2024-2025学年高中数学第一章三角函数课时作业51.4.34单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式含解析北师大版必修4

课时作业5单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2015π,3)))的值为(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2015π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(336×2π－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).2．函数f(x)＝eq\f(3,sinx＋2)的值域为(D)A．(1,3) B．(1,3]C．[1,3) D．[1,3]解析：∵sinx∈[－1,1]，∴sinx＋2∈[1,3]，∴函数f(x)＝eq\f(3,sinx＋2)的值域为[1,3]，故选D.3．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)＝(C)A．1 B.eq\f(1,2)C．0 D．－1解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)－2sineq\f(π,3)＋3sineq\f(π,3)＝0.4．已知sin(eq\f(5π,2)＋α)＝eq\f(1,5)，那么cosα＝(C)A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：本题考查诱导公式，由sin(eq\f(5π,2)＋α)＝cosα＝eq\f(1,5)，知选C.5．若角α的终边经过点P(sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为(D)A．10° B．80°C．－10° D．－80°解析：由三角函数的定义可知cosα＝sin10°＝cos(10°－90°)，sinα＝－cos10°＝sin(10°－90°)，所以可得α的可能取值为－80°.6．已知sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，则sin(α＋eq\f(7π,6))的值是(C)A．－eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(3),5)C．－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)解析：sin(α＋eq\f(7,6)π)＝sin(π＋eq\f(π,6)＋α)＝－sin(eq\f(π,6)＋α)＝－eq\f(4,5).7．函数y＝sinx，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]的最大值和最小值分别是(C)A．1，－1 B．1，eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2) D．1，eq\f(1,2)解析：函数y＝sinx在区间[eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]上是增加的，故最大值是sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，最小值是sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).8．sin(π－2)－cos(eq\f(π,2)－2)化简的结果为(A)A．0 B．1C．2sin2 D．－2sin2解析：原式＝sin2－sin2＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)9．若P(－4,3)是角α终边上一点，则eq\f(cosα－3π·sin－α,sin2π－α)＝－eq\f(4,3).解析：射线OP与单位圆的交点为(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))，∴sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，原式＝eq\f(－cosα·－sinα,sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)＝－eq\f(4,3).10．若函数f(x)＝Acosx(A>0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上的最小值为eq\r(2)，则A＝2eq\r(2).解析：区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))内的角如图阴影所示．由图知y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上的最小值为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，于是eq\f(A,2)＝eq\r(2)，即A＝2eq\r(2).11．若f(sinx)＝2cosx，则f(cos30°)＝1.解析：f(cos30°)＝f(sin60°)＝2cos60°＝1.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)求证：eq\f(cos10π＋αsinα,sin－α－2πcos－π－αcosπ＋α)＝－eq\f(1,cosα).证明：左边＝eq\f(cosαsinα,－sinα＋2πcosπ＋α－cosα)＝eq\f(cosαsinα,－sinα－cosα－cosα)＝－eq\f(1,cosα)＝右边，所以原等式成立．13．(13分)化简：eq\f(cos3π＋αcos\f(3π,2)＋αsin－α,sin－π＋αsin3π－αcos－π－α).解：原式＝eq\f(cosπ＋αcosπ＋\f(π,2)＋α－sinα,[－sinπ－α]sinπ－αcos[－π＋α])＝eq\f(－cosα[－cos\f(π,2)＋α]－sinα,－sinαsinα－cosα)＝eq\f(－cosα[－－sinα]－sinα,－sinαsinα－cosα)＝1.——实力提升类——14．(5分)已知函数f(x)＝asin(πx＋φ)＋bcos(πx＋θ)(其中a，b，φ，θ都是非零常数)，且f(2018)＝1，则f(2019)的值为－1.解析：∵f(2018)＝asin(2018π＋φ)＋bcos(2018π＋θ)＝asinφ＋bcosθ，又f(2018)＝1，∴asinφ＋bcosθ＝1.∴f(2019)＝asin(2019π＋φ)＋bcos(2019π＋θ)＝asin(π＋φ)＋bcos(π＋θ)＝－asinφ－bcosθ＝－1.15．(15分)在△ABC中，sineq\f(A＋B－C,2)＝sineq\f(A－B＋C,2)，试推断△ABC的形态．解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A