为：由抛物线的顶点坐标为：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，把抛物线的一般式化为顶点式，再求解顶点坐标，掌握以上知识是解题的关键．18．（1）见解析，B1（8，8）；（2）见解析【分析】（1）将菱形OABC的边长均扩大为原来的两倍即可得到菱形OA1B1C1，直接根据点B1在坐标系中的位置写出其坐标即可；（2）根据图形旋转的性质画出菱形OA2B2C2．【详解】解析：（1）如图所示：由点B1在坐标系中的位置可知，B1（8，8）；（2）如图所示．【点睛】本题考查的是旋转变换、位似变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19．见解析【分析】作DG∥BC，DH∥AC，可得G是AC中点，H是BC中点，BC=2DG，AC=2AG，根据DG∥BC可得，根据=2，化简即可解题．【详解】证明：作DG∥BC，DH∥AC，则△ADG∽△ABC，∵D是AB中点，∴G是AC中点，H是BC中点，BC=2DG，AC=2AG，∵△DGE∽△FCE，∴，∴，即，∴，即，∵EG+EC=GC=AG，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE，∴，即，∴BF·EC=CF·AE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADG∽△ABC是解题的关键．20．59.2米【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处古塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°”可以求出CD的长．【详解】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，

由题意知：∠ADB=30°，

∴在Rt△ABD中，tan30°=，

∴，∴AD=16，

∵一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，

∴在Rt△ACD中，CD=AD•tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）．

答：楼高CD为59.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．21．（1）；（2）P点在第三象限，Q在第一象限，理由见解析【分析】（1）利用反比例函数k的几何意义即可求解；（2）根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：（1）设点A的坐标为（x，y），由图可知x、y均为正数，即OB=x，AB=y，∵△AOB的面积为2，∴AB•OB=4，即x•y=4，可得k=4，∴该反比例函数的表达式为；（2）∵反比例函数位于一、三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x1>x2，y1y2，所以P、Q两点一定位于不同的象限，因x1x2，y1y2，所以点Q在第一象限，P在第三象限．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数的性质，解答本题关键是求出k的值，得出反比例函数解析式．22．（1）见解析；（2）3；【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠BAC，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线；（2）证明△EAD∽△DAB，可得比例线段，由此可求出AD，再由勾股定理求出BD．【详解】（1）证明：如图1，连接OD．

∵EF⊥AE，∴∠E=90°．∵D是的中点，∴，∴∠EAD=∠DAB=∠BAC，∵∠DAB=∠BOD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AE．∴∠FDO=∠E=90°．∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠AED=∠ADB，∵∠EAD=∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，∴．∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，难点是通过相似得到比例线段求出AD．23．（1）；（2），投产后第49个月，利润最大，最大1901万元；（3）第6个月【分析】（1）将表格中的数据代入解析式，由待定系数法求解即可；（2）利润=总创利-维修保养与损耗等费用-500，由此即可列出w与n之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）在（2）的基础之上，进一步求解，要使得收回投资，也即为利润大于或等于0，所以讨论当n为何整数时，利润大于或等于0即可．【详解】解：（1）将，代入，得：，解得：，∴解析式为：；（2），化为顶点式为：，∵，∴该二次函数开口向下，当时，取最大值1901，∴投产后第49个月，利润最大，最大1901万元；（3）时，（万元）＜0；时，（万元）＞0；∴在2021年第6个月收回成本．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，仔细审题，准确求解出的解析式，并熟练运用二次函数的性质是解题关键．24．（1）①5；②；（2）见解析【分析】（1）①由条件可证明