2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE2.1.1等式的性质与方程的解集学习目标1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程,培育学生数学抽象实力;2.通过类比推理,驾驭等式推理的基本形式和规则,探究出解方程的核心方法,培育学生逻辑推理实力;3.通过求方程的解集,培育学生数学运算实力.自主预习1.感受等式的性质在现实世界中的体现.2.理解几个重要的恒等式.3.会用十字相乘法进行因式分解.4.理解一元一次方程以及一元二次方程的解集的求法.课堂探究一、等式的性质1.复习回顾我们已经学习过等式的性质:(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立;(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.2.尝试与发觉用符号语言和量词表示上述等式的性质:(1)假如a=b,则对随意c,都有a+c=b+c;(2)假如a=b,则对随意不为零的c,都有ac=bc.因为减去一个数等于加上这个数的相反数,除以一个数等于乘以这个数的倒数,因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”假如分别改为“减去”与“除以”,结论仍成立.二、恒等式1.尝试与发觉补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:(5)a2-b2=(平方差公式);

(6)(x+y)2=(两数和的平方公式);

(7)3x-6=0;(8)(a+b)c=ac+bc;(5)m(m-1)=0;(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).2.感受新知(1)从量词的角度来对以上6个等式进行分类:对随意实数都成立的等式有:.

只是存在实数使其成立的等式有:.

(2)一般地,含有字母的等式,假如其中的字母取随意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.(3)恒等式是进行代数变形的依据之一.例如,因为(x+y)2=x2+2xy+y2对随意x,y都成立,所以可用其他代数式去替换其中的x,y,等式仍旧会成立,若用-z替换其中的y,则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2,由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.3.经典例题例1化简(2x+1)2-(x-1)2.4.课堂练习(2)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);(3)(a2+4)2反思感悟分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;(4)十字相乘法.下面我们介绍另外一个常常会用到的恒等式:对随意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.这个恒等式的证明,只需将左边绽开然后合并同类项即可.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,假如能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了便利记忆,已知C和D,找寻满意条件的a和b的过程,通常用如图来表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.例如,对于式子x2+5x+6来说,因为2×3=6且2+3=5,所以x2+5x+6=.

练习:用十字相乘法分解因式:(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.【尝试与发觉】证明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.上述恒等式的证明,也只需将左边绽开然后合并同类项即可.据此也可进行因式分解.例如,对于3x2+11x+10来说,因为1×3=3,2×5=10,1×5+3×2=11,如图所示,所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).三、方程的解集1.思索:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?2.新课讲授方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程全部解组成的集合称为这个方程的解集.利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,可以得到一些方程的解集.3.做一做:求方程x2+3x+2=0的解集.4.想一想:一元二次方程的解集中肯定有两个元素吗?5.经典例题例2求方程x2-5x+6=0的解集.例2说明,假如一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0的形式,那么就能便利得出原方程的解集.例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.【尝试与发觉】能干脆在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=2a吗?为什么课堂练习1.设集合A={1,2,3},B={x|3x2-4mx+1=0},若A∩B={1},则m=()A.1 B.-12 C.12 D2.下列运用等式的性质进行的变形中,正确的是()A.假如a=b,那么a+c=b-cB.假如ac=bc,C.假如a=b,那么ac=D.假如a2=3a,那么a=33.关于x的方程x2+px-2=0的解是1和q,则p=,p+q的值为.

核心素养专练1.已知U={2,1,0},M={x∈R|x2-2x=0},则∁UM=()A.{0} B.{1,2} C.{1} D.{1,0,2}2.下列因式分解,错误的是()A.x2+7x+10=(x+2)(x+5)B.x2-2x-8=(x-4)(x+2)C.y2-7y+12=(y-3)(y-4)D.y2+7y-18=(y-9)(y+2)3.(多选题)下列说法正确的有()A.方程2x2-x-1=0的解集是{1,2}B.方程-6x2-x+2=0的解集是-C.若方程ax2+8ax+21=0的解集是{-7,-1},那么a的值是3D.假如集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一个元素,则a的值是-14.已知集合A={-1,2},B={x|ax=1},若B⊆A,则由实数a的全部可能的取值组成的集合为.

5.若集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2+2(a+1)x+2a2-2=0},则当a=1时,A∩B=;若A∩B=B,则实数a的取值范围是.

6.将下列各式因式分解:(1)x2+3x+2;(2)2x2-7x+3;(3)10(x+2)2-29(x+2)+10.7.已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-2,3},A∩B={-2},求a,b,c的值.参考答案课堂探究略课堂练习1.A2.B3.1-1核心素养专练1.C2.D3.BC4.05.{-4}a≥3或a<-16.(1)(x+1)(x+2)(2)(x-3)(2x-1)(3)(2x-1)(5x+8)7.解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,即(-2)2+(-2)a-6=0,解得a=-1.∴A={-2,3}.∵A∪B={-2,3},A∩B={-2},且A≠B,∴B={-2}.∴(-2)2+b(-2)+c=0,Δ=b2-4c=0,解得b=c=4.综上,a=-1,b=c=4.学习目标1.理解等式的性质,能用等式的性质解方程;2.驾驭常见的代数恒等式,并能用恒等式进行化简求值、十字相乘法分解因式;3.理解方程的解集的含义,会求一元一次方程及一元二次方程的解集.自主预习1.等式的性质问题1:你能写出已经学习过的等式的性质并用符号语言和量词表示吗?2.恒等式问题2:你能完成下方的“尝试与发觉”,写出你的分类标准吗?尝试与发觉补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:(1)a2-b2=(平方差公式);

(2)(x+y)2=(两数和的平方公式);

(3)3x-6=0;(4)(a+b)c=ac+bc;(5)m(m-1)=0;(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).问题3:什么叫恒等式?证明恒等式:对随意的x,a,b都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.怎样利用这个恒等式进行分解因式?3.方程的解集问题4:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?(3)什么叫做方程的解集?课堂探究一、等式的性质探究一:(1)假如a+c=b+c,肯定有a=b吗?(2)假如ac=bc,肯定有a=b吗?二、恒等式例1化简(2x+1)2-(x-1)2.(几种方法)跟踪训练1:化简下列各式(1)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);(3)(a2+4)2探究二:(1)给定式子x2+Cx+D,怎样找到a,b,使得x2+Cx+D=(x+a)(x+b)?练习:分解因式(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.(2)【尝试与发觉】证明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.跟踪训练2:分解因式:(1)15x2-23x+8;(2)mx2+(m2+m+1)x+m2+m.三、方程的解集例2求方程x2-5x+6=0的解集.跟踪训练3:求下列方程的解集(1)x2-4x+4=0;(2)x2+6x+8=0.思索与探讨:一元二次方程的解集中肯定有两个元素吗?例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.【尝试与发觉】能干脆在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=2a吗?为什么归纳总结:含参数的一元一次方程ax=b的解的状况.核心素养专练【合格基础练】1.依据等式的性质,下列结论正确的是()A.若xa=ya,B.若x=y,则xa=C.若x+a=y-a,则x=yD.若x=y,则ax=by2.(多选题)假如x=y,a为有理数,那么下列等式肯定成立的是()A.1-y=1-x B.x2=y2C.xa=yD.ax=ay3.我市某楼盘打算以每平方米15000元的均价对外销售,有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调,最终以每平方米12150元的均价销售,则平均每次下调的百分率是()A.8% B.9% C.10% D.11%4.若m2-5m-6=(m+a)(m+b),则a,b的值为.

5.把下列各式分解因式:(1)x2+5x-6;(2)(x+y)2-4y(x+y);(3)x4+11x2-12; (4)x2-6xy+8y2.6.求关于x的方程ax=x-1的解集,其中a是常数.【等级过关练】7.(多选题)已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则a的值可能是()A.0 B.1 C.2 D.38.把下列各式分解因式:(1)4x2-14xy-18y2;(2)7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y);(3)x3-4xy2-2x2y+8y3;(4)x2-4mx-8mn-4n2.9.已知a+b=23,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值10.已知关于x的方程x-3-2x2=1-x+2a6与2x+a参考答案自主预习略课堂探究略核心素养专练【合格基础练】1.A2.ABD3.C4.a=-6,b=1或a=1,b=-65.(1)(x+6)(x-1)(2)(x+y)(x-3y)(3)(x2+12)(x+1)(x-1)(4)(x-2y)(x-4y)6.解:原方程化为(a-1)x=-1,当a=1时,无解,∴解集为⌀;当a≠1时,x=-1a-1=11【等级过关练】7