工程力学第4章

第4章平面任意力系4.1平面任意力系的简化及分析

4.2平面任意力系的平衡方程

思考题

习题

力系中各力的作用线任意分布在同一平面内，称为平面任意力系。平面任意力系是工程实际中最常见的一种力系。如图4-1所示的支架式起吊机，受到主动力G1、G2以及约束力FA.FBx、FBy的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面任意力系。又如图4-2(a)所示的拖车，它虽然不是受平面任意力系的作用，但因所受的力是对称于通过重心的纵向铅垂平面，故可将该力系简化到此平面上，当作平面任意力系处理，如图4-2(b)所示。图4-1图4-24.1平面任意力系的简化及分析

4.1.1平面任意力系向一点简化设在刚体上作用有平面任意力系F1，F2，…，Fn，分别作用于Ａ1，Ａ2，···，Ａn各点。如图4-3(a)所示。在该平面内任取一点O，O称为简化中心。根据力的平移定理，将各力平移到O点，可得到一个作用于O点的平面汇交力系F1/，F2/，…，Fn/和一个由附加力偶组成的平面力偶系Ｍ1，Ｍ2，…，Ｍn，如图4-3（b）所示。这样，就将原力系等效替换为两个基本力系:平面汇交力系和平面力偶系。图4-3

平面汇交力系F1,F2,…,Fn可合成为一个通过Ｏ点的合力FR′,如图4-3（c）所示。根据平面汇交力系的合成方法,这个力为（4-1）

如采用解析法,则（4-2）

（4-3）

附加的平面力偶系M1,M2,…,Mn可合成一个合力偶,这个合力偶的力偶矩为（4-4）

式中，为主矢的作用线与轴所夹的锐角。

4.1.2平面任意力系的简化结果讨论平面任意力系向一点简化，可得到一个主矢FR’和一个主矩MO，但这不是简化的最终结果，简化的最终结果通常有以下四种情况。(1）FR’≠０，MO≠０:表明原力系与一个力等效。根据力的平移定理的逆过程，可以将FR’和MO进一步简化成为一个合力FR。简化过程如图4-4所示，合力FR的作用线到简化中心Ｏ的距离为d,可由下式计算:图4-4(3）FR’＝０，MO≠０:表明原力系与一个力偶等效。由于主矢的大小和方向与简化中心的选取无关，因此原力系与一个力偶等效。原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO（F），此时主矩ＭO与简化中心的选择无关。(4）FR’＝０，MO＝０:表明原力系为平衡力系。刚体在此力系作用下处于平衡状态。例4-1铆接薄钢板，在铆钉Ｂ、Ｃ、Ｄ处分别受到力F1.F2和F3的作用,如图4-5（a）所示。已知F1＝100N，F2＝50N，F3＝200N,图中尺寸单位为mm。求：（1）力系向A点、C点的简化结果；（2）力系简化的最终结果；（3）以上三种情况的简化结果是否等效。图4-5解（1）力系向任意一点简化,可得一个力和一个力偶,这个力为力系的主矢,它等于原力系各力的矢量和。由式（4-2）,有主矢FR′的大小和方向分别为:由式（4-4）可得，力系对A点和C点的矩分别为:计算结果为正值，说明MA.MC均为逆时针转向，如图4-5(b)、4-5（c）所示。（2）由于F’R≠０,所以力系简化的最终结果为一合力FR’,FR的大小和方向与主矢相同。合力作用线距C点的距离为（3）力系上述三种简化结果,从形式上是不同的,但都与原力系等效,所以,三种情况的简化结果是等效的。（3）该力系上述的三种简化结果,从形式上是不同的,但都与原力系等效。所以,三种情况的简化结果是等效的。4.1.3固定端约束固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示,夹紧在卡盘上的工件（图(a)）,固定在刀架上的车刀（图(b)）,嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质可知,固定端约束能限制物体沿任何方向的移动,也能限制物体在约束处的转动。所以,固定端Ａ处的约束反力可用两个正交的分力FAx、FAy和力矩为MA的力偶表示（图4-6(d)）。图4-64.2平面任意力系的平衡方程4.2.1平面任意力系的平衡方程1.基本方程平面任意力系向作用面内任一点Ｏ简化，可得到一个主矢FR′和一个主矩MO。如果FR′＝０，MO＝０，则平面任意力系必平衡；反之，如果平面任意力系平衡，则必有FR′＝０，MO＝０。因此，平面任意力系平衡的充要条件是:故得平面任意力系的平衡方程为

(4-5)即所有各力在x轴和y轴上的投影的代数和分别为零,且各力对平面内任意一点的矩的代数和也为零。式(4-5)称为平面任意力系平衡方程的基本形式,它含有三个独立的方程,因而最多能解出三个未知量。2.二矩式二矩式的平衡方程为(4-6)附加条件:Ａ、Ｂ两点的连线不能与Ｏx轴垂直。3.三矩式三矩式的平衡方程为(4-7)图4-74.2.2平面特殊力系的平衡方程1.平面汇交力系的平衡方程如前所述,平面汇交力系就是力的作用线汇交于一点的平面力系,如图4-8（a）所示。显而易见,平衡方程（4-4）中∑MO≡0,则其独立的平衡方程为（4-8）

图4-82.平面平行力系的平衡方程各力的作用线处于同一平面内且互相平行的力系,称为平面平行力系。它是平面任意力系的一种特殊情况。在基本式中,坐标轴是任选的。现取y轴平行于各力,如图4-8（b）所示,则平面平行力系中各力在x轴上的投影均为零,即∑FR≡0。同样,平面平行力系只有两个独立的平衡方程,即（4-9）

不难看出,平面平行力系的二矩式平衡方程为（4-10）

其中Ａ、Ｂ两点的连线不能与各力的作用线平行。平面平行力系只有两个独立的方程,因而最多能解出两个未知量。3.平面力偶系的平衡方程平面力偶系是特殊的力系,根据力偶的性质,在基本方程中的投影方程自然满足,所以只有一个方程,就是4.2.3平面任意力系平衡方程的解题步骤（１）根据题意,选取适当的研究对象；对所选研究对象进行受力分析并画受力图。（２）选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。一般情况下,水平和垂直的坐标轴可以不画,但其它特殊方向的坐标轴必须画出。（３）列平衡方程,求解未知量。列力矩方程时,通常选未知力较多的交点为矩心。（４）结果分析或校核。例4-2摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN,载荷G2＝12kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距离x＝4ｍ时，拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。解:（1）因已知力、未知力均汇集于横梁AB之上，故取横梁AB为研究对象，并画受力图如图4-9（b）所示。图4-9（2）列平衡方程并求解。取未知力FAx、FAy的交点A为矩心,有求出FB之后，分别取x、y轴为投影轴，列投影方程并求解:（3）讨论：因x变化时，FB.FAx、FAy也随之变化，如考虑强度，则必须从全过程分析。例4-3如图4-10（a）所示，外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kＮ·m，及载荷集度为q＝10kＮ／m的均布载荷。求支座A.B处的反力。解（1）取水平梁AB为研究对象,画受力图如图4-10（b）所示。均布载荷可简化为一合力，其大小等于载荷集度与载荷跨度的乘积，即F＝４q，其作用线在AB的中点，如图4-10（b）中F所示。图4-10（2）选取直角坐标系如图4-10（b）所示,列平衡方程并求解如下:例4-4塔式起重机如图4-11所示。设机架自重为G,重心在Ｃ点,与右轨距离为e,载重W,吊臂最远端距右轨为l,平衡物重Q,离左轨Ａ的距离为a,轨距为ｂ。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。解取塔式起重机为研究对象,作用在起重机上的力有载重W、机架自重G、平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力FA和FB,这些力构成了平面平行力系,起重机在该平面平行力系作用下平衡。（1）满载时:W=Wmax，Q=Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状态，A处悬空，FA＝０，受力图如图4-11（b）所示。则得（2）空载时:W=0，Q=Qmax，机架可能绕Ａ点左翻，在临界平衡状态，Ｂ处悬空，FB＝０，受力图如图4-11（ｃ）所示,则∑MＡ(F)＝０

故平衡锤Q的范围应满足不等式

思考题

4-1.

汽车司机操纵方向盘时，可用双手对方向盘施加一力偶，也可用一只手对方向盘施加一个力。问这两种操作方式对汽车的行驶来说，效果相同吗？这能否说一个力与一个力偶等效？4-2.如思4-2图所示，在刚体上A、B.C三点分别作用三个大小相等的力F1、F2、F3，试问此刚体是否平衡？若不平衡，其简化的最终结果是什么？思4-2图

思4-3图

4-3.

由4个力组成一平面力系如思4-3图所示，已知F1=F2=F3=F4，问力系向A点和B点简化的结果是什么？两者是否等效？4-4有一绞车，三臂互成120°且等长，如思4-4图所示，其中F1=F2=F3=F，且各与臂垂直。试问此三力向铰盘中心简化的结果是什么？思4-4图

4-5如思4-5图所示三铰拱，在构件CB上作用有力偶M图（a）和力F图（b）。当求铰链A、B.C的约束反力时，能否将力偶M或力F分别移到构件AC上？为什么？思4-5图

4-6.

设平面任意力系向一点简化后为一合力。问能否找到一个点为简化中心，使力系简化为一力偶。4-7.刚体受力如思4-7图所示，当力系满足方程∑Fy=0，∑MA(F)=0，∑MB(F)=0时，刚体肯定平衡吗？思4-7图

4-8匀质刚体AB重G，在不计自重的三根杆支持的位置上平衡，如思4-8图所示，如需求A.B处所受的约束反力，试讨论在列平衡方程时应如何选取投影轴和力矩中心。思4-8图

习

题

4-1如图所示的一平面任意力系,已知F1=150N,F2=200N,F3=300N,F=F′=200N。试将力系向O点简化,并求该力系的合力大小及其与原点O的距离d。题4-1图

4-2如图所示的一平面任意力系，每方格边长为10cm，F1=F2=10N，F3=F4=

。试求该力系的最后简化结果。

题4-2图

4-3梁AB用三根支杆支承,如图所示。已知F1=30kN,F2=40kN,q=20kN/m,M=30kN·m,l＝4ｍ,h＝１ｍ。试求三根支杆的约束反力。题4-3图

4-4如图所示，在AB梁上作用有四个力组成的平面平行力系。试问此力系平衡吗？题4-4图

4-5如图所示,已知q、a且F=qa、M=qa2。求图示各梁的支座反力。图4-5图

4-6某飞机的操纵机构如图所示。已知气动力的合力