2024-2025学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省萍乡市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足1+iz=1−i，则|z|=(

)A.22 B.2 C.22.已知集合A={x|4−xx−1>0}，B={x|y=ln(a−2x)}，若A∩B={x|1<x<2}A.6 B.4 C.−6 D.−43.已知直线a，b与平面α满足b⊂α，a⊄α，对于下列两个命题：①“a//b”是“a//α”的充分不必要条件；②“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件，判断正确的是(

)A.①，②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题 D.①，②都是假命题4.函数f(x)=2cosxln(eA. B.

C. D.5.已知α,β∈(0,π2)，且sinα=45，cosA.8−3515 B.65−86.已知平面向量a=(m,3)，b=(−1,2)，m∈R，若(a−b)⊥b，则A.(1,2) B.(1,3) C.(−12,1)7.已知函数f(x)=|log3x|,x>0,3x,x≤0,若函数g(x)=[f(x)]A.(0,1] B.(0,32] C.[1,+∞)8.已知数列{an}是等比数列，且a1=2，4a2，2a3，a4成等差数列.若bA.(0,1) B.(12,1) C.(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则(

)A.ca>cb B.ac>10.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，且图象关于点(2π3,0)中心对称，将f(x)的图象向右平移πA.f(x)在区间(0,5π12)上单调递减

B.g(x)在区间(−5π6,π6)上有两个极值点

C.f(x)的图像与g(x)的图像关于直线11.已知函数f(x)=x5+2x3+3x，函数g(x)的定义域为R，且g(x)在区间(−∞,0]上单调递减，若g(x+2)A.g(f(x))的图像关于y轴对称

B.f(g(x))的图像关于原点对称

C.若g(f(x2+2x+3))>g(f(a−2))恒成立，则a<0或a>4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正数a，b满足1a+3b=113.用铁水灌注上、下底面的边长分别为2cm和6cm的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为23cm，则所需铁水的体积为______.(灌注过程中铁水无额外损耗14.设0<θ<π2，且cosθ+sinθ+(cosθ−sinθ)2=m(cosθ+sinθ+1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点．

(1)证明：E，B，F16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B，CD=3AD=3，BC=6，cosB=33．

(1)求四边形ABCD的周长；

17.(本小题15分)

已知首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且an+12=Sn+1+Sn．

(1)求数列{an}的通项公式；18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−1x−lnx+1．

(1)证明：f(x)的图象与x轴相切；

(2)设g(x)=f(x)+aexx−1(a∈R)．

(i)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；

(ii)19.(本小题17分)

定义：多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中P为多面体M的一个顶点，Qi(i=1,2,…,k,k≥3且k∈N∗)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQ

参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.D

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.AD

12.12

13.10414.[315.解：(1)证明：如图，取DD1的中点G，

连接AG，GF，

则CD/​/GF，CD=GF，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD/​/AB，CD=AB，

∴AB//GF，AB=GF，

∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG//BF，

∵AE=D1G，AE//D1G，

∴四边形AED1G是平行四边形，∴AG//ED1，

∴BF//ED1，∴E，B，F，D1四点共面．

(2)如图，延长D1E交DA的延长线于点M，

延长D1F交DC的延长线于点N，连接BD，BD1，MN，则点B在MN上，

不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

则DM=DN=4，BD=BM=BN=216.解：(1)由cosB=33，∠D=2∠B，可得cosD=cos2B=2cos2B−1=−13，

在△ACD中，．

所以在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB=12，

即AB2+6−26AB⋅33=12，整理得AB2−22AB−6=0，解得AB=32(舍负)17.解：(1)因为a1=1，an>0，且an+12=Sn+1+Sn①，

所以a22=S2+S1=2a1+a2，解得a2=2，

当n≥2时，an2=Sn+Sn−1②，

①−②可得an+12−an2=an+1+18.解：(1)证明：易知f(x)的定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=1x2−1x=1−xx2，

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

又f(1)=0，

所以曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=0，

即f(x)的图象与x轴相切．

(2)(i)因为g(x)=f(x)+aexx−1=−1x−lnx+aexx，

可得g′(x)=aex(x−1)x2+1x2−1x=(aex−1)(x−1)x2(x>0)，

当0<a<1e时，

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当1<x<−lna时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>−lna时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当1e<a<1时，

当0<x<−lna时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当−lna<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当a=1e时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；

当a≥1时，

当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

综上，当0<a<1e时，函数g(x)的单调增区间为(0,1)和(−lna,+∞)，减区间为(1,−lna)；

当1e<a<1时，函数g(x)的单调增区间为(0,−lna)和(1,+∞)，减区间为(−lna,1)；

当a=1e时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无减区间；

当a≥1时，函数g(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)；

(ii)若g(x)≤1−x−1x在(1,+∞)上恒成立，

即a≤(lnx−x+1)xex在(1,+∞)上恒成立，

设ℎ(x)=(lnx−x+1)xex，函数定义域为(1,+∞)，

可得ℎ′(x)=(lnx−x+2)(1−x)ex．

令φ(x)=lnx−x+219.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，CD=2，DP=23，

∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，

∵tan∠DCP=PDCD=232=3，∴∠DCP=π3．

∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵BC⊥CD，PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC，∴∠PCB=π2，

多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，

其中P为多面体M的一个顶点，Qi(i=1,2,…,k,k≥3且k∈N∗)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，

由离散曲率的定义得四棱锥P−ABCD在顶点C处的离散曲率为：

ΦC=1−12π(∠DCB+∠PCB+∠DCP)=1−12π(π2+π2+π3)=13．

(2)∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD，

∵PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD，

∵AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PA