第10章-10.1.1-两角和与差的余弦-课件

10.1.1两角和与差的余弦第十章10.1两角和与差的三角函数

1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式

的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值.学习目标内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一两角差的余弦cos(α－β)＝

.(C(α－β))cos

αcos

β＋sin

αsin

β知识梳理知识点二两角和的余弦cos(α＋β)＝

.(C(α＋β))特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体.(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式.cos

αcos

β－sin

αsin

β知识梳理1.任意角α，β，均有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)2.任意角α，β，均有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×√知识梳理2题型探究PARTTWO一、给角求值例1

计算：(1)cos(－15°)；解方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°题型探究(2)cos105°；解cos105°＝－cos75°＝－cos(45°＋30°)＝－(cos45°cos30°－sin45°sin30°)解原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.(3)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.题型探究对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则.如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式.反思感悟跟踪训练1

cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是√解析cos80°cos35°＋sin80°cos55°＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°题型探究二、给值求值题型探究∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ题型探究延伸探究题型探究∴0＜α－β＜π.题型探究∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)题型探究(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角.(2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，反思感悟题型探究所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)题型探究三、给值求角题型探究由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)题型探究题型探究求解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.反思感悟所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ题型探究3随堂演练PARTTHREE1.cos75°的值是

.12345随堂演练123452.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝

.解析a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°随堂演练12345随堂演练12345随堂演练12345解析由两角和与差的余弦公式得，随堂演练1.知识清单：(1)两角和与差的余弦公式.(2)已知三角函数值求值和求角.2.方法归纳：换元法、转化与化归.3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错.课堂小结4课时对点练PARTFOUR1.cos165°等于√解析cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°12345678910111213141516基础巩固2.cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为√12345678910111213141516解析原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)基础巩固解析由向量平行可得sinαsinβ－cosαcosβ＝0，12345678910111213141516√基础巩固√12345678910111213141516基础巩固12345678910111213141516基础巩固√12345678910111213141516基础巩固123456789101112131415166.计算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值为

.解析sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°基础巩固12345678910111213141516基础巩固123456789101112131415168.已知cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则sinβ＝

.解析∵cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝cos[(α－β)－α]＝m，即cosβ＝m.又∵β为第三象限角，基础巩固123456789101112131415169.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.基础巩固12345678910111213141516(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα基础巩固12345678910111213141516基础巩固所以cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)12345678910111213141516基础巩固√12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516∴A为锐角.∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB综合运用12345678910111213141516√综合运用12345678910111213141516综合运用13.设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA，2sinA)，b＝(3cosB,3sinB).若a，b的夹角的弧度数为

，则A－B＝

.＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B).12345678910111213141516综合运用123456789101112131415162综合运用15.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是

.解析sinα＋sinβ＝－sinγ，

①cosα＋cosβ＝－cosγ，

②①2＋②2得，2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，12345678910111213141516拓广探究1234567