江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(解析)

高中数学精编资源~2023学年第二学期期中试卷高一数学2023.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部是（）A3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数及复数的概念判断即可.【详解】因为，所以，所以的虚部是.

故选：A2.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定义即可得出答案.【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为:.故选：B.3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（）A.8 B. C.8或 D.6【答案】A【解析】【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果.【详解】，，又，，.故选：A.4.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．5.在中，若，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】因为，由可得：，即，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以的形状为等腰三角形或直角三角形，故选：D.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．【详解】因为，所以，故选：D7.在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，，记，则.因为，所以，从而，所以可化为，即，恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选：A．【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，属于较难题.8.若，，平面内一点，满足，的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得，设，则，然后，即可得出的最大值.【详解】

由，可得因为，所以，即是角平分线所以由角平分线的性质可得设，则，由可得因为当且仅当，即时等号成立，即的最小值为所以的最大值是故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则【答案】AD【解析】【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.【详解】对于选项A：由向量共线定理知选项A正确；对于选项B：，若与的夹角为锐角，则解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，故选项C不正确；对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.故选：AD【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况.两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（）A.对应的点位于第二象限 B.为纯虚数C.的模长等于 D.的共轭复数为【答案】ABC【解析】【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.【详解】对于A：，在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；对于B：，为纯虚数，故B正确；对于C：，所以，故C正确；对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.故选：ABC.11.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）A.在上是减函数B.由可得是的整数倍C.是奇函数D.函数在区间上有个零点【答案】AC【解析】【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.【详解】由题意知，对于A.当时，，因为在上单调递减，所以在上是减函数，A正确对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误对于C.由题意，得，故奇函数，C正确对于D.由，可得.当时，，令或，则或，因此在上有两个零点，而含有个周期，因此在区间上有个零点，D错误.故选：AC.12.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（）A.为的垂心 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用数量积的运算律可整理得到，同理，，知A正确；推导得到，由此可证得B正确；由数量积的定义和B的结论可求得，同理得，，作比可得到结果，知C错误；利用三角形面积公式和B的结论表示出，同理得到，作比后代入C中推导的结论可得，由此证得D正确.【详解】对于A，，，即，同理可证得：，，是的垂心，A正确；对于B，延长交于两点，由A可知：，，，，，又，，B正确；对于C，由B可得：，同理可得：，，，，C错误；对于D，由B可得：，同理可得：，，，由C可得：，又，，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若虚数单位，，则___________.【答案】##【解析】【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可.【详解】化简原式，可得，所以，所以.故答案为：14.已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______.【答案】【解析】【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算.【详解】依题意有，即，由条件知，，；故答案为：.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．【答案】【解析】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：.16.如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________．【答案】①.20②.【解析】【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值.利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围.【详解】由余弦定理，，由于，所以.设是中点，则共线，如图，，.，.因为的最大值为，所以的最大值为.，其中，即，所以，故.即的取值范围是.故答案为：；【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.【详解】解：（1）设，由题意每，解得，，∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.（2），由题意得，解得18.已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.（1）求实数，的值；（2）设的重心为，且，求的值.【答案】（1），或.（2）【解析】【分析】（１）依据题设运用向量的垂直与平行建立方程组求解；（２）借助题设及向量的数量积公式分析求解：【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，又，，所以，①因为，所以，即，②由①、②解得，或.（2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点，所以，.所以，，因此.19.已知向量，，且函数.（1）若，且，求的值；（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；（2）先求出的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．【详解】（1）由条件可得：；；．因为，，．（2）函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得，再将所得图像向左平移个单位，得；当时，．当时，；当时，，所以函数在的值域是．【点睛】本题考查数量积运算性质、三角函数的性质及图像变换，考查逻辑推理能力与运算求解能力，求函数的值域时注意整体思想的运用．20.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.（1）求，，，的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.【解析】【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．【详解】解：（1）由题知，得，由题意得，，.（2）由，得，所以，即，当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，所以，，所以的最大值为.21.在三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.在中，角的对边分别为，为的面积，且选条件：（1）求（2）作使得四边形满足，，求的取值范围.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据所选条件，采用正余弦定理或者三角形面积公式一一计算即可（2）设，根据题意，利用正弦定理将表示成关于的代数表达式，通过表达式的值域从而确定的取值范围【小问1详解】选①：，由正弦定理可得：，整理得：即，选②：，由正弦定理可得：，整理得：即，选③：，，综上，无论选择哪个条件，【小问2详解】设，则在中，由正弦定理得可得在中，由正弦定理得可得，当时，即，可得当时，即，可得的取值范围是22.对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．（1）