备考2024年新高考数学一轮复习专题107二项分布、超几何分布及正态分布含详解

专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布

三I题型目录

题型一两点分布

题型二超几何分布

题型三二项分布

题型四二项分布的概率最大问题

题型五一项分布与超几何分布的综合

题型六正态分布求概率

题型七正态分布的对称

题型八正态分布的实际应用

才典例集练

题型一两点分布

例1.随机变量X服从两点分布，且户(X=l)=0.2,令y=3X—2,则尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

例2.已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3-4尸(X=l),则随机变量X的方差为.

举一反三

2

练习1.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足P(X=0)=9p(；=])，且尸(X=0)<尸(X=l),则

E(X)=()

A-1B-?C-iD.：

练习2.某企业拟定4种改革方案,经统计它们在该企业的支持率分别为历=0.9,p2=0.75,0=0.3.p.,=0.2,

用“。=1”表示员工支持第i种方案，用'<=()''表示员工不支持第i种方案[=123,4),那么方差。«),。仁)，

。依30低）的大小关系为（）

A.。信）＜。4）＜。倡）＜。（当）

B.。仁）〈力侑）＜。（刍）＜。值）

C.。（〈）＜。右）＜。（。）＜。值）

D.。仔）＜。仁）＜力仁）＜。侑）

练习3.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=O）=；,则下列结论正确的是（）

A.P（X=1）=£（X）B.E（3X+2）=4

C.O（3X+2）=4D.O（X）=[

练习4.（多选）随机变量X服从两点分布，若尸（X=0）=《，则下列结论正确的有（）

3

A.P（X=1）=：B.O(X)=^

C.E（2X+1）=1D.O（2X+l）=j

练习5.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=0）=2/,P^x=\）=a,那么。=

题型二超几何分布

例3.（多选）某单位推出了10道有关二十大的测试卷供学习者学习和测试，乙能答对其中的6道题，规定每次测试

都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，则下列说法正

确的是（）

1Q

A.乙得40分的概率是高B.乙得25分的概率是《

C.乙得10分的概率是13D.乙得0分的概率是丽1

例4.某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有

体育锻炼习惯的有45人.经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的

为优秀，其余为合格.

(1)请完成下列2x2列联表.根据小概率值。=0.01的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系.

经常锻炼不经常锻炼合计

合格25

优秀10

合计100

(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人口随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中

优秀的人数为X,求X的分布列.

n(ad-bc)2

附：z2=其中〃=。+/?+。+〃.

(〃+/?)(<?++d)，

P(/叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

举一反三

练习6.第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕.来自113个国家和地区

的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、

友谊的新篇章.外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣.现随机对200名外国运动员(其

中男性120名，女性8()名)就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下:

有兴趣无兴趣合计

男性运动员8040120

女性运动员404080

合计12080200

(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”;

(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中

男性有X名，求X的分。列与数学期望.

n(ad-bc)2

参考公式：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2>%)0.1500.1000.0500.0250.0100.001

即2.0722.7063.8415.0246.63510.828

练习7.某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评

价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,950[95,100]分成8组,得到如图所示的频率分布直

方图.

频率

(1)求。的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1);

⑵若采用分层抽样的方法从评价指标在[70,75)和[85,90)内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取

5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在[70,75)内的学员人数为X,求X的分布列与数学期望.

练习8.一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球

(I)若不放回的取2次球，求在第次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；

(2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及E(X).

练习9.某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进

行检测，其中有5箱为一等品.

(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是■等品的概率；

(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记〈表示抽到•等品的箱数，求看的分布列和期望.

练习10.下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在［80,90）分数段内的学生人数为

21.

分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

频率0.10.150.20.20.150.1*

⑴求测试成绩在［95,100］分数段内的人数；

⑵现欲从［95,100］分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为：，求［95,1001分

数段内男生的人数；

（3）若在［65,70）分数段内的女生为4人，现欲从［65,70）分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，4为分配到此组

的3名学生中男生的人数.求4的分布列及期望筑

题型三二项分布

例5.某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A,5两门学科成绩作为样本.将他们的A学科成

绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好.已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良

并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良

好与B学科良好有关;

B学科良好8学科不够良好合计

A学科良好

人学科不够良好

合计

（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A,8学科均良好的人数

为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

*〃(＜以一反)，

附:其中〃=a+8+c+d.

(a+Z?)(c+J)(«++4)

p(Y次)0.)50.100.050.0250.0100.0050.0010.15

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072

例6.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐

渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台

所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行

调查，得到如下数据：

选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计

用户年龄段为19~24岁302050

用户年给段为25~34岁203050

合计5050100

(1)能否有95%的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？

(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频的年龄段为

1924岁和2534岁的用户中各抽取2名用户进行回访，求抽出的4人中选择甲公司购物的人数恰好为2的概率.

参考公式：z2=-；~""a：｝)~,其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+h)(c+d)[a+c)(b+d)

尸(1.k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

举一反三

练习11.某数学兴掷小组设计了一个开肓盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入

的奖品个数4满足PC=〃)02=1,2,3,4,5),每个箱子中所放奖品的个数相互独立.游戏规定：当箱子中奖品

的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品.每个参与游戏的同学依次从I到4号箱

子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏.甲、乙两人依次参与该游戏.

(I)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；

⑵设甲游戏结束时取走的奖品个数为X,求X的概率分布与数学期望;

(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为V,求Y的数学期望.

练习12.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，

且任一同学每天到校情况相互独立.

(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列；

(2)设M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求

事件M发生的概率.

练习13.某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙

机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为95%,已知两台机器生产芯片的质量互不影响.现对某天生产的芯片进

行抽样.

(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；

(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X,求X的分布列以及数学期望

石⑻.

练习14.卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”弓I发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮某公司被授权销售以“拉

伊卜”为设计主题的精制书签.该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制

书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布.这200位球迷的心理

价格对应人数比练习分布如下图：

若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签.公司采用常见的优饿营销的方法刺

激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签.设每位球迷是否购买该精制书签相互独立，精制书签

的销售价格为x元/个(60<x<90).

(1)若x=80,已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设X为这3名球迷中购买精制书签的人数，求X的

分布列和期望；

(2)假设共有Z名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总

利润的期望最大？

练习15.“双减”政策执行以来,中学牛有更多的时间参加志愿朋务和体育锻炼等课后活动.某校为「解学牛课后活

动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间(单位：小时)，分别位于区间［7,9),

[9,11),[11J3),[13,15),[15,17),[17,19],用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加

课后活动的时间相互独立.

,频率/组距

0.200……-……——―

0.125-----------------j—

0.075...............l

。0叫.05丁0……++]—-卜-卜卜|,

O“791113151719时间/小时

(I)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率;

(2)从全校学生中随机选取3人，记J表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求＜的分布列和数

学期望E(J).

题型四二项分布的概率最大问题

例7.若*~8(201),则P(X=6取得最大值时，k=

例8.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为

了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到

的情况如表所示：

用时/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人数1721139

女性人数810166

以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过1Q秒的概率，每位

盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测

试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()

A.3B.4C.5D.6

举一反三

练习16.设随机变量X〜5(〃,〃)，记&=0,1,2,.在研究〃人的最大值时，某学习小组发现

并证明了如下正确结论：若(〃+1)〃为正整数，当&=5+1)〃时，P*=Pi，此时这两项概率均为最大值；若(〃+l)P

不为正整数，则当且仅当k取5+1)〃的整数部分时，〃《取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记

录点数I出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数I出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100

次投掷试验中，点数1总共出现的次数为的概率最大.

练习1〉近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了

我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的

市民认定为“不喜欢网上买菜".某市"社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区ICO名市民，得到

的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计

年龄不超过45岁的市民401050

年龄超过45岁的市民203050

合计6040100

(I)是否有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？

(2)M社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从A,B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周

4

一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为不；如果周一选择3平台买菜，那么周二选择3平台买菜的

概率为g，求李华周二选择平台8买菜的概率：

⑶用频率估计概率，现从“社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为Y,事件“X=K'

的概率为尸(X=k),求使P(X=k)取得最大值时的k的值.

参考公式：参=立瑞玛研其中…+0+~.

P（K2之k°）0.10.050.00.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

练习18.为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年

禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP,参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人

赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比

赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习

积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分,

获得第2、3、4名的得I分：后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1

局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，1在第2局四人赛中获得2分、I分的概率分别为!，

42444

(I)设小明每天获得的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为:，每局是否赢得比赛相

4

互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

练习19.在卜余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，

从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人.经调查，得到这100名学生

近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格.

(1)请完成下列2x2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔

有关.

上课转笔上课不转笔合计

合格25

优秀1()

合计100

(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取1()人,再从这10人内随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中

合格的人数为X,求X的分布列和数学期望.

(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为女的概率为汽火)，

当P(幻取最大值时，求A的值.

附：八(i)(；喘？)伍+犷其中〃

P(炉叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

练习20.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价越高.为

帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实

验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：

[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46)(单位：mm).统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36

nun及以上的为“大果

实验园

(1)估计实验园的“大果”率;

(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大

果”的个数为X,求X的分布列；

⑶以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取〃03,个，设其中恰有2个“大果吗勺概率为尸(〃)，

当P(〃)最大时,写出〃的值.

题型五二项分布与超几何分布的综合

例9.2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，

其中有4间寝室被评为优秀寝室.

(1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有I间优秀的概率；

(2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀

的寝室同数，求X的分布列和期望.

例10.某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.

(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人

中身高不超过a的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望；

⑵从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有"(2=1,2,,30)个男生的概率为

P伏)，求使得P伙)取得最大值的々的值.

举一反三

练习21.2022年2月2()日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我

国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100

名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：

竞赛得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率0.10.10.30.30.2

(1)如果规定竞赛得分在(80,90］为“良好”，竞赛得分在(90,100］为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，

使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？

(2)在(1)条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；

(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该

校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

练习22.某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽

奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽

奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，

否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普

法宣传人人参与'卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是，扫黑除恶利国利民'卡的概率是，.”

(1)求抽奖者获奖的概率；

(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剌下8张卡片按照

之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.

练习23.某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本,

用X表示样木中合格品的个数.

(1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望；

(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比练习与总体中合格品的比练习之差的绝对值不超过二的概率.

4

3

练习24.甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是乙能答对其中的

5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)

减5分，至少得15分才能入选.甲乙两人的答题情况相互独立

(1)求甲得分的分布列和数学期望；

(2)求甲、乙两人同时入选的概率；

练习2f.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试卷中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通

过初试，已知甲、乙两人参加初试，在这8个试卷中甲能答对6个，乙能答对每个试卷的概率为且甲、乙两人

是否答对每个试卷互不影响.

(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；

(2)若答对一题得5分，答错或不答得()分，记乙答题的得分为，，求V的分布列.

题型六正态分布求概率

例II.已知某工厂生产零件的尺寸指标4N05,0.0025),单位为cm.该厂每天生产的零件尺寸在(14915.05)的数

量为818600,则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为()

参考数据：若&贝I」尸(〃一b<4«4+b)=0.6827,。(〃-2。<€«〃+2。)=0.9545,

-3b<弊〃+3b)=0.9973.

A.1587B.2275C.2700D.1350

例12.•批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N0OOOQ4OO2),则这批灯泡使用时间在(9200,10800］内

的概率是.

举一反三

练习26.甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩X~N(四乙地学生的成绩

y〜N3W)(6>0).下图分别是其正态分布的密度曲线，则()

(若随机变量XN(〃,/),则P(〃-b<XW〃+b)=0.6827,P(〃-2b<XW〃+2b)=0.9545,

尸（〃一女r<X«〃+女r）=0.9973）

A.甲地数学的平均成绩比乙地的高B.甲地数学成绩的离散程度比乙地的小

C.P（90<X<94）>P（82<X<90）D.若d=8,则P（92WY<124卜0.84

练习27.某田地生长的小麦的株高X服从正态分布N（IOO[6）,则P（96KXK1O8卜（）

（附：若随机变量Z服从正态分布N（〃,4），则+o卜0.6827,尸（以―2bWZW〃+2。卜0.9545,

P（//-3<T<Z<//+3tr）«0.9973）

A.0.6827B.0.8186C.0.9545D.0.9759

练习28.（多选）已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布M100,100）,其中90分为及格线，

120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（参考数据：①P（〃-b<XW〃+b）=0.6827；②

P（〃-2<TVXW〃+2b）=0.9545；③P（〃-3b<XW〃+3b）=0.9973.）（）

A.标准差为100

B.及格率超过86%

C.得分在（70,130]内的人数约为997

D.得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

练习29.（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简

称：膨胀系数）.某坡璃厂自两条硼碎坡地的生产线，具中甲生产线所产硼硅坡埔的膨胀系数X~N（4.7,0.01）,乙

生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2~N（4.6,0.04）,则下列选项正确的是（）.（附：若XN（4,4）,则

尸（〃一b«X«〃+b）a0.6826,P（//-2a<X<//+2<y）«0.9544,P（//-3<T<X<//+3a）*0.9974）

A.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在（4.5,4.8）的概率约为0.7685

B.甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5,则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大

D.若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为4.7±0.1,则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线

的2倍

练习30.假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为口0（单位：cm,下同），标准差为10.在该地区

任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：

⑴不高于170的概率；

⑵在区间［160,180］内的概率；

（3）不高于180的概率.

题型七正态分布的对称

例13.已知随机变量X服从正态分布N（4,〃），若尸（XKl+2a）+P（XKl—.）=1,则。=（）

A.-1B.0C.2D.6

例14.设随机变量X服从正态分布N（〃,/），且P（X"）=0.5,P（X<b）=4P（X>b）t则0（XM2a—〃）=,

举一反三

练习31.（多选）设随机变量E服从正态分布"（〃，力，若尸e<2）=Pe>4）=a,则下列结论正确的为（）

A.〃=3B.P（3<<f<4）=l-2«

C.。⑷=近D.P（2<^<3）=--u

练习32.已知随机变量X~N（1,4）,若尸（Xva+3）=尸”>2。-4）,则实数。的值为.

练习33.设随机变量4服从正态分布向量:二（1,2）与向量力=（£-1）的夹角为锐角的概率是：，则〃=

练习34.已知随机变量X~N（〃,b2）,且其正态曲线在（Y,80）上是增函数，在（80,一）上是减函数，且

P（72<X<88）^0.6827.

（I）求参数〃.。的值.

⑵求P（64<X<72）.

附：若X〜则P(〃一bK>K〃+cr)R().6827,P(/z-2<T<X<//+2<T)«0.9545

练习35.（多选）若J则P（〃—b«g<〃+b）=0.6827,2（以一2。<4«〃+2。）=0.9545.己知€~%（6,4）,

且P（44〃?+2）=P（gN2，〃+l）,则（）.

A.m=3B.in=1

C.P（4<^<10）=0.8186D.P（4<^<10）=0.1814

题型八正态分布的实际应用

例15.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质

检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：

零件直径（单位：厘米）[1.0J.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布o?分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间

的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.

（1）分别求〃的值；

（2）试估计这批零件直径在［1.044,1.728］的概率；

⑶随机抽查2000个零件，估计在这2（）00个零件中，零件的直径在［1044,1.728］的个数.

参考数据：70X）52«0.228:若随机变量4N（〃,b2）,则尸（〃一b4g«〃+o）*0.6827,

P（X/-2o-<<<//+2o■卜0.9545,尸Q-3bWJW〃+3o■卜0.9973.

例16.某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名女生平均成

绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6.

（I）高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布N（〃,4），若用这40名参赛的同学的样本平均数［和标准

差$（四舍五入取整数）分别作为〃，。，估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数（四舍五入取整数）；

（2）颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为彳，在甲获胜的条件

下，求其前2局获胜的概率.

附：若X~N（MCT2）,则P（|X-“Wcr）=0.6827,P（|XW2。）=0.9545,P（|X-//|<3cr）=0.9973.

举一反三

练习36.河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即3+1+2模式；2021年开始，高考总成绩由语数

外+物理、历史(选I门)+化学、生物、政治、地理(选2门)等六门科目构成.现将每门选考科目的考生原始

成绩从高到低划分为A、歹、B、C+、。、。，、。、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比练

习分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至七等级内的考生

原始成绩，依照等比练习转换法则，分别转换到［9U00］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51.60］、［41,50］、［31,40］、

［21,30］八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个

选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).

⑴求化学原始成绩在区间(47,86)的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间［61,80］的人数，求X的分

布列和数学期望.

(附：若随机变量4〜则〃+。卜0.6827,P(//-2<T<^^//+2a)«0.9545,

-3。<JW"+3。卜0.9973)

练习37.根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布N(〃Q2),并把钢管内径在

内的产品称为一等品，钢管内径在++2。)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品,

其余范围内的产品作为废品回收.现从该企'也生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分

(1)通过检测得样本数据的标准差5=0.3,用样本平均数x作为〃的近似值，用样本标准差s作为。的估计值，根据

所给数据求该企业生产的产品为正品的钢管内径尺寸范围；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

(2)假如企业包装时要求把2个•等品和〃("大2,〃eN)个二等品装在同•个箱了中，质检员从某箱了中摸出两件产

品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为4否则该箱产品记为从

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为8的概率为了（〃），求当〃为何值时，/（〃）取得最大值，并求出最大值.

参考数据：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.84-37x1.1+37.2x0.8+37.4x0.65

+37.6x0.4+37.8x0.1=185

练习38.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫

奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日

脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

频率

0.18------------------

0.14-------------

So6

So5

o3

OS.o2

C9

II13151719212325收入在元）

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

⑵由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布其中〃近似为年平均收入了，人近

似为样本方差/，经计算得/=6.92,利用该正态分布，求：

①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大

约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人'’的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相

独立，记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为J,求£«）.

附参考数据：痣灭=2.63，

若随机变量X服从正态分布NT”?），则

P（//-<r<X<z/+o-）«0.6827,

P（〃一2。工XW〃+2。）、0.9545,

尸（〃一3。KXK〃+3。）*0.9973.

练习39.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为

了解当地农村经济情况.随机抽取该地2000户农户家庭年收入工（单位：万元）进行调查,并绘制得到如下图所示

的频率分布直方图.

⑴求这200()户农户家庭年收入的样本平均数了和样本方差1(同一组的数据用该组区间中点值代表).

(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布其中〃近似为样本平均数工，V近似为样本方

差一.

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元(含9.52)的户数？(结果保留整数)

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即

年收入不超过9.52万元的农户家庭数为久求P(g<3).(结果精确到0.001)

附：①疝。1.52；②若X则P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<X<〃+2。)=0.9545；(3)

0.841354«0.501.

练习40.某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：

上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否

通过相互独立，已知甲、乙、内三人都参加了该项闯关活动.

(1)若甲第一关通过的概率为彳，第二关通过的概率为：，求甲可以进入第三关的概率；

(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发

放奖励.

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，己知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明

理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计

学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z~N(〃,/)，则尸(〃一bKXK〃+b)p().6827：P(//-2<T<X<//+2<T)«0.9545；

P(X/-3O-<X<//+3<T)«0.9973.

专题10.7二项分布、超几何分布及正态分布

三I题型目录

题型一两点分布

题型二超几何分布

题型三二项分布

题型四二项分布的概率最大问题

题型五一项分布与超几何分布的综合

题型六正态分布求概率

题型七正态分布的对称

题型八正态分布的实际应用

才典例集练

题型一两点分布

例1.随机变量X服从两点分布，且户(X=l)=0.2,令y=3X—2,则尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】根据两点分布的性质求出p(x=o),则p(y=-2)=p(x=o).

【详解】因为随机变量X服从两点分布，且P(X=l)=0.2,

所以P(X=0)=l-P(X=l)=l-0.2=0.8,

由y=3x-2,所以p(y=-2)=p(x=o)=o.8.

故选：D

例2.已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3-4户(X=l),则随机变量X的方差为.

【答案】I

【分析】因为图散型随机变量丫服从两点分布，设P(x=0)=〃-所以P(X=1)=1-",由题意可求出月二;，所

以可求出。(X).

【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设P（X=O）=〃],所以P（X=l）=l-〃|,

所以，代入P（x=o）=3—4P（X=1）有：P1=3-4（1-72,）,

I2

解得：Pl=-»P（X=1）=1-/?=-,

JJ!

17?

因为离散型随机变量X服从两点分布：所以。（X）=QX寸?

JJ7

故答案为：.

举一反三

2

练习1.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足尸（X=0）=9p0,且P（X=O）＜P（X=l）,则

£（%）=（）

A.-B.1C.\D.-

32