江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2022−2023学年度第二学期期中考试八年级数学试卷一、选择题：1.下列手机中的图标是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.如图，在中，，则的度数为（）A.70° B.80° C.110° D.120°【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质进行求解；【详解】解：在中，∵，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．3.已知线段，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（）A.2 B.3 C.4.5 D.5【答案】B【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则，解得（线段是正数，负值舍去），所以．故选：B．【点睛】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．4.已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据根与系数的关系得．【详解】解：根据根与系数的关系得，故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．5.如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是()A.AB＝36m B.MN∥AB C.MN＝CB D.CM＝AC【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线性质解答即可.【详解】解：因为M、N是AC，BC的中点，∴MN//AB，B正确；MN＝AB，∵MN的长为18m，∴AB=2MN=36m，A正确；∵CM=AC，D正确.∵AB不一定等于CB，C错误.故本题选C.【点睛】本题考查三角形中位线，熟悉掌握相关性质是解题关键.6.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．【详解】解：由于，A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；B、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；C、若添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；D、若添加，已知角不是成比例的两边的夹角，不能证明，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键．7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．8.如图，矩形的对角线、相交于点O，．若，则四边形的周长为（）A.4 B.8 C.12 D.20【答案】B【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长．【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是菱形，∴，∴四边形的周长；故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填写在答题纸上．）9.如图，直线，直线和被所截，如果，那么的长是________．【答案】6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【详解】解：∵直线，∴，∵，∴，∴，故答案为6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．10.关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△，解得．故答案是：．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．11.已知线段，是线段黄金分割点，则________．【答案】【解析】【分析】直接根据黄金分割的定义计算．【详解】解：∵是线段的黄金分割点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．12.商店今年1月份的销售额是4万元，3月份的销售额是9万元，从1月份到3月份，则该店销售额平均每月的增长率为________．【答案】【解析】【分析】设该店销售额平均每月的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设该店销售额平均每月的增长率为，根据题意得，解得：（舍去）故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．13.已知m是方程的一个根，则的值为_______．【答案】2025【解析】【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根∴，∴，∴．故答案为：2025【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握式方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．14.如图，在中，E是上一点，且，连接相交于F，则________．【答案】【解析】【分析】根据题目已知条件求证，再找到相似三角形的相似比即可表示出其面积比．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及相似三角形面积比与相似比之间的关系是解题的关键．15.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s．【答案】2或【解析】【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．【详解】解：设点P运动的时间为，则，∴，∵，∴当时，，∴，∴，解得；∵，∴当时，，∴，∴，解得．综上所述，运动时间为或．故答案为：2或．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键．16.如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．由轴对称的性质可知，即的最小值是线段的长，根据勾股定理求出的长即可．【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长．∵四边形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共8小题，共72分．请将解答过程填写在答题纸上．）17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【小问1详解】∴或解得：；【小问2详解】∴解得：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．（1）画出将关于原点O的中心对称图形；（2）将绕点E逆时针旋转得到，画出；（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出；（2）根据旋转的性质即可画出；（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．【小问1详解】解：如图，即为所求；；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：根据旋转性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19.如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．【答案】（1）见解析．（2）9．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【详解】解（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC；（2）解：∵△ADB∽△ABC，∴=，∵AB＝6，AD＝4，∴＝，∴AC＝9．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20.已知关于x的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出k的值和方程的另一个根．【答案】（1）见解析（2），方程的另一个根为3【解析】【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可；（2）把代入求出k，再解一元二次方程即可得到另一根．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，即，∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：把代入得：，解得，∴原方程为，∴，∴，∴方程的另一个根为3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．21.如图，在ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝时，四边形AECF为正方形．【答案】（1）见解析；（2）3或4．【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定；（2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，则∠AEB＝90°，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，在Rt△ABE中，，∴，解得，，∴AC＝或，故答案为：3或4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定以及勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．22.在平行四边形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在上找出一点，使点是的中点；（2）如图2，上找出一点，使点．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接和，它们的交点为，延长并延长交于，则点为所作；（2）连接交于点，则点为所作．【小问1详解】解∶如图1，点就是所求作的点∶【小问2详解】解：如图2，点就是所求作的点∶【点睛】本题考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．23.某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．（1）若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元；（2）如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？【答案】（1）50；1500（2）20元【解析】【分析】（1）根据题意玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件，则降价10元，销量为件，根据销量乘以单件的利润求得获利；（2）设玩偶的单价降价元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：依题意，某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为件，当天可获利元；故答案为：50；1500．【小问2详解】解：设玩偶的单价降价元，根据题意，得，解得：，∵尽快减少库存，∴，答：玩偶的单价应降20元．【点睛】本题考查了一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．24.阅读理解：如图1，在线段上有一点P，若与相似，则称点P为与的“似联点”．例如：如图2，，，则点为与的两个“似联点”．如图3，矩形中，，，点E是边上一定点，且．（1）当时，线段上存在点P为与的“似联点”，则_______；（2）当时，线段上与的“似联点”P有______个，请说明理由；（3）随着的变化，线段上与的“似联点”P的个数有哪些变化？请直接写出相对应的m的值或取值范围．【答案】（1）1或3（2）3（3）当且，线段上与的“似联点”P有3个；当和时，线段上与的“似联点”P有2个；当时，线段上与的“似联点”P有1个.【解析】【分析】（1）分两种情形，分别构建方程即可解决问题；（2）利用对称性及辅助圆解决问题即可；（3）根据辅助圆与线段的交点个数分类讨论即可解决问题．【小问1详解】解：∵矩形中，，，∴，，，若，则，，则，要使，需，即，解得或3；要使，需，即，解得；综上所述的长度为1或3；故答案为：1或3；【小问2详解】解：时，线段上与的“似联点”P有3个，理由如下：作点D关于的对称点，连接，交于点；连接，以为直径作圆交于点，如图：∵矩形中，，，∴，，，∴，即是线段上与的“似联点”；∵点D关于的对称点，

∴，∵是圆的直径，∴，∴，

又，

∴，即是线段上与的“似联点”；同理可证是线段上与的“似联点”；综上所述，线段上与的“似联点”P有3个；故答案为：3；【小问3详解】解：当且，线段上与的“似联点”P有3个；当时，线段上与的“似联点