4.3.1一元线性回归模型（第2课时相关系数非线性回归）课件高二下学期数学人教B版选择性

人教B版

数学

选择性必修第二册第四章概率与统计4.3.1一元线性回归模型第2课时相关系数、非线性回归课标定位素养阐释1.结合实例,了解相关系数的统计含义.2.会利用相关系数判断两个变量的相关性.3.会根据数据求非线性回归方程.4.体会数学建模的过程,提升数据分析和数学运算素养.自主预习新知导学一、相关系数

提示:不一定.提示:越小越好.2.(1)相关系数的概念

(2)相关系数的性质①|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是

r>0,y与x负相关的充要条件是

r<0.②|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性

越弱

,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大

,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.③

|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.3.若分别计算具有线性相关关系的甲组数据和乙组数据,得相关系数r甲=0.8,r乙=-0.9,则相关关系较强的是(

)A.甲组数据B.乙组数据C.甲、乙两组数据一样强D.不确定答案:B二、非线性回归1.观察下列表格中的数据.x12345678y1481524374865(1)表格中的x和y具有线性相关关系吗?提示:不具有.(2)直观上看,y与x可以近似地用哪个函数来刻画?提示:y=x2.2.(1)非线性相关关系与非线性回归方程:当变量y与x的关系不是

线性相关关系

时,称为非线性相关关系,所得到的方程称为非线性回归方程.(2)非线性回归方程的求解:一般地,非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测,而回归方程有时可以通过变量替换后,借助求回归直线的过程确定.当然,确定了非线性回归方程之后,也可以利用它进行预测.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)求回归方程前可以不进行相关性检验.(×)(2)利用回归方程求出的值是估计值.(√)(3)相关系数越大,两个变量的相关性就越强.(×)合作探究释疑解惑探究一相关系数的计算【例1】

某工厂1~8月份某种产品的产量x与成本y的统计数据如下表.月份12345678产量/t5.66.06.16.47.07.58.08.2成本/万元130136143149157172183188求y与x的相关系数(精确到0.001),判断y与x是否具有线性相关关系.若有,求出其回归直线方程.解:(1)列出下表.i12345678xi5.66.06.16.47.07.58.08.2yi13013614314915717218318831.363637.2140.964956.256467.2416

90018

49620

44922

20124

64929

58433

48935

344xiyi728816872.3953.61

0991

2901

4641

541.61.解决此类问题的难点是对数据的处理和计算,一般采用列表法,可以有效地避免运算错误.2.判断两个变量是否线性相关,可以利用相关系数r的绝对值的大小来判断.|r|越大,两个变量的线性相关性越强;|r|越小,两个变量的线性相关性越弱.反思感悟【变式训练1】

为了研究3月下旬的平均气温x(单位:℃)与4月份棉花害虫化蛹高峰日y的关系,某地区观察了2018年至2023年的情况,得到了下面的数据.年份201820192020202120222023x24.429.632.928.730.328.9y19611018(1)求相关系数r(精确到0.01);(2)据气象预测,该地区在2025年3月下旬的平均气温为27℃,试估计该地区2025年4月份棉花害虫化蛹高峰日为哪一天.解:列出下表.探究二非线性回归【例2】

在一次抽样调查中,测得样本的5个样本点,数值如下表.x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程.解:作出变量y与x之间的散点图,如图所示.由y与x的数据表,可得y与t的数据表如下.t4210.50.25y1612521作出y与t的散点图,如图所示.非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以先画出已知数据的散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,再采用适当的变量变换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.求非线性回归方程的一般步骤如下.反思感悟【变式训练2】

某电容器充电后,电压达到100V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示,现测得时间t时的电压U如下表.t/s012345678910U/V100755540302015101055试求:电压U关于时间t的回归方程.解:对U=Aebt两边取对数,得ln

U=ln

A+bt,令y=ln

U,a=ln

A,x=t,则y=a+bx,y与x的数据如下表.x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据画出散点图,如图所示,从图中可以看出,y与x具有较好的线【易错辨析】

不理解相关系数的意义而致误【典例】

对四组变量y和x进行线性相关性检验,已知n是观测值组数,r是相关系数.①n=7,r=-0.9545;②n=15,r=0.3812;③n=17,r=-0.4985;④n=3,r=0.9870,则变量y与x具有线性相关关系的是

.(填序号)

错解:因为r越接近于1,线性相关程度越强,所以只有④符合题意.故填④.答案:④以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:两个变量之间的线性相关性强弱是由|r|的大小来决定,而不是由r的大小来决定.正解:相关系数r的绝对值越大,线性相关性越强.故填①④.答案:①④变量之间的线性相关系数r具有如下性质:(1)|r|≤1;(2)|r|越大,变量之间的线性相关性越强;|r|越小,变量之间的线性相关性越弱;(3)当r>0时,两个变量正相关;当r<0时,两个变量负相关.防范措施【变式训练】

若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验,得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72,-0.90,则线性相关性最强的一组是

.(填甲、乙、丙中的一个)

解析:|r|越接近于1,线性相关性越强.故填丙.答案:丙随堂练习1.已知y关于x的回归直线方程为

=-0.21x+2.3,则(

)A.相关系数r>0 B.相关系数r<0C.相关系数r>1 D.相关系数r<-1解析:由回归直线方程可知,y与x负相关,故相关系数r<0.又|r|≤1,故选B.答案:B2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),得散点图①,其相关系数为r1,对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,10),得散点图②,其相关系数为r2,则由这两个散点图可以断定(

)图①

图②

A.r1>0,r2>0 B.r1>0,r2<0 C.r1<0,r2>0

D.r1<0,r2<0解析:由图①可知,x与y负相关,故r1<0;由图②可知,u与v正相关,故r2>0.答案:C答案:AD4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥5,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=3x-2上,则这组样本数据的相关系数为

.

答案:15.如图,在(x,y)的五组数据中,去掉

后,剩下的四组数据的相关系数增大.

解析:去掉点(4,10)后,其余四点大致在一条直线附