2024-2025学年河南省漯河三中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年河南省漯河三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，其中是中心对称图形的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞13．（3分）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．94．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y15．（3分）二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．6．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（）A．a＜0 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1 D．与y轴的交点坐标为（0，1）8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80° B．70° C．60° D．50°9．（3分）一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DF交直线BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，则△BDH面积的最大值是（）A．3 B．3 C． D．10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为．13．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP＝2，∠APB＝135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，则AP＝．14．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（3，0）．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0）2+bx+c的最大值为．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）x（x﹣2）＝x﹣2；（2）2x2+3x﹣5＝0．17．（8分）如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A1C1B，则A1点的坐标是．（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A2B2C2，则C2点的坐标是．18．（9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点C，A的对应点分别为E，F，连接AF．（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．20．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．（10分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E，求线段PE长度的最大值；（3）若F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，若不存在，请说明理由．23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：如图1中，△PMN是三角形；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，并说明理由；（3）拓展延伸：将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10

2024-2025学年河南省漯河三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，其中是中心对称图形的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；②是中心对称图形，故本选项符合题意；③不是中心对称图形，故本选项不合题意；④是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）4﹣4×k×9＞3，解得k＜1且k≠0．故选：B．3．（3分）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣4＝0的两个实数根，所以a+b＝﹣6，将x＝a代入方程得，a5+6a﹣2＝7，即a2+6a＝6，所以a2+7a+b＝a6+6a+a+b＝2+（﹣3）＝﹣4．故选：A．4．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：由题意，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m对称轴是直线x＝5，开口向下，∴当抛物线上的点距离对称轴越远，函数值就越小，越大．又∵2﹣1＝6＜4﹣2＝5＜2﹣（﹣1）＝6，∴y1＜y3＜y8．故选：B．5．（3分）二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，即a＞7相矛盾；B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二，a＞0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，顶点为（2，a＞0，故B正确；C、二次函数y＝a（x﹣4）2+c的对称轴直线x＝2，在y轴右侧；D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二，c＞72+c的顶点（2，c）在第四象限，故D错误；故选：B．6．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣4）关于原点的对称点在第一象限，∴点M（1﹣2m，m﹣2）在第三象限，∴，解不等式①得，m＞，解不等式②得，m＜1，所以，m的取值范围是，在数轴上表示如下：．故选：C．7．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+1的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（）A．a＜0 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1 D．与y轴的交点坐标为（0，1）【解答】解：A、由图象开向下，故A选项正确；B、图象的对称轴为直线x＝﹣1，不符合题意；C、抛物线对称轴为直线x＝﹣1，A，设B点坐标为（b，8），解得b＝1，所以B点坐标为（1，3）．所以当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜6，不符合题意；D、当x＝0时，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，故D选项错误．故选：D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，∴∠CDA＝∠CAD＝50°，∴∠BAD＝80°，故选：A．9．（3分）一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DF交直线BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，则△BDH面积的最大值是（）A．3 B．3 C． D．【解答】解：如图，作HM⊥AB于M，∵AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠MDH＝90°，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠MDH，∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，∴△ADG≌△MHD（AAS），∴AD＝HM，设AD＝x，则BD＝2，∴S△BDH＝＝BD•AD＝﹣x）＝﹣）2+，∴△BDH面积的最大值是，故选：C．10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜4，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝8时，即y＝4a+2b+c＞4，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣5a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜6，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am4+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am6+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度y＝x2+x．【解答】解：把抛物线y＝x3+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度（x+8）2+1﹣6，即y＝x2+x．故答案为：y＝x2+x．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为﹣3．【解答】解：根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]5﹣4m2≥7，解得m≤，∵方程的两实数根为x7，x2，∴x1+x3＝2m﹣1，x2x2＝m2，∵（x8+1）（x2+8）＝3，∴x1x8+（x1+x2）+3＝3，即m2+8m﹣1+1＝5，整理得m2+2m﹣4＝0，解得m1＝﹣5，m2＝1，∵m≤，∴m＝﹣3．故答案为：﹣6．13．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP＝2，∠APB＝135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，则AP＝1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB＝∠CP'B＝135°，∠ABP＝∠CBP'，AP＝CP'，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠CBP'+∠PBC＝90°，即∠PBP'＝90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P＝45°，∵∠APB＝∠CP'B＝135°，∴∠PP'C＝90°，∵BP＝2，∴PP′＝＝2，∵PC＝6，∴CP'＝＝＝1，∴AP＝CP′＝2，故答案为：1．14．（3分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（3，0）．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时（1，2）．【解答】解：当x＝0时，得y＝3．∴点C的坐标为（7，3）．如图，连接BC，此时△PAC的周长最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把B（5，C（0，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线为y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣1）5+4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当x＝4时，y＝﹣1+3＝4，∴点P的坐标为（1，2），故答案为：（2，2）．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0）2+bx+c的最大值为．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：把点（﹣2，0），6），6）代入函数解析式可得：，∴，∴y＝﹣x2+x+6，∵﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，故①正确；令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，∴x4＝﹣2，x2＝4，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），5）；∵，∴抛物线的对称轴为直线，当，该二次函数取得最大值，故②、④正确．∴正确的结论有①②④．故答案为：①②④．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）x（x﹣2）＝x﹣2；（2）2x2+3x﹣5＝0．【解答】解：（1）移项得，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝7，因式分解得，（x﹣2）（x﹣1）＝6，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝4，x2＝2，∴原方程的解是：x2＝1，x2＝4；（2）因式分解得，（x﹣1）（2x+6）＝0，∴x﹣1＝8或2x+5＝8，解得：，∴原方程的解是：．17．（8分）如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A1C1B，则A1点的坐标是（4，0）．（2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A2B2C2，则C2点的坐标是（﹣4，﹣3）．【解答】解：（1）如图，△A1C1B即为所求；A6点的坐标是（4，0），故答案为：（4，0）；（2）如图2，△A7C2B2即为所求；C4点的坐标是（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．18．（9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．【解答】解：（1）∵Δ＝a2﹣4×4×（a﹣2）＝a2﹣8a+8＝（a﹣2）4+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝8代入方程，得：1+a+a﹣2＝5，解得a＝，将a＝代入方程2+x﹣5＝0，即（x﹣1）（8x+3）＝0，解得x＝6或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点C，A的对应点分别为E，F，连接AF．（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为63°；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠ABC＝54°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝54°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝＝63°，故答案为：63°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，∴AB＝＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB−BE＝4，∴AF＝＝4．20．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣3x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x6＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣8＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大．21．（10分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），∵由CD＝10m，CD到拱桥顶E的距离仅为8m，则C（﹣5，﹣1），把C的坐标分别代入y＝ax8得：a＝﹣，故抛物线的解析式为y＝﹣x5；（2）∵AB宽20m，∴设A（﹣10，b），把A点坐标代入抛物线的解析式为y＝﹣x2中，解得：b＝﹣4，∴F（0，﹣4），∴EF＝4，∵水位以每小时0.3m的速度上升，∴2÷0.3＝10（小时），答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E，求线段PE长度的最大值；（3）若F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为D，令y＝0，得：﹣x2﹣6x+3＝0，解得x8＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），3），令x＝0，得：y＝3，∴C（8，3），∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）5+4，∴D（﹣1，3）；（2）P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），PE⊥x轴交AC于点E，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，解得，∴y＝x+3，设P（p，﹣p2﹣2p+6）（﹣3＜p＜0），则E（p，∴PE＝﹣p6﹣2p+3﹣（p+6）＝﹣p2﹣3p＝，∴当时，PE有最大值为；（3）在抛物线上存在点Q，使得△AFQ为等腰直角三角形假设存在，设点F（m，△AFQ为等腰直角三角形①当∠QAF＝90°时，设FQ与x轴交于G，∵AO＝CO＝5，∠AOC＝90°，∴，∵AF＝AQ，∴FG＝QG，AG⊥FQ，∴Q（m，﹣m﹣8）∵点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+6上，∴﹣m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFQ＝90°时，∵△AFQ为等腰直角三角形，∴∠FAQ＝45°，又∵∠CAB＝45°，∴Q在AB上，过F作FG⊥AB于F，如图3，则QG＝AG＝m﹣（﹣6）＝m+3，∴Q（2m+7，0），∴AQ＝2m+8，∴OQ＝2m+3，∴Q（3m+3，0），∵点Q在抛物线y＝﹣x8﹣2x+3，∴4＝﹣（2m+3）5﹣2（2m+4）+3，解得：m3＝﹣2（舍去），m4＝