2024高考数学二轮复习讲义：数列大题分类讲解

数列高考大题的类型与解法

数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样亳不夸张地说，只要是数学高考试卷，

都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18

题的12分大题或选择题〔也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考

生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数

列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列

与等比数列之间的标合，运用裂项相消法求数列的前n项和：③等差数列与等比数列之间的

综合，运用拆项求和法求数列的前n项和：④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相

减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种

类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解

答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通

过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例I]解答下列问题：

1、记S“为等差数列｛。〃｝的前n项和，己知=S[（）=40°

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛\an\｝的前n项和（（2023全国高考乙卷文）

2

2、设等差数列｛〃”｝的公差为d,且d>l,令记S”，。分别为数列｛g｝,

册

｛b,r）的前n项和。

（1）若3a2=3%+%，53+T3=21,求数列｛an｝的道项公式；

（2）若｛b“｝为等差数列，且S99一n广99,求d（2023全国高考新高考I）

3、数列｛%｝为等差数列，b,尸。”-6,n为奇数，记S“，7；分别为｛4｝,｛bJ的

[24“，n为偶数，前n项和，S4=32,T3=16O

（1）求数列｛凡｝的通项公式：

（2）证明：当n>5时，7；>S“（2023全国高考新高考H）

4、（理）已知数列｛凡）满足：q=-2,an+]=2an+4.

（1）证明数列｛。〃+4）是等比数列；

（2）求数列｛%｝的前n项和S“。

（文）在等比数列｛4“｝中，已知%=8卬，且可，生+1，%成等差数列。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛|%-4|｝的前n项和5“（2017成都市一珍）

5、已知数列｛〃“｝的前n项和s“=口'（n^N*）。

2

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设〃=2“"+（-1）"%,求数列｛bn｝的前2n项和7；。

K思考问题

（1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类词题

需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列,

等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结

构特征，选用恰当的求和方法求出结果；

（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项q和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解

答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的

特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。

【典例2]解答下列问题：

1、已知数列｛%｝中，a2=\,设S,为）的前n项和，2s“二n%。

（1）求数列｛4』的通项公式；

（2）求数列｛写1｝的前n项和7；。（2023全国高考甲卷理）

2、己知等比数列｛%｝的公比为3,且4,%+3,%-6成等差数列。

（1）求数列｛凡｝的通项公式;

（2）求数列⑺凡｝的前n项和Z,（成都市高2020级高三二诊）

3、（理）设数列｛〃“｝满足q=3,%+[=3%-4n。

（1）计算出，如，猜想数列｛%｝的通项公式并加以证明；

n

（2）求数列｛2an）的前n项和S”

（文）设等比数列｛4｝满足。|+。2=4,a5-a1=8o

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）记S”为数列｛嗓3勺｝的前n项和，若S,”+S,川=S“日求m（2020全国高考新课

标III）。

4、已知等比数列｛4｝的前n项和为S“，公比q>l,且%+1为卬，/的等差中项，53=14。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵记b“二a”.log?an，求数列｛b〃｝的前n项和，（2019成都市高三二诊）

R思考问题2』

（1）【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类词题

需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列,

等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结

构特征，选用恰当的求和方法求出结果；

（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项q和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；笫二小题是•般数列求和的问题，解

答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂巴来构成等差数列，另一个因式分裂

出来构成等比数列的特征，然后利用错项相减法求出数列的前n项和。

【典例3］解答下列问题：

1、已知数列｛〃“｝为等差数列，数列｛么）是公比为2的等比数列，且生"2=。3一5

—bq-o

（1）证明：。1二4；

（2）求集合出a=。朗+q,l〈m«500｝中元素个数（2022全国高考新高考H卷）

2、已知等差数列｛〃“｝满足2a2+%=。，%=2。4-2。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设勿=2""，求数列｛"｝的前n项和（成都市2019级高二一诊）

「+1，n为奇数，

3、已知数列｛%｝满足：。尸1,4+尸］%+2,n为偶数。

（1）记“=〃2”，写出4，b2,并求数列｛么｝的通项公式；

（2）求｛4｝的前20项和（2021全国高考新高考I）°

4、（理）已知数列｛%｝的各项均为正数，记S”为｛%｝的前n项和，从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立。①数列｛6｝是等差数列；②数列｛底｝是等差数列；

③4=3注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。

（文）记S”为｛““｝的前n项和，已知%>0,生=3/，且数列｛后｝是等差数列，证明：

数列｛%｝是等差数列（2021全国高考甲卷）。

2I

5、（理）记5”为｛牝｝的前n项和，勿为数列｛S.｝的前n项积，已知力+二=2。

S“b.

（1）证明：数列｛"｝是等差数列；

（2）求数列｛0｝的通项公式。

（文）设｛4｝是首项为1的等比数列，数列｛么｝满足：b,广旦,已知外,3%，9%成

等差数列。

（1）求数列｛〃”）,SJ的通项公式；

q

（2）记S“和7；分别为｛*｝,｛4｝的前n项和，证明：邛昔（2021全国高考乙卷）。

6、记S”是公差不为。的等差数列｛/｝的前n项和，若〃3=53，〃2・4=S-

（1）求数列｛〃.｝的通项公式％;

（2）求使S“>见成立的n的最小值（2021全国高考新高考H卷）。

7、已知数列｛%｝中，%=1,%=3，an+2+3atl=4an^,bn=an+l-an,nsN*。

（1）求数列｛b“｝的通项公式；

（2）!?.（?„=log.（凡+b“）,数列｛g｝的前n项和为S“•求S”（2021成都市高三三诊）.

8、设｛〃“）是公比不为1的等比数列，%为电，%的等差中项。

（1）求｛4｝的公比；

（2）若。尸1,求数列｛〃”｝的前n项和S“（2020全国高考新课标I理）。

9、己知公比大于1的等比数列｛。“｝满足。2+%=20,%=8。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）记①为｛《,｝在区间（0,m］（meM）中的项的个数，求数列｛/%｝的前100项和

S］（）0（2020全国高考新高考I）

10、已知公比大于1的等比数列｛an｝满足4+4=20,%=8。

（1）求数列｛七｝的通项公式；

（2）求。1电-。2%+-----+（—1）"T〃用（2020全国高考新高考0）

11、（文）记S“为等差数列｛%｝的前n项和，已知$9二-%。

（1）若出=4,求数列｛/｝的通项公式；

（2）若q>0,求使得S“Na”的n的取值范围（2019全国高考新课标I）

12、（理）已知数列｛«〃｝和｛"｝满足q=l,/?,=0,4«7=3凡-4+4,4”用=35-%-4。

（1）证明：（4+么｝是等比数列，｛〃”-4｝是等差数列；

（2）求数列｛4｝和｛5｝的通项公式。

（文）已知｛凡）是各项均为正数的等比数列,。产2,%文电+16。

（1）求数列｛/｝的通项公式；

（2）设〃,=log2an,求数列｛”,｝的前n项和（2019全国高考新课标II）

K思考问题35

（1）【典例3】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列,

等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公

式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；

（2）第一小族一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项为和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；笫二小题一般是求数列的前n项和，

解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前n项和公式通

过运算求出结果。

【典例4］解答下列问题：

VI

1、记S”为数列｛〃“｝的前n项和，已知q=l,｛—｝是公差为一的等差数列。

a„3

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）证明：---H---H---+—<2（2022全国高考新高考I卷）

%a2an

2、（理）S”为数列｛q｝的前n项和，已知%>0,a；+2a〃=4S“+3。

（1）求数列｛4｝的通项公式：

（2）设求数列｛b,J的前n项和。

（文）已知等差数列｛4｝的前n项和S”满足：S，=0,S5=-5O

（1）数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛——!——｝的前n项和（2021全国高考乙卷）。

3

3、已知｛〃“｝是递增的等比列数，q=l,且2%，2%,%成等差数列。

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设--------!--------（n£N*）,求数列｛b.｝的前n项和S.（2020成都市

1082。“+/。〃〃"2

高三二珍）

4、己知等差数列｛凡｝的前n项和为S“，且生=2,SN=66.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）（理）若数列｛b〃｝满足b〃=」一，求证：b1+b.+------+b“<l。（文）若数列｛b〃｝

满足b“=2“"，求数列｛，｝的前n项和7；（2017成都市高三零珍）

R思考问题4』

（1）【典例4】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类词题

需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，

等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结

构特征，选用恰当的求和方法求出结果；

（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项q和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；笫二小题是•般数列求和的问题，解

答时注意数列通项是一个分式,分式的分子为常数，分母是儿个连续整数的积这一结果特征,

然后利用裂项相消法求出数列的前n项和。

【典例5］解答下列问题：

2s

1、记S”为数列｛凡｝的前n项和，已知一+n=2〃”+l。

n

（1）证明：数列｛4｝是等差数列；

（2）若4,%，为成等比数列，求S”的最小值（2022全国高考甲卷）

2、设S“为等差数列｛4｝的前n项和，已知卬=-7,83=15。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求S“，并求S”的最小值（2018全国高考新课标H卷（理））

3、设｛凡｝是等差数列,^=-10,a2+10,4+8,%+6成等比数列。

（I）求数列｛g｝的通项公式；

（2）记｛牝｝的前n项和为S”，求S〃的最小值（2019全国高考北京（文））

K思考问题5J

（1）【典例5】是等差数列，等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题.解

答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌

握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意

等差数列前n项和是关于n的二次函数，运用求函数最值的基本方法就可求出结果；

（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项为和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；第一小题是求等差数列前n项和的最

值问题，解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，利用求函数最值的基本方法就

可求出等差数列的前n项和的最值。

数列高考大题的类型与解法

数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样亳不夸张地说，只要是数学高考试卷，

都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18

题的12分大题或选择题〔也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考

生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数

列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列

与等比数列之间的标合，运用裂项相消法求数列的前n项和：③等差数列与等比数列之间的

综合，运用拆项求和法求数列的前n项和：④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相

减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种

类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解

答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通

过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例I］解答下列问题：

1、记S“为等差数列（〃〃｝的前n项和，已知〃2=11，§10=4（）。

（1）求数列｛｝的通项公式；

（2）求数列｛\an\］的前n项和7；（2023全国高考乙卷文）

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及

运用：④拆项求和法及运用。

【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问

题条件得到关于首项4,公差d的方程组，求解方程组求出首项q,公差d的值，就可求

出数列｛4｝的通项公式；（2）根据数列｛七｝通项公式得到数列｛|〃“|｝的通项公式，运用拆

项求和的基本方法就可求出数列（|您|｝的前n项和Tn。

【详细解答】（1）设等差数列｛勺｝的首项为4,公差为d,“2=11,Slo=40,:.ax

+d=ll①，10%+45d=40②，联立①②解得:q=13,d=-2,/.an=ai+（n-1）d=13-2n+2

2

=15-2n：（2）•・・由（1）知，an==15-2n,|/15-2n,1^7,Ttl=（\4n-n,lWrS7,

2n-15,n>8,k2-14n+98,n>8o

2

2、设等差数列｛%｝的公差为d,且d>l,令b〃=43,记S“，7；分别为数列｛%｝,

a„

｛bj的前n项和。

（1）若3a2=3《+。3,53+T3=21,求数列｛an｝的通项公式；

（2）若｛b“｝为等差数列，且，广7；9=99,求d（2023全国高考新高考1）

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及

运用；④拆项求和法及运用。

【解题思路】（I）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问

题条件得到关于首项公差d的方程组，求解方程组求出首项《，公差d的值，就可求

出数列｛七｝的通项公式；（2）根据数列｛*｝通项公式，数列｛b〃｝的通项公式和等差数列

的性质，结合问题条件得到关于首项为％,公差d的等式，从而得到首项为q关于d的表

示式，运用等差数列前n项和公式，拆项求和的基本方法得到关于d的方程，求解方程就可

求出d的值。

【详细解答】（1）设等差数列｛/｝的首项为q,•等差数列｛〃”｝的公差为d,且d>1,

b“二〃'〃,3〃产3。1+%,S,+7',=21,34+3d=4q+2d①，3a.+3d+-+-----

••4»II1qq+.d1

12

+------=21②，联立①②解得：。产3,d=3,.\a=a,+3(n-1)=3n；(2)设等差数列

q+2d

2c

｛%｝的首项为q,•・•笔差数列｛%｝的公差为d,且d>l,b,二口2,:.b1=~,b、

凡4

‘一，b.=——,{b〃}为等差数列，.•.：一=一+-------,=(&-d)(o-2d)

4+da]+2dq+dq%+2d

,n2+〃n2+nn1

=0,4=d或。产25当％=d时,b=-----=-----------=—+—,599=99d+99x49d

and+(n-\)ddd

\9999x5199x51

=99x50d,Tgg=—(1+2+---+99)H-----=----------599-T-99X50d-------=99,

99ddd99d

51.,iv+nn1+nn

50d-y=l,n(50d-51)(d+l)=0,/.d=—；a,=2d时，Vb=-----=------------=—

5()'"atl2”+(〃-IMd

I99x50

S=2x99d+99x49d=99x51d,T=—(1+2+……+99)=------,VS-7；=99x51d

9999dcl999

99x50

=99,.\51d--=1,=>(51d+50)(d-l)=0,d=l与题意不符，，综上所述，若

dd

｛bj为等差数列，且耳9-？；9=99,则仁2。

3、数列｛an｝为等差数列，bn=(an-6,n为奇数，记S”，7；分别为｛%｝,｛b“｝的

<

2an,n为偶数，前n项和，S4=32,T3=16o

(1)求数列｛七｝的通项公式；

(2)证明：当n>5时，7；>S“(2023全国高考新高考II)

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及

运用；④拆项求和法及运用。

【解题思路】(1)根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问

题条件得到关于首项q，公差d的方程组，求解方程组求出首项％,公差d的值，就可求

出数列｛6,｝的通项公式；(2)根据数列｛/｝通项公式得到数列｛b.｝的通项公式，运用拆

项求和的基本方法就可求出数列｛bj的前n项和Tn关于n的表示式，运用等差数列前n项

和公式得到S”关于n的表示式，就可证明结论。

【详细解答】(1)设等差数列｛〃“｝的首项为卬，公差为d,・・・S4=32,T3=16,.-.2^

+3d=16①，q+d-3=4②，联立①②解得:q=5,d=2,Aan=a1+(n-1)d=5+2n-2=2n+3；

(2)•「当n为奇数时，b/r=an-6=2n+3-6=2n-3,当n为偶数时，b/;=2an=4n+6»/.当n

为奇数时，T=2(1+3+-----+n-2)+—-------+4(2+4+-----+n-1)H———-+2n-3=—/Z'H

“2222

3313

n-8»当n为奇数时，T=2(1+3+-----+n-1)H—n+4(2+4+------+n)+3n=-n~H-----n,

222

S”=5n+_—x2=n2+4n,当n为奇数时=3n2+—n-8-n2-4n=—n2+—n-8>—

“2""22222

1531315

•1-----8=20-8=12>0；当n为偶数时，T'-S'=—n"+—n-/?"-4n=—n"H—n>0,.二综上所述，

22222

当n>5时，T,，>Sn=

4、(理)已知数列｛凡｝满足：q=-2,an+l=2an+4.

(I)证明数列｛%+4>是等比数列：

(2)求数列｛。“｝的前n项和5.。

(文)在等比数列｛4｝中，已知%=8卬，且卬，生+1，%成等差数列。

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛|。“-4|｝的前n项和S“（2017成都市一珍）

【解析】

【考点】①等比数列定义与性质；②证明数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式

及运用；④等差中项定义与性质：⑤等比数列前n项和公式及运用；⑦拆项求和法及运用。

【解题思路】（理）（I）根据等比数列的性质，运用证明数列是等比数列的基本方法，结

合问题条件就可证明数列（4+4｝是等比数列；（2）杈据（1）得到数列数列｛凡）的通

项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方法就可求出数列｛*｝的前n项

和S“。（文）根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条件得

到关于首项外，公比q的方程组，求解方程组求出首项q,公比q的值，就可求出数列｛〃“｝

的通项公式；（2）根据（1）得到数列｛《,-4｝的通项公式，运用等比数列前n项和公式与

拆项求和的基本方法就可求出数列｛|%-4|）的前n项和。

（I+4

【详细解答】（理）（1）。向=2%+4.,。向+4=2。“+8+2（4+4）,=>^—=2,

q+4

•・・a产2,%+4=・2+4=2,.,.数列｛/+数是以2为首项，2为公比的等比数列;⑵V

由（1）知，a+4=2x2"“二2",=2"-4,S=-4n+（2+22+-----+2"）=-4n+

〃"〃1-2

=2〃+L4n2

（文）设等比数列｛。“｝的首项为4,公比为q,。产84,且4,%+1，%成等差数

列，「.①，2qq+2=q+qd②，联立①②解得：a,=2,q=2,二.数列｛。“｝的

w2

通项公式为勺=2X2"T=2”：⑵•••由（1）知,an-4=2-4,S„=-4n+（2+2+------2”）

2x（l-2”）।

=-4n+---------------=2-4n-2。

1-2

2

5、已知数列｛。“｝的前n项和s“二号W（neN.）。

（1）求数列｛%｝的通项公式;

(2)设a=2%+(-Ifa„t求数列｛b„｝的前2n项和7；。

【解析】

【考点】①数列通项公式与前n和公式之间的关系及运用；②己知数列前n项和公式，求数

列通项公式的基本方法；③拆项求和法及运用。

【解题思路】(1)根据教列通项公式与前n和公式之间的关系，运用已知数列前n项和公

式，求数列通项公式的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛七｝的通项公式；(2)根

据(1)得到数列数列｛仇｝的通项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方

法就可求出数列｛灯｝的前n项和Tn。

【详细解答](1)①当「二1时，q=S]=V_Ll,②当n22时，a”=S“-S“_1

=〃-+〃(〃])--(〃一])=2二0,当门二1时，1成立，...数列｛。｝的通项公式为4=n；

221〃”

nn=

(2)bn-2""+(―l)cilt-2"+(―l)n»Tn(-1+2-3+4-----(n-1)+(―1)”n)

+2c2")=2n+,+y-2(n为偶数)或7；=(-1+2-3+4----+(n-1)+(-1/n)

2x(1-2"),n-\+]〃+1+4新、

+---------=2+1+-----n-2=2------2(n为奇数)。

1-222

R思考问题

(1)【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类'可题

需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列,

等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结

构特征，选用恰当的求和方法求出结果；

(2)第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项q和公

差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果；笫二小题是一般数列求和的问题，解

答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列(等差数列或等比数列)的

特征,然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。

【典例2]解答下列问题：

已知数列中，出=1，设S〃为｛/｝的前n项和，2S”=n。”。

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛号)的前n项和7；。(2023全国高考甲卷理)

【解析】

【考点】①数列定义与性质；②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；③数学叠

乘法及运用；④错项相减求和法及运用。

【解题思路】（1）根据数列的性质，运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合

问题条件得到关于a-的等式，利用数学叠乘法就可求出数列｛4｝的通项公式；（2）

根据数列｛%｝通项公式得到数列｛色券）的通项公式，运用错项相减求和的基本方法就可

求出数列（｝的前n项和7。

2

【详细解答］（1）当n=l时，2s产2%=卬，q=0；当nN2时，•.•2S〃=nq,①，2S〃_产

(n-1)②，①・②得：2=2an=nan-(n-1)an_｛,=>(n-2)an=(n-1)

a3aq2a、

4=二”24，n，

a—=——=—»=—=n-l%=n-l(n>2),

.\〃-2，a_n-3a

nn2色2/1y

•••当n=l时，成立，，数列｛〃0｝的通项公式为4“二n-l；（2）•数列｛｝

r〃一1十1、r〃if=1+21+31+,、I11

—｝=■，•,•^7X^TX7T一…+（n・l）X声+nx万①，①一彳得:

乙乙乙乙乙乙乙〜

1Tl11+(n-l)x[+nx击②,①-②得:*

—T=—+2x—+3x—+-

2M222324

111/-nx西=1-(n+2)1

++nX=1

+------^7T^7'^TTn=2-(n+2)o

2、己知等比数列｛勺｝的公比为3,且％,%+3,%-6成等差数列。

⑴求数列（凡｝的通项公式;

（2）求数列｛n4｝的前n项和1（成都市高2020级高三二诊）

【解析】

【考点】①等比数列定义与性质；②等差中项定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④

错项相减法求数列前n和的基本方法。

【解题思路】（1）根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条

件得到关于q的等式，从而求出q的值，就可求出数列｛%｝的通项公式；（2）根据数列

｛n4｝的结构特征，运用错项相减法求数列前n和的基本方法，就可求出数列｛n/｝的前n

项和Tn。

【详细解答】(1)」等比数列｛4｝的公比为3,且为，生+3,4-6成等差数列，，2(3G+3)

a=_ax

=〃[+3〃]6=>q=-6,%=-6x3"।=-2x3"；(2)nn2nn»=-2(3+2+

XxWx2X34

333+-------+(n-l)3'+n3")①，①x3得;3Tn=_2(3+23+3X3+-------+(n-1)

234n+,

X3〃+nx3向）②。①•②得：-2Tn=2（3+3+3+3+….…+3”.nx3）=.2（“不）口

1—3

x3'f,x3/l|。

3、（理）已知数列｛/｝满足：。尸・2,。用=2勺+4.

（1）证明数列｛%+4｝是等比数列；

（2）求数列｛%｝的前n项和S,,。

（文）在等比数列｛勺｝中，已知％=8q,且q,%+1，%成等差数列。

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛|凡-4|｝的前n项和S.（2017成都市一珍）

【解析】

【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③证明数列是等比数列的基

本方法；④求等比数列通项公式的基本方法；⑤拆项求数列前n项和的基本方法。

【解题思路】（理）（1）运用证明数列是等比数列的基本方法就可证明数列｛与+4）是等

比数列；（2）根据（1）的结论，求出数列｛〃“｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列

｛%｝的前n项和S”.；（文）（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题

条件得到关于首项《，公比q的方程组，求解方程组求出首项％,公比q的值，从而求出

数列｛%｝的通项公式：（2）根据（1）的结果，求出数列｛/-4｝的通项公式，利用拆

项求和法求出数列｛%-4｝的前n项和S-

a4-4

（详细解答]（理）（1）证明：.%+]=2%+4.,+4=2/+8=2（勺+4）,=，=2,

%+4

・・・%=2,卬+4=-2+4=2,数列｛%+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列：（2）丁由

23

（1）知4“+4=2x2"T=2",an=2"4S“=2-4+2-4+2-4+--+2"-4=（-4-4-------4）

+（2+22+23+--+2M）=-422x（、2）=2"i-4n-2；（文）（1）设等比数列｛%｝的

1-2”

公比为q,Va4=a1,%+1,%成等差数列，24q+2=%+qd②，联

立①②解得4=2,q=2,，数列｛〃“｝的通项公式为：q,=2x2〃T=2〃；(2)「由(1)

知。“_4==2"-4,^=5„=2-4+22-4+23-*4+---+2"-4=(-4-4--------4)+(2+22+234-

+2")=-4n+2x(J2)=2_-4n2

1-2

4、己知数列｛an｝的前n项和S产£13(nGAr)。

2

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设2%+(-1)"%,求数列｛4｝的前2n项和7；。

【解析】

【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。

【解题思路】(1)运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件就可求出

数列｛/｝的通项公式；(2)由⑴得到数列｛/｝的通项公式：%=(n+1)+2”，将

每一项分成两项，从而可知数列｛4｝由两个基本数列(等差数列或等比数列)，利用基

本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数

列｛4｝的前n项和S〃的值。

211

【详细解答】⑴，•数列也｝的前n项和丫亨(昨心.•・当e时’Si尸千

25―I)2+〃T2

qcn+nn+〃一〃2+2〃-1+〃-1

=1；当nN2时,=2n-l,

~2~~T

•・•当n=l时，a[=2x1-1=1成立，.•.%=2n-l(n£N*)；(2).由(1)得=2n-l,/.bn=

2n-,w354ff-,

2%+(-1)"。”，=2+(-l)(2n-l),Tf=(2+2+2+--------+2)-(1+5+9+——+

22Z,

八…、2X[1-(2)](ii4〃3)〃(3।4〃i)ni

4n-3)+(3+7+11+-……+4n-l)=—*=------------=^----------------—+--------------<-=-x24/,+l

1-4223

2i2

---(2n"-n)+(2+n)=-x24,H1+2n--。

333

K思考问题22

(l)【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类,可题

需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列,

等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结

构特征，选用恰当的求和方法求出结果；

（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项为和公

差d（或公比q）,再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解

答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的

特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。

【典例3]解答下列问题：

1、已知数列｛an｝为等差数列，数列｛bn｝是公比为2的等比数列，且生

=o

（1）证明：1二b]；

（2）求集合｛k|%=*+q,lKm4500｝中元素个数（2022全国高考新高考H卷）

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④

等比数列通项公式及运用；⑤表示集合的基本方法。

【解题思路】（1）设等差数列｛0｝的首项为外，公差为d,等比数列｛〃,｝首项为4，

根据等差数列和等比数列的性质，运用等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到

关于q,d,4的方程组，求解方程组求出《，乙就可证明结论；（2）由（1）知

根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到k关于m的表示式，由m的取值

范围，求出k的取值范围，从而就可求出求集合｛可4=",+4,1<m<500｝中元素个数。

【详细解答】（1）证明：设等差数列｛%｝的首项为4,公差为d,等比数列｛〃,｝首项

为4,a〉-b、—a、~by—b&-q+d-2b、=a1+2d-4b、，—d-2=0①，

[+2d-44=84-〃「3d,=>l2A-2〃「5d=0②，联立①②得：2A-2q=0,/=4；(2)

klk2

由(1)知〃]=G=@,=Z?j.2~=d.2~,am+=—+(m-1)d+—=md»bk=anl+a1,

22

d.2A-2=md,=2"2=m,Vl<m<500,1<2k~2<500,zz>0<k-2<8,?.2<k<10,

=集合｛k|%=q”+%,l«m4500｝=｛2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,集合｛k也=%+外,

14m«500｝中元素个数是9个。

2、已知等差数列｛“”｝满足2。2+。5=。，%=2%-2。

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）设勿=24，求数列｛〃｝的前n项和（成都市2（）19级高三一诊）

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列前n项和定义与性质；

④求数列前n项和的基本方法。

【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列I。"

的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列｛凡｝的首项，公差的值就可得出数列｛q｝的

通项公式；（2）根据数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列

劭"的前n项和。

【详细解答】（1）设等差数列｛凡）的首项为卬，公差为d,2出+%=0，

3q+6d=O①，q+6d=2q+6d-2②，联立①②解得：q=2,d=-l,.,.数列｛%｝的通项公式

i，nn+3

为4=2+（n-1）x（-l）=-n+3；（2）1/bn=2=2=数列｛"｝的前n项和为

21114（1-下）ii

S=2+2+1H--1——+----■<-----=------=8（1---）=8-----a

n2222‘TI1T2‘T

1—

2

4+1，n为奇数，

Y

3、已知数列｛〃“｝满足：％=