统计学 第9章 方差分析

38周后小鸡个体增重(克)yij小鸡序号j123456yi.y.j1y11y12…y1n2.y21y22…y2n2.MMMmym1ym2…ymnmH0:μ1=μ2=…=μm方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否独立，而实现总变差平方和(SST)=组间变差平方和(SSR)+组内变差平方和(SSE)（9.1）SST=(9.2)SSR=(9.3)SSE=(9.4)H0：μ1=μ2=…=μm应较小；若式(9.7)较大，当大过一定界限时，应认为样本提供了拒绝H0的较强的证据。可以证明，F统计量式(9.7)服从分子自由度为m−1，分母自由度为n−m的F_分布。H0：μ1=μ2=μ3=μ4H1：μ1,μ2,μ3,μ4不完全相同=3627988.333－3620876式中MSR叫做组间均方差，MSE叫做组内均方差。F值m－1=3MSR=2370.714n−m=17MSE=2341.863n－1=20验统计量的样本值落入接受域，所以不能拒绝H0，即没有得到足以表明四种配方的饲料下3.方差分析中的“因子”和“处理”（2）处理，也称水平或等级。进行方差分析时，往往把因子分成几种不同的因B子的各种处理BjB1B2…BCy111y121…y1c1AAiA1My11nMy12n…My1cnMMMMAryr11Myr1nr1yr21Myr2nr2……yMyrcn表中，yijk（i=1,2,…,r;j=1,2,…,c;k=1,2,…,nij）是因变量y的观测数据（是数量型变量A和B是对y的两个影响因素（它们可以是数量型分别是B1，B2，…Bc；在每一个AiBj组格内（i=1,2,…,r;j=1,2,…,c）抽取一个容量为nij的简单随机样本，样本单位的序号用足标k表示。配方中的氧化剂，B1，B2，…Bc是氧化剂的剂量；y是橡胶的定伸强力，yijk剂量与第j种氧化剂剂量搭配下抽取的第k个橡胶样品的定伸强力。再如，A为某种新型饮料的颜色，A1，A2，…Ar市，B1，B2c是C个不同城市，y是超级市场饮料的销售量，yijk是第i种颜色与第j个城市搭配下抽取的第k个超级市场的饮料销售个处理是rc个总体，即Ai和Bj的每一种搭配形成的组格都是一个总体（随机变量yij）。对一个组格总体的nij个观察yij1,yij2,…,yijnij才是随机样本。我们把Ai与Bj的搭配所形成的组格总体即随机变量Yij的期望值记作μij，于是可以写B因子的各种处理BjB1B2…BcAAiA1μ11μ12…μ1cμ1.A2μ21μ22…μ2cμ2.MMMMMArμr1μr2…μrcμr.μ.1μ.2…μ.cμ..表中，横行的各行平均值μi.表示在A的第i种处理下对B的各种处理产生的期望结果求平均（即“i.”表示在i下对j求平均纵栏的各栏平均值μ.j表示在B的第j种处理下时对i和j求平均。它们分别定义为ⅱ)检查因子对的变量y是否显著地有影响；这也就是要检查因子B的各种处理对y的作用是否显著地有差别；或者说，也就是要检查各个μ.j是否显著地不ⅲ)检查因子A和因子B的交互作用对变量y是否显著地有影响；这也就是要检查因子A的r种处理与因子B的c种处理的各种搭配下的交互作用对y的作用是否显著地有差μ..是μij的基础水平，在μ..的基础上加上（正或负的）三种作用量，最终形成了μij。这就μij=μ..+Ai对y的影响量+Bj对y的影响量+Ai与Bj的交互影响量（9.11）首先，Ai对y的影响量。在A的第i种处理下，由于B采取不同的处理，会发生不同的数据μi1,μi2,…，μic。于基础水平μ..的变化量。于是，这个影响量应该是μi.−μ..。其次，Bj对y的影响量。再次，Ai与Bj对y的交互影响量对y的交互影响量，它应该是μij−[μ..+(μi.−μ..)+(μ.j−μ..)]=μij−μi.−μ.j+μ..μi.−μ..αiμj−μ..μij−μi.−μ.j+μ..ij（二）随机变量yijk的数据结构表9.4中yijk是在Ai与Bj搭配的组格总体中抽取容量为nij的简单随机样本的第k个分上加εijk便是yijk的数据结构。因为yijk使用了三重足标，它表示ij格内的第k个分量，相应地，式（9.16）中的各个μ也应针对第k个分量，使用三重足标。事实上，各种μ值对于ijyijk=+αi+ij+εijk(9.17)其中，εijk是随机项，E(εijk)=0。(1)μij.ij.=yijk(9.19)（5）εijk=yijk−μij.于是，用样本值表示的yijk的结构为yijk=y...+(yi..−y...)+(y.j.−y...)+(yij.−yi..−y.j.+y...)+(yijk−yij.)H01:μ1.=μ2.=…=μr.=μ.(或:α1=α2=…=αr=0)H02:μ.1=μ.2=…=μ.c=μ.(或:β1=β2=…=βc=0)H03:μij−[(μi.−μ.)+(μ.j−μ.)]=μ.(∀i,j)（或:(αβ)ij=0(∀i,j)）们便全为0，这是因为，只有在条件αi=0下，才有各个αi相等，所以各个αi相等等价于它们全为0。在H02和H03中同理.ijk等号两边平方时，等号右边得到的各个叉积项通过对i、j、k求和都成为0，所以得到式(9.25)。式中的五项从左到右顺序称做：总离差平方和（SSTA因子处理间离差平方和（SSAB因子处理间离差平方和（SSBAB交互作用处理间离差平方和（SAB）组格式(9.25)中的总离差平方和SST，A因子处理间离差平方和SSA，B因子处理间离差平方和SSB，AB交互作用处理间离差平方和SAB，组格内离差平方和SSE分别除以它们各总方差MST=(9.26)A因子处理间方差MSA=(9.27)B因子处理间方差MSB=(9.28)AB交互作用处理间方差MAB=(9.29)组格内方差MSE=(9.30)(1)针对H01(2)针对H02(3)针对H03当得到大的FA(FB,FAB)值时，拒绝零假设H01(H02,H03)。确定自由度的一般规则是：所研究的数据项数减：约束条件数，再减：用样本估计量(1)总离差平方和SST所研究的数据yijk的项数是nij，若就无限总体来建立离差平方和，应当是总体的一个参数μ…被样本估计，所以自由度成为nij−1。也可以这样解释：在2中，y…作为和yijk的数值给定。在这样的约束条件下，yijk的数值只有nij−1个可以自由选取。（2）A因子处理间离差平方和SSA该离差平和实际上只对i求和，因此数据项数为r。对于无限总体的离差平方和 2来说，没有约束条件，自由度是r。现在，参数μ…被样本估计，故应该（3）B因子处理间离差平方和SSB（9.35）首先9.35）中数据yij.，有rc项，没有其他约束条件，自由度是rc其次，用y...估计μ…,式（9.35）变成自由度成为rc−1。再次，用yi..估计μi..，用y.j.估计μ.j.，式（9.36）变成式（9.34）。这时，注意到yi..虽有r个，但它的均值已被确定应等于y...，所以，能够自由取值的是r−1个，也就是能够不对yij.的取值产生约束的是r−1个；同理，用y.j.估计μ.j.后能够不对y.j.的取值产生约束的是c−1个。所以，SAB的自由度应为rc在无限总体中，这个离差平方和是2数据yijk共在总体中没有约束条件，自由度是nij。参数，共有rc个，当它们分别用样本的yij.来估计时，自由度成为nij−rc即二因子方差分析的第一个假定前提是：假定表(9.4)各组格的无限总体都是正态随机变量。也有的文献用另一种类似的说法：假定各个yijk(或εijk)为独立同方差的正态随机变量。或(9.14)中，才把μij数据结构的基准水平选作出式(9.25)的过程中使影响量的叉积项对i、df——————————————9.1某企业为了扩大市场占有率，为开展产品是否显著地有差异？(α=0.05）1234569.2在农业科学实验中，常将各块试验田按所考察因素的处理水平的多少划分成若干一二三四五程度（按父母中较高者，文化程度记作：A——大专以上，B——高中，C——初中，D（500，女，A498，男，A540，男，A530，女，A）（450，女，A400，女，A560，男，A460，男，A）（510，男，A520，女，A524，男，A450，男，B）（490，女，B430，男，B520，男，B540，女，B）（410，男，B390，男，B580，女，B320，男，B）（430，男，B400，女，B550，女，B370，女，B）（380，男，B470，男，B570，女，C320，女，C）