2024年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）（附答案解析）

2024年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)(2024•长安区一模)设集合4={-1,2°,eln2,蜉},B={1,2,Ine3,华},

则AUB的子集个数为（）

A.8B.16C.32D.64

2.(5分)(2024•长安区一模)"(x-1)2+/W4”是“7+加1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

cos55o+sin25°sin30°

3.（5分）（2024•长安区一模）------------：------=()

cos25°

1B.WcY

A.-D.1

222

4.（5分）（2024•长安区一模）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代

的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展

示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位…，上面的一

粒珠子（简称上珠）代表5,下面的一粒珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等同

于一粒上珠的大小例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下

珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机

拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（）

个

位

，一上珠

梁一

一框

挡iffiiffiiffi

17

下珠图一图二

A.57种B.58种C.59种D.6()种

5.（5分）（2024•长安区一模）在△ABC中，点。是线段4c上一点，点P是线段上一

点，且而=易，AP=1AB+AAC,则入=（）

1125

A.-B.-C.一D.-

6336

6.（5分）（2024•长安区一模）已知圆C：（x-2）2+（v-1）2=2,直线/：c^x-b2y-1=

0,若圆C上任意一点关于直线/的对称点仍在圆。上，则点（〃，%）必在（）

A.一个离心率为三的椭圆上

B.一个离心率为2的双曲线上

C.一-个离心率为/的椭圆上

D.一个离心率为百的双曲线上

7.（5分）（2024•长安区一模）。一：一2）5的展开式中』的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

8.（5分）（2024•长安区一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝

时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不

知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关

的问题:被3除余2目被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛〃〃｝,

2Sn+60

记数列｛〃〃｝的前〃项和为s“，则------的最小值为：）

n

A.60B.61C.75D.76

9.（5分）（2024•长安区一模）设P为抛物线C：）2=4/上的动点，A（2,6）关于P的对

称点为8,记P到直线x=-1/=-4的距离分别大,d2,则力+&+H用的最小值为（）

A.V33+2B.2V33+2C.V37+3D.2后+3

2sE等X,<X<2

5

10.（5分）（2024•长安区一模）已知函数/（%）=，q，若存在实数

小。兔（无一DI，x>^

XI»X2,.V3，X4(X1<X2<A-3<X4)满足f<XI)—f(A2)—f(X3)—f<X4)—Hl,则错误

的是（）

X

A.%3+l>6B.+x2=­y

C.xw-X3-X4=OD.0<.T?<2

11.（5分）（2024•长安区一模）已知函数/（x）=2sin,v^-sin2x,关于/（x）有下面说法：①

函数/（x）的最小正周期为如.②函数/（%）在［一左，身单调递减.③函数的图

像关于点（m0）对称.④函数/（x）的最小值是-竽.则正确的个数为（

)

A.IB.2C.3D.4

12.（5分）（2024•长安区一模）如图，在校长为2的正方体中，E、F、

G、M、N均为所在棱的口点，动点尸在正方体表面运动:则下列结论中正确的个数为（）

①当点尸为BC中点时，平面平面GMN

②异面直线£/、GN所成角的余弦值为:

4

③点E、F、G、M、N在同一个球面上

TTTTy[5

④若&P=tAA+41M-则P点轨迹长度为一

x2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

8%—y—4<0

13.（5分）（2024•长安区一模）若x,、，满足约束条件z+y+4N0,则目标函数2=1・

（y-2<0

2y的最小值为.

14.（5分）（2024•长安区一模）已知z=x+yi,%,yWR,i是虚数单位，若复数+i是实

'l-i

数，则|z|的最小值为.

15.（5分）（2024•长安区一模）某网店统计了A商品最近40天的口销出量，口销售量依次

构成数列｛的｝,已知m=10,且“〃+|-““=1+（-1）”（〃6N+）,则4商品这40天的总

销量为.

16.（5分）（2024•长安区一模）若不等式M-1+4）机-2恒成立，则实数〃的取值范围

为.

三、解答题：本题共5小题，共70分。答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）（2024•长安区一模）某公司有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6,15,

21,员工A隶属于甲部门.在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病

随机抽取一人血检呈任性的概率为右且每个人血检是否呈阳性相互独立.

（1）现采用分层抽样的方法从中抽取14人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的

员工中分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率；

（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈

阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一

人呈阳性，再逐个化验.X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期

望.

18.（12分）（2024•长安区一模）△43C的内角A,B,。的对边分别为小b,c,设旧加^以

=a（2+cosB）.

（1）求以

（2）若AABC的面积等于VI,求△ABC的周长的最小值.

19.（12分）（2024•长安区一模）如图，在三棱锥P・A6c中，侧面以。是边长为1的止三

角形，BC=2,AB=V5,E,尸分别为PC,PB的中点，平面AE/与底面A8C的交线为

/.

（1）证明：/〃平面PBC；

（2）若三棱锥尸的体积为£,试问在直线/上是否存在点Q,使得直线PQ与平

面AEb所成的角为a,异面直线PQ与即所成的角为B，且满足a+B=$若存在，求

出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由.

A

20.（12分）（2024•长安区一模）已知椭圆C：务群l（a>b>0）的短轴长等于焦距，且

过点（2,1）.

（I）求椭圆C的方程；

（2）P为直线y=2遮上一动点，记椭圆C的上下顶点为A,B,直线附，P〃分别交椭

3

圆C于点M,N,当△PMN与△以B的面积之比为一时，求直线MN的斜率.

4

21.(12分)(2024•长安区一模)已知函数/(x)=ln(2A--1)-2a.x+2a+i,«GR.

(1)若函数/G)的图像在(1,/(I))处的切线与直线x+y+l=0垂直，求。的值并

求函数/(x)的极值：

(2)若/(#Vl+a恒成立，求证：对任意正整数都有E建1(^lnk)<n(〃+1).

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目,如果多做，则按所

做的笫一个题目计分.［选修4・4：坐标系与参数方程产

22.(10分)(2024•长安区一模)平面直角坐标系g中，曲线。的参数方程为蓝吃

(6为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极

坐标方程为〃=4cos(0-j).

(1)写出曲线。的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)曲线。与Q交干A.B两点.求百线人/?的极坐标方程及|4州.

［选修4・5：不等式选讲了

23.(2024•长安区一模)已知函数/(K)=|av+2|+|-av4-l|.

(1)若。=1,求/(x)>5的解集；

(2)若关于x的不等式/'(%)〈总有解，求实数m的取值范围.

2024年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）（2024•长安区一模）设集合4={-1,2%eln2,”},B={1,2,Ine3,挈},

则4U8的子集个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【考点】子集与真子集；并集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】先求出集合4,B,进而求出4UB,再利用集合的子集个数公式求解.

【解答】解：集合A=-1,2°,小2,等}={・1,1,2,学},B={\,2,Ine3,早}=

ln2

{1,2,3,---},

2

〜,也2

所以AUB={-1,1,2,3,—）,

所以AU8的子集个数为25=32.

故选：C.

【点评】本题主要考了对数的运算性质，考杳了集合的并集运算，以及集合的子集个数

公式，属于基础题.

2.（5分）（2024•长安区一模）“（x-1）2+『W4”是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】B

【分析】判断出两圆的位置关系，即可求解.

【解答］解：圆内切于圆（x-1）

故"a-1）2+/W4”是的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

cos55Q+sin25°sin3Q°

3.（5分）（2024•长安区一模）)

cos250

1V2cY

A.-B.一D.I

22

【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值：数学运算.

【答案】C

【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解.

皈（30。+25。）+为也25。_竽的25。-泡25。+泡25。_百

【解答】解:原式=

cos25°-cos2S0一~2"

故选:C.

【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

4.（5分）（2024•长安区一模）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代

的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展

示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位…，上面的一

粒珠子（简称上珠）代表5,下面的一粒珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等同

于一粒上珠的大小例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下

珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机

拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（）

个

位

L上珠

梁一

一框

挡一khHiih

17

卜珠图一图二

A.57种B.58种C.59种D.60种

【考点】排列、组合及简单计数问题.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】A

【分析】利用间接法，结合排列组合知识求解.

【解答】解：将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子

至梁上，所有可能得情况有26=64种，

其中不符合条件的有含有5个5,有瑶=6种；含有6个5,有/=1种，

所以至多含4个5的情况有64-6-1=57种.

故选:A.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

5.（5分）（2024•长安区一模）在△ABC中，点。是线段4c上一点，点尸是线段BZ）上一

点，且=AP=1AB+AAC,则入=（）

1125

A.-B.-C.-D.-

6336

【考点】平面向量的基本定理.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】由已知结合向量的线性运算及向量共线定理即可求解.

【解答】解：在△A3C中，点。是线段AC上一点，点P是线段BD上.一点、,且2）=/，

AP=1AB+AACt

则”=孤+2疝），

因为8,P,。三点共线，

21

所以一+24=1,即入=工.

36

故选：A.

B------------------C

【点评】本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题.

6.（5分）（2024•长安区一模）已知圆C：（x-2）2+（v-I）2=2,直线/：c?x-b2y-1=

0,若圆C上任意一点关于直线/的对称点仍在圆。上，则点（a,b）必在（)

A.一个离心率为三的椭圆上

B.一个离心率为2的双曲线上

c.一个离心率为学的椭圆上

D.一个离心率为旧的双曲线上

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】整体思想；综合法：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】由题知直线/：crx-lry-1=0经过圆心（2,1）,然后结合双曲线的性质即可

求解.

【解答】解：由题知直线/：c^x-lry-1=0经过圆心（2,1）,得2〃2・庐=1,

a2b2

即一j------=1,

-1

2

故点（小b）在一个离心率为力的双曲线上.

故选：D.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，双曲线的方程及性质的应用，属于基础

题.

7.（5分）（2024•长安区一模）（%-9-2）5的展开式中』的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】B

【分析】利用二项式定理直接求解.

【解答】解：方法1：（r-i-2）5的展开式中X2的项为鬣.或.（—2）3+《“3•6•

（-i）-（-2）=-80?+40?=-40?,

所以--2）5的展开式中?的系数为-40；

方法2：（x-i-2）5=|（x-i）-2]5的展开式的通项为％i=C!a—3"rY—2）r（r

=0,1,2,3,4,5),

srk

当0«5,时，（x-1）5F的展开式的通项为7A-+I=C^_rx---（-^=C^_r-

（一1）文・炉-12比，

令5-r3=2,得忆:或［蓝，

所以（3-：一2）5的展开式中X2的系数为废・屐,（一1）x（一2）1+磨•0•（-1）°X

人

（-2）3=40+（-80）=-40.

故选：B.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

8.（5分）（2024•长安区一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝

时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不

知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关

的问题：被3除余2日福S除余3的F整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列｛〃”｝.

2S„+60

记数列｛.｝的前〃项和为则」一的最小值为：）

71

A.60B.61C.75D.76

【考点】数列的求和.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】B

【分析】由题意可知，被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的

数列是一个首项为8,公差为15的等差数列｛〃”｝,进而求出S〃，再利用基本不等式求解

即可.

【解答】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一

个首项为8,公差为15的等差数列伍〃｝,

则S〃=8n+Dx15=学"2+1n,

「一，，2Sn+6015n2+n+6060,4

所以-------=------------=15/1+—+1=15（/?+-）+1,

nn八九

因为〃2n=4,当且仅当〃=：,即〃=2时，，等号成立，

nynn

2Sn+60

所以当〃=2时，———取得最小值15X4+1=61.

n

故选：B.

【点评】本题主要考查了等差数列的前八项和公式，考查了基本不等式的应用，属于中

档题.

9.（5分）（2024•长安区一模）设P为抛物线C：丁=41上的动点，4（2,6）关于夕的对

称点为8,记尸到直线K=-l,x=-4的距离分别di,d2,则di+d2+|AB|的最小值为（）

A.V33+2B.2V33+2C.阴+3D.2737+3

【考点】抛物线的性质.

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意得到小+曲+依阴=24+3+2|以|=2（力+|必|）+3,再利用抛物线的定义

结合三角不等式求解.

【解答】解：如图,

因为力=4+3,且4(2,6)关于P的对称点为4,

所以|附=|PB|,抛物线焦点尸(1,0),

所以d\+dz+\AB\=2d\+3+2|M|=2(Ji+|M|)+3=2(\PF\¥\PA\)+3>2\AF\+3=27374-3,

当P在线段Af上时，di+d2+|48|取得最小值，且最小值为2V57+3.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属丁•中档题.

r.27r15〜

2sin-^-x,-T-X-4

10.（5分）（2024•长安区一模）已知函数/（%）=■，若存在实数

|Zo52(x-1)|,x>|

XI,X2,X3,X4(XI〈X2Vx3Vx4)满足f(XI)=f(A2)=f(X3)=f(.14)="1,则错误

的是（）

A.xf4->6B.%i+%2=-

C.xyx4-x3-X4=OD.0<.,??<2

【考点】分段函数的应用.

【专题】函数思想：转化思想：数形结合法：综合法：函数的性质及应用：三角函数的

图象与性质；直观想象；数学运算.

【答案】A

【分析】作出函数y=/（x）的图象，由题意可得），=，〃与），=/（、）有4个不同交点.，由

图象可得加的范围,即可判断。;

由正弦函数的性质可得可与X2关于一,对称，即可判断B；

山|10g2（X3-1）I=|log2（X4-1）|>可得10g2［（A3-1）（X4-1）1=0,（X3-1）（必-1）

=1,即可判断C；

结合基本不等式及C选项，即可判断人

【解答】解：作出函数的图象，如图所示：

因为存在实数XI,X2,X3，X4（XIVx2V.i3Vx4）满足/（XI）=f（X2）=f（X3）=f（X4）

=〃?，

即y=m与y=f（x）有4个不同交点，

由图象可知0V〃?<2,故。正确；

且XI与X2关于X=一3对称，

所以月+e-宗故8正确;

又因为|log2（X3-1）|=|log2（g・1）|,

所以-Iog2（X3-1）=log2（X4~1）»

即10g2（X3-1）+log2（X4~1）=log2l（X3~1）（.V4-1）]=0»

所以(X3-I)(.V4-I)=1,

所以4314-(X3+X4)+1=1,

所以A3X4-X3-X4=0,故C正确；

因为X3X4-X3-X4=0»

所以X3J14=X3+X4，

5

由图象可得一<X3<2<X4,

4

所以X3X4=X3+X4>2yjx3X4,

所以/工3工4>2,X3X4>4,

所以溜+%4>2工3%4>8,故A错误.

故选：A.

【点评】本题考查了正弦函数、对数函数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，作

出图象是关键，属于中档题.

11.(5分)(2024•长安区一模)已知函数/(x)=2sinx+sin2r,关于/(x)有下面说法：①

函数/(x)的最小正周期为如.②函数/(工)在［一左，身单调递减.③函数/(.r)的图

像关于点(m0)对称.④函数/Cr)的最小值是一岁.则正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【考点】正弦函数的图象：正弦函数的单调性：正弦函数的奇偶性和对称性.

【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】C

【分析】由正弦函数的周期性可判断①，利用导数判断函数的单调性即可判断②，计算/

(X+2TT)+f(~x)=0即可判断③，由以上分析可得函数的最小值即可判断④，综合可

得答案.

【解答】解：对于①因为y=2sinx的最小正周期为2仁

y=sin2r的最小正周期为TT,

所以函数/(X)=2siiu+sin2A•的最小正周期为2n,故①正确；

对于②,f(x)=2cosx+2cos2x=2cos.r+4cos2x-2=2(2co&x-1)(cosx+1),

令/(x)=0,可得cosx=g或cosx=-1,

所以当％W[—界2m，l+2kn],蛇Z时，f（A-）20,函数J«）单调递增，

当xwg+2kTT,等+2攵初，依Z时，/（x）W0,函数/（x）单调递减，

因为响一左，月，所以在（一不少时，“X）单调递增，旌吟，多时，“X）单调

递减，故②错误；

对于③，因为/（X+2TT）+f（-x）=2sin（x+2n）+sin2（X+2TT）+2sin（-x）+sin（-2x）

=2sin.v+sin2v-2sin.r-sin2x=0,

所以函数/（x）的图像关于点（m0）对称，故③正确；

对于④，由以上分析可知,/（工）的最小值为/（T）=2sin（T）+sin2（-目）=一百一§=

OOO乙

—故④正确，

综上，正确的个数为3.

故选：C.

【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查导数的应用，考查运算求解能力，

属于中档题.

12.（5分）（2024•长安区一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AIBICIOI中，E、F、

G、M、N均为所在棱的口点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（）

①当点P为中点时，平面QErJ_平面GMN

②异面直线E”、GN所成角的余弦值为二

4

③点E、F、G、M、N在同一个球面上

TTTTV5

④若&P=tA,A+AXM-2t48i，则P点轨迹长度为

DMr

C23

D.

【考点】点、线、面叵的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角.

【专题】转化思想：综合法：空间位置关系与距离：空间角：逻辑推理：数学运算.

【答案】。

【分析】根据正方体悭形特征证明面面垂直判断A选项，根据异面直线所成角判断8选

项，根据五点共圆判断。选项，根据轨迹求出长度判断。选项.

【解答】解：结论①,取AD中点Q,连接PQ,FQ,在棱长为2的正方体ABCD-A\B\C\D\

中，

E、F、G、M、N均为所在棱的中点，

易知GA/_LPQ,YFQ；/DD\,：,FQL^ABCD,

又GM在面ABC。内，AGM1FC，

,:FQ、PQu平面PQPQOFQ=Q,

・・・GM_L平面PQ尸，又PFu面PQF,:.GMIPF,

连接84,ABBiAi是正方形，GN1A1B,

,：FA\I平面A/MiBi.GNu平面4/MiAi.：,GNIA\F,

"iu平面P/加8,48匚平面尸/如8,A\BC\FA\=A\,

；・GALL平面。加18,PFA\B,:.GNLPF,

综上，GN,GMu平面GMN,又GMCGN=G,

所以P凡L平面GMM又PFu平面PEF,

故平面尸EF_L平面GMN,故①正确：

结论②，取人i8i中点r,进接ET,FT,贝ijE7〃GN,

:.NTEF是异面直线EF,GN所成的角，

又EF=FT=ET=&,则NTEF=/cos^TEF=1,故②错误；

结论③，记正方体的中心为点0,则|。国=\0F\=\0G\=\0M\=|0N|=V2,

故点E,F,G,M,N在以。为球心，以戈为半径的球面上，故③正确；

结论④，=tA^A+A^M-2tA^Blf七是4M的中点，

：.A^P-A^M=2tA^E-2tA^Blf故诂=2t或E,

••・P点轨迹是过点M与平行的线段MP',且|CP'|=$

・・.|MP'|二堂，故④正确；

综上，正确结论有①©④，共3个.

故选：D.

【点评】本题考查面面垂直的判定、异面直线所成角以及点、线、面的位置关系与距离，

属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

8x—y—4工0

13.（5分）（2024•长安区一模）若x,y满足约束条件”+y+4N0,则目标函数2=工-

y-2<0

2y的最小俏为-10.

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】-10.

【分析】作出可行域，结合图形找到最优解，即可得出答案.

【解答】解：作出可行域如下图所示，

由图形可知，平移直线z=x-2,v至过点A时，z取得最小值，且最小值为-6-4=-10.

故答案为：-10.

【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基

础题.

14.（5分）（2024•长安区一模）已知z=x+.yi,x,vWR，i是虚数单位，若复数—:+i是实

1—1

数，则团的最小值为V2.

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】计算题；方程思想：转化思想；综合法：数系的扩充和狂数：数学运算.

【答案】V2.

【分析】根据题意，求巴三十i的表达式，分析可得等+1=。，变形可得），=-（户2）,

即可得|ZF=『+/=2（.什1户+2,结合二次函数的性质分析|染的最小值，变形可得答案.

【解答】解：根据题意，z=x+yi,则+i=:+i=+i=

l-il-i（1一叭1+1）

（x-y）+（x+y）i,;

zx+V

若复数一+i是实数，则一一+1=0,变形可得x+y+2=0,则有y=-（x+2）,

l-l2

222

贝此［2=』+）2=（x+2）+.r=Zr4-4x+4=2（x+I）+2>2,当且仅当*=-1时等号成立,

则团的最小值为VL

故答案为：V2.

【点评】本题考查复数的计算，涉及复数模的计算，属于基础题.

15.（5分）（2024•长安区一模）某网店统计了A商品最近40天的日销售量，日销售量依次

构成数列{m},已知41=10,且〃"+I-“〃=1+（-1）〃（〃€N+）,则A商品这40天的总

销量为1160.

【考点】数列递推式.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；数

学运算.

【答案】1160.

【分析】根据递推关系式求得规律，进而求解结论.

【解答】解：当〃=2左-1时，a2k=a2k\,

当n=2k时，。261=。“+2,即aik+\=a2ki+2,

20x1Q

所以m+s+…+440=2(m+m+…+439)=2X(20X10+x2)=1160.

答案为：1160.

【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.

16.(5分)(2024•长安区一模)若不等式队L2恒成立，则实数〃的取值范围

为1-3,+8).

【考点】不等式恒成立的问题.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】［-3,+°°).

【分析】问题转化为a^x-xex+hix-2,设/(x)=x-xex+hix-2,x>0,利用导数求其

最大值，即可求得。的取值范围.

【解答】解：不等式可化为

设f(x)=x-xex+lnx-2,x>0；

则，(x)=\-ex-K设g(x)=1-ex-xex-px>0；

.,.g'(x)=-2/--妥<0恒成立，

1

工g(x)=l1在(0,+°°)上单调递减，

即/(x)在(0,+°°)上单调递减，

又当X-0时，，(X)一+8,当工一+8时，/(黑)--8,

工存在刈€(0,+8),使得/(X0)=0,

Xu

即1-e"u-xoe+J=0,整理得％oe*u=1,〃皿=-xo.

xo

且当在(0,刈)时，/(x)>0,当尤(xo,+8)时，/(x)<0,

x

**•fMmax=/(x0)=x0-xoe°+lnx0-2=A0-1-AO-2=-3.

则实数4的取值范围为［-3,+8).

故答案为：［-3,+8).

【点评】本题考查不等式恒成立问题，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，

是中档题.

三、解答题：本题共5小题，共70分。答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)(2024•长安区一模)某公司有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6,15,

21,员工A隶属于甲部门.在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病

随机抽取一人血检呈阳性的概率为g且每个人血检是否呈阳性相互独立.

(1)现采用分层抽样的方法从中抽取14人进行前期调杳，求从甲、乙、丙三个部门的

员工中分别抽取多少人，并求员工4被抽到的概率；

(2)将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈

阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一

人呈阳性，再逐个化验.X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期

望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】⑴

(2)X的分布列如下：

X258

p1749

643264

E（X）=等29

【分析】(1)由分层抽样知甲部门员工被抽取2人，而甲部门员工共6人，利用古典概

型公式即可求解；

(2)记''每组血样化验结果呈阴性”为事件B,则P(8)=(l-}3=.，由题X的所有

可能取值为2,5,8,然后求出每个取值对应的概率即可.

【解答】解：(1)由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为6：15：21=2：5：

7,

所以分层抽样抽取的14人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2人，5人，7人，

则P⑷量=点

(2)甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，

记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B,

MP(F)=(l-1)3=i,

所以X的所有可能取值为2,5,8,

1

则p(x=2)=(P⑻)2=卷

P(X=5)=C}P(SyP{B}=2X(1x|=1|=

P(X=8)=弓(P⑧)2=(1-1)2=普,

所以X的分布列如下:

X258

P1749

643264

所以数学期望E(X)=2x^+5x^+8x1|=^.

【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题.

18.(12分)(2024•长安区一模)zMBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设百加iM

=a(2+cosB).

(1)求仅

(2)若△A4C的面枳等于遮，求△ABC的周长的最小值.

【考点】解三角形；基本不等式及其应用.

【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先利用边角互化将75人必=。(2+cosB)转化为关于B的方程，求出N8.

(2)因为3已知，所以求面积的最小值即为求知的最小值，结合余弦定理和基本不等

式可以求得.

【解答】解：(1)因为V3加(2+cosB).

由正弦定理得BsiziBsM/l=sinA(2+cosS').

显然siM>0,所以gs/8-cosB=2.

所以2sin(B-^)=2,VB6(0,IT).

o

所以8—看二夕.・・8二等.

(2)依题意13a，=/.ac=4.

4

所以Q+c>2疝=4.当且仅当a=c=2时取等号.

又由余弦定理得序=浸+a-2accosB=a2+c2+«c3ac=12.*.b>2A/3.

当且仅当a=c=2时取等号.

所以△ABC的周长最小值为4+2V3.

【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、

直观想象等数学核心素养，属于中档题.

19.（12分）（2024•长安区一模）如图，在三棱锥P-A8c中，侧面布C是边长为1的正三

角形，BC=2,AB=6E,/分别为尸C,P8的中点，平面AE/与底面48c的交线为

I.

（1）证明：/〃平面PBC；

（2）若二棱锥--A4C的体积为空，试问在直线/上是否存在点Q,使得直线-Q与平

面AEF所成的角为a,异面直线PQ与EF所成的角为由且满足a+0=若存在，求

出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由.

【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；转化法；立体儿何；逻辑推理.

【答案】（1）证明详情见解答.

（2）这样的点Q存在，且有4。=：.

【分析】（1）由中位线定理可得E/〃BC,结合线面平行的判定定理E尸〃面4BC,进而

可得EF//I,即可得出答案.

（2）取AC的中点。，连接PQ,解得4。，PD,由（1）可知，在底面4BC内过点A

作8c的平行线，即平面AEF与底面ABC的交线/,推出AC_L