湘教版七年级数学上册压轴题攻略专题14思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题14思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 1【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 4【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 8【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 12【过关检测】 17【典型例题】【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为cm．【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm2．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是．3．（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有不重合的四个点，，则的长为．【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）已知，，平分，则等于．【变式训练】1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）已知，，则的度数是．2．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为(2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，在的内部，平分平分．

(1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【变式训练】1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．

(1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【过关检测】一、单选题1．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，则线段的长度为（

）A． B． C．或 D．以上都不对2．（2023春·六年级单元测试）已知，平分，，则的度数为（

）A． B．C．或 D．或3．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或二、填空题4．（2023秋·七年级课时练习）已知线段，在直线上作线段，使得，若D是线段的中点，则线段的长为．5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为．6．（2022秋·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．（1）如图1，若，则；（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．①则；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．三、解答题7．（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）如图，是线段上的两点，且是的中点，若．

(1)求线段的长度．(2)若是线段上一点，满足，求线段的长度．8．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．9．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；10．（2023·全国·九年级专题练习）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC的度数为x°，我们就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．

专题14思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 1【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 4【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 8【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 12【过关检测】 17【典型例题】【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为cm．【答案】3或21【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：假设端点B和端点D重合如图，设较长的木条为，较短的木条为，∵M、N分别为、的中点，∴，，①如图1，不在上时，（cm），②如图2，在上时，（cm），综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm，故答案为：3或21．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm【答案】C【分析】根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：∵线段，为的中点，∴当点如图1所示时，，；当点如图2所示时，∴线段的长为1cm或5cm.故选：．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是．【答案】或【分析】分两种情况画出图形求解即可．【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，

（厘米）；（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，

（厘米）．所以两根木条的小圆孔之间的距离是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．3．（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有不重合的四个点，，则的长为．【答案】6或10或16【分析】由于没有图形，故四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：

，，，，II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：

，III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：

，点A、D重合，不合题意，IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：

，点A、D重合，不合题意，综上所述：的长为6或10或16故答案为：6或10或16．【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到的长度．【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）已知，，平分，则等于．【答案】或【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解．【详解】解：当如图所示时：

平分，，，，当如图所示时：

平分，，，．故答案为：或.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）已知，，则的度数是．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别求解即可得到答案．【详解】解：①如图，当在的内部时，

，，，；②如图，当在的外部时，

，，，；综上可知，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是【答案】或/50或30【分析】分两种情况：射线在的上方和射线在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别计算即可．【详解】解：如图1，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；如图2，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；综上可知的度数是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．【答案】或【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时．【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴，故答案为：4；②∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；（2）当点C在线段上时，由（1）可得：；当点C在A左边时，，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；当点C在点B右边时，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；综上：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为(2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（2）由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，即可求解．【详解】（1）解：，，，又点、分别是、的中点，，，；故答案为：；（2）解：点、分别是、的中点，，，；（3）解：当点在线段上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根据M，N分别是，的中点，即得，故；（2）①由M，N分别是，的中点，知，即得，故；②由，知，即得,故；【详解】解：（1）M，N分别是，的中点故答案为：6（2）①M，N分别是，的中点故答案为：②故答案为：【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，在的内部，平分平分．

(1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得和的度数，再求得，进一步计算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出结论；【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论，即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半．故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．【变式训练】1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．

(1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论．【详解】（1）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以

（2）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以（3）设，则，，因为所以因为所以解得因为所以.【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键．2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．

（2）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．（3）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，则线段的长度为（

）A． B． C．或 D．以上都不对【答案】C【分析】分点在点的左边和点的右边两种情况，分别画出图形，结合线段中点的性质即可求解．【详解】解：点在点的右边时，如图所示，∵，∴，∵是的中点，∴，∴，点在点的左边时，如图所示，∵，∴，∵是的中点，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了线段的和差关系，线段的中点的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．2．（2023春·六年级单元测试）已知，平分，，则的度数为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形求出的度数即可．【详解】解：当在的外部时，如图所示：∵，平分，∴，∵，∴；当在的内部时，如图所示：∵，平分，∴，∵，∴；综上分析可知，的度数为或，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考出了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．3．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．【详解】解：∵，射线为的三等分线．∴或，∴，∴的度数为或．故选：C．【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．二、填空题4．（2023秋·七年级课时练习）已知线段，在直线上作线段，使得，若D是线段的中点，则线段的长为．【答案】1或3【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案；②在线段的延长线上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案．【详解】解：根据题意分两种情况，①如图1，∵，，∴，∵D是线段的中点，∴；②如图2，∵，，∴，∵D是线段的中点，∴．∴线段的长为1或3．故答案为：1或3．【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为．【答案】或【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．【详解】解：是线段的中点，，，点是线段的三等分点，①当时，如图，；②当时，如图，．所以线段的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．6．（2022秋·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．（1）如图1，若，则；（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．①则；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．【答案】/度/度或【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；（2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．∵∴,故答案为：（2）①∵，是的两条三分线，，∴，故答案为：；②∵，，是的两条三分线，∴，由旋转得：，分两种情况：当是的三分线，且时，可得，∴，∴，即；当是的三分线，且时，可得，∴，即；故答案为：或．【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．三、解答题7．（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）如图，是线段上的两点，且是的中点，若．

(1)求线段的长度．(2)若是线段上一点，满足，求线段的长度．【答案】(1)18(2)6或10【分析】（1）设，则，则，根据中点可得，根据，列出方程求解即可；（2）先求出，．再分以下种情况：①当点在线段上时，②当点在线段上时．【详解】（1）解：设，则．是的中点，．，由题意得，解得，．（2）解：由（1）可知，．分以下两种情况：①当点在线段上时，；②当点在线段上时，．综上所述，线段的长度为6或10．【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的和差关系，解题的关键是根据图形和题目所给数量关系，得出．8．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，；答：的度数为．（2）解：是的平分线．，是的平分线，，，，答：的度数为．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，当，，；当，，【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．9．（2022秋·辽宁丹东·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=A