河南省九师联盟高二上学期11月质量检测数学试卷（含答案解析）

河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第3节.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用直线倾斜角概念即可.【详解】直线垂直于轴，所以其倾斜角为.故选：B.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程是，即.故选：A.3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可.【详解】当直线过原点时，其方程是，符合题意;当直线不过原点时，设直线方程为，代入，可得：，解得：，所以方程是.故选：C.4.“”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可.【详解】方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.5.已知，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标表示，得到，即可求解.【详解】因为，且，所以，解得.故选：C.6.已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】出及的图像，结合图像即可求解.【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时，由，得，所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时，根据图象，的取值范围为.故选：A.7.已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设是椭圆的左焦点，是的右焦点，由得到，再结合余弦定理，二倍角公式即可求解.【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为2c，连接，则，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故选：D.8.已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】有直线过圆心时，最大，构造不等式，即可求解.【详解】结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，AB最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得.故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（）A.B.C.四边形面积为D.若，则点在平面内【答案】ACD【解析】【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D.【详解】因为，所以，，故A正确;因为，故B错误；因为，所以，四边形为矩形，其面积，故C正确；因为，由于，所以四点共面，即在平面内，故D正确.故选：ACD.10.已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（）A.满足为直角三角形的点有且仅有2个B.过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条C.若在直线上的射影为，则D.若直线的倾斜角为，则【答案】BCD【解析】【分析】根据直线和圆的交点个数判断A，分斜率是否存在设直线联立方程组应用判别式判断B，数形结合根据三点共线判断距离和的最小值判断C，设直线联立方程组结合焦半径公式计算判断D.【详解】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误；对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得，当时，方程为，此时直线与抛物线只有一个交点；当时，则，解得.综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确;对于C，如图所示，抛物线的焦点为，当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确；对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为，联立得，解得，所以，则，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是抛物线定义，距离和的转化是解题的关键，的判断关键也是定义的应用.11.关于曲线，下列说法正确的是（）A.曲线关于直线对称B.曲线围成的区域面积小于2C.曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是D.曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D.【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确；对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，，则，所以在的下方，所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确；对于C，因为，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确;对于D，因为，所以，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误.故选:ABC.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量是实数，则的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】计算出，得到，故当时，取最小值为3.【详解】因为，所以，所以当时，取最小值，且最小值为3.故答案为：313.如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为___________米.【答案】725【解析】【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解.【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，则100，解得，所以抛物线的准线方程为.故答案为：72514.设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______.【答案】3【解析】【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解.【详解】设，由题得，即，整理得，又，所以，整理得，由联立得，所以，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点，直线方程为.（1）证明：无论取何值，直线必过第三象限；（2）若点A，B到直线的距离相等，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）或.【解析】【分析】（1）分离参数得出直线的定点，再根据定点在第三象限即可得证；（2）法一：根据点到直线距离公式转化距离相等求解计算；法二：由距离相等得出直线平行或者过线段中点计算即可.【小问1详解】直线的方程为，即，所以直线过定点，因为位于第三象限，所以无论取何值，直线必过第三象限.【小问2详解】法一：由点到直线的距离公式知：，即，所以或，解得或.法二：若点A、B到直线l的距离相等，则直线或直线l经过线段AB的中点，当时，，解得，线段AB的中点坐标为，即，当直线经过线段AB的中点时，，解得，综上，或.16.已知抛物线与圆相交于、两点，且.（1）求抛物线的方程;（2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程；（2）设Mx1,y1、N【小问1详解】因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设，因为点在圆上，所以，解得（负值舍去），所以的方程是.【小问2详解】由消去并整理得，设Mx1,y1由韦达定理可得，，所以，，所以的周长为.17.设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过中的三个点.（1）求圆的方程；（2）若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分析法确认哪三个点，再利用求圆心和半径来写出圆的方程；（2）利用点满足的条件是另一个圆上的点，所以可知两个圆相交，即可求解参数.【小问1详解】若圆经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线上，不符合圆在轴正半轴；根据题意得圆只能过点A，B，D三点，因为，所以的中点为，两点的斜率为，利用互相垂直的两直线斜率之积为，可知两点的中垂线斜率为，所以由点斜率式可得线段AB的垂直平分线的方程为，整理得：又因为，所以的中点为，两点的斜率不存在，所以线段AD的垂直平分线的方程为联立方程组解得所以圆心为，即圆心到点的距离为半径，即半径为2，所以圆方程为【小问2详解】设存在点，因为，所以有，化简得，所以，且满足这个方程的点可以理解为一个圆上的点，而点又在圆上且有两个点，所以这两个圆应该相交，此两圆的圆心分别为和，所以圆心距为，而两圆的半径分别为和2，则有，解得.18.已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点.（1）求的方程;（2）是上的四个点，与相交于点.①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率;②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.【答案】（1）（2）①；②1，或.【解析】【分析】（1）由，可求，再结合，求得即可求解；（2）①由点坐标求得与方程，联立椭圆方程，求得坐标即可求解；②设由弦长公式及点到线的距离公式，表示出面积，进而可求解.【小问1详解】因为是椭圆上的一点，所以，即，又，又，所以，故的方程为【小问2详解】①若A，B分别为椭圆与x，y轴的正半轴的交点，则，则直线的方程是，即，代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，因为，所以，则，即，直线的方程是，即，代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，因为，所以，则，即，所以.②因为直线AB斜率为，所以可设直线AB的方程为，代入消去并整理得，设Ax1,，又点到直线AB的距离，所以的面积，等号仅当，即时成立，显然满足，所以面积的最大值是1.此时，直线AB的方程是，即或19.在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.（1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;（2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围;②若直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可.（2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②