2023年河南某省实验中学四模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南某省实验中学四模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.下列各数中，比

−3小的数是（）A．﹣2 B．0C．1 D．−41.D【解析】∵

−4＜−3＜−2＜0＜1，∴比−3小的数是−42.榫卯（sǔn

mǎo），是一种应用于中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯固定物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（）2.B3.2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D）经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，将数字30870用科学记数法表示应为（）A．3.087×104 B．30.87×103C．0.3087×105 D．3.087×1053.A【解析】30870＝3.087×104．4.下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．y2+y2＝2y4C．（ab2）2＝ab4 D．x8÷x2＝x64.D【解析】A．a3•a2＝a5，原计算错误，故本选项不合题意；B．y2+y2＝2y2，原计算错误，故本选项不合题意；C．（ab2）2＝a2b4，原计算错误，故本选项不合题意；D．x8÷x2＝x6，正确，故本选项符合题意．5.下列说法不正确的是（）A．为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查B．为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图C．为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用抽样调查D．为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查5.C【解析】A.为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查，正确，不符合题意；B.为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图，正确，不符合题意；C.为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，应采用全面调查，原说法错误，符合题意；D.为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查，正确，不符合题意．6.如图①，锐角△ABC中，AB＞BC＞AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图②中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确6.A【解析】根据作图过程可知，AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形，甲的方法正确；根据线段的垂直平分线作图过程可知，CD＝AD，∴△ACD为等腰三角形，乙的方法正确；根据作一个角等于已知角的过程可知，∠ACD＝∠A，∴CD＝AD，∴

△ACD为等腰三角形，丙的方法正确；∴甲、乙、丙都正确.7.若关于x的一元二次方程（m−1）x2−2x+1＝0有实数根，则m的值可以是（）A．4 B．3 C．2 D．17.C【解析】∵关于x的一元二次方程（m−1）x2−2x+1＝0有实数根，∴b2−4ac≥0，即（−2）2﹣4（m−1）≥0，解得m≤2，∵（m−1）x2−2x+1＝0是一元二次方程，∴m−1≠0，即m≠1，故m的值可以是2．8.如图，王林用图①中的一副七巧板拼出如图②所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图②中E，F两点之间的距离为（）A．26

B．17

C．13

D．108.A【解析】如图，过E作EG⊥FM的延长线于G，由七巧板可知，大正方形边长4，∴小正方形边长ME=2，∴EG＝MG＝1，FG＝1+4＝5，在Rt△FEG中，由勾股定理得，E9.如图，▱OABC的顶点O（0，0），C（13，0），OA＝3，点B在第一象限，将▱OABC绕点O顺时针旋转得到▱OA'B'C'，当点A的对应点A'落在x轴正半轴上时，点B的对应点B'恰好落在BC的延长线上，则点B'的坐标是（）A．（5，﹣12） B．（8，﹣12） C．（8，﹣13） D．（12，﹣8）9.B【解析】∵C（13，0），∴OC＝13，∵将▱OABC绕点O顺时针旋转得到▱OA'B'C'，∴∠AOC＝∠C'OA'，又∵四边形OABC和四边形OA

'B

'C'均是平行四边形，∴∠AOC＝∠B，AB∥OC，A

'B

'∥OC

'，∴∠B＝∠OCB'，∠C'OA'＝∠B'A'C，∴∠B

'A

'C＝∠OCB

'，∴B

'A

'＝B

'C＝13，过点B'作B

'E⊥A'C于点E，∵A'C＝OC﹣OA'＝10，∴A

'E=12A

'C＝5，∴OE＝8，B

'E

=B′A′

2−A10.电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．（温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式

I=UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压A．R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）B．电压表显示的读数为3伏时，可变电阻R1电阻是50欧C．电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克D．该电子体重秤标注的最大质量为120千克，小明说选用的电压表量程为0～6伏10.D【解析】将（0，240）、（120，0）代入R1＝mk+b，得

b=240120k+b=0，解得

k=−2b=240，∴R1＝−2m+240（0≤m≤120），故A选项不符合题意；由题意可得，可变电阻两端的电压V1＝8﹣3＝5（伏），∵I=UR，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴5R1=330，∴R1＝50（欧），故B选项不符合题意；由题意可得，可变电阻两端的电压V1＝8−2＝6（伏），∵I=UR，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴6R1=230，∴R1＝90（欧），∴当R1＝90时，−2m+240＝90，解得m＝75（千克），故C选项不符合题意；当m＝120时R1＝−2×120+240＝0（欧），∴可变电阻两端的电压V1＝0（伏），∴电压表显示的读数为8−0＝二、填空题11.请写出一个整数x，使x−3有意义，则x的值可以是11.3（答案不唯一）【解析】要使

x−3有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3，∵x为整数，∴x的值可以是12.不等式组x−3＜12.﹣3≤x＜8【解析】解不等式x﹣3＜5，得x＜8，解不等式2x+6≥0，得x≥﹣3，∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜8．13.由于节能、环保且路权卓越，新能源车逐渐成为人们的新宠．四张材质、大小完全相同的卡片上涂画如下新能源车标，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率是

．13.1【解析】设四个车标依次为A、B、C、D，画树状图如图，由图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张都是中心对称图形的结果有2种，∴抽到的两张都是中心对称图形的概率为21214.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O在AC上，⊙O与AB，BC相切，切点分别为点D，E．若AB＝BC＝4，则阴影部分的面积为

．14.π【解析】如图，连接OD，OE，OE与DC交于点F，∵⊙O与AB，BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，又∵OE＝OD，∠ABC＝90°，∴四边形ODBE为正方形，∴∠DOE＝90°，OD＝BE，∵AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴OE＝EC，∴EC＝OD＝2，又∵∠DFO＝∠CFE，∠DOF＝∠CEF，∴△DOF≅△CEF（AAS），∴S△DOF＝S△CEF，∴阴影部分的面积=S扇15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到△EC′F，连接AC′，当BE＝

时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．15.78或【解析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得，EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝EC＝4﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得，32+x2＝（4﹣x）2，解得x=78；如图，过点A作AH⊥EC′于点H，当AE＝AC′时，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∵△ECF沿EF翻折得到△EC′F，∴∠FEC′＝∠FEC，∴∠AEB＝∠AEH，∵∠B＝∠AHE＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴HE＝BE＝x，∵AE＝AC′，∴EC′＝2EH，∵EC'＝EC，即4﹣x＝2x，解得x=43，综上所述，BE三、解答题16.（1）计算：(12)−1−20230+|2−（2）化简：(116.解：（1）(12)－1－20230+|2

＝2－1

+2－

=2（2）（1+1x）÷（x

=x

=x+1x

=117.2023年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．【学科测试】抽取的学生语文测试成绩（满分100分）如下表：抽取的学生成绩平均数方差中位数众数甲校5066666678808182839474.6141.04a66乙校6465697476767681828374.640.8476b（1）表中a＝

；b＝

；（2）请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校抽取的学生的语文测试成绩；【监测反思】（3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用抽取的学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？17.解：（1）79；76；【解法提示】将甲校样本学生成绩从小到大排序为50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，位于第5个和第6个的数据分别是78和80，∴a=78+802=79，在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76（2）由表格知，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，∴乙校成绩更加稳定；（答案不唯一，合理即可）（3）甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，理由如下：用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，∵W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，∴不能用这10个人的成绩来评估全校2000多人的成绩．18.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°，若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6米，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）18.解：如图，过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．由题意得，∠BAE＝53°，∠CAF＝44°，BE＝CF，AC＝（AB+2）米，设AB＝x米，则AC＝（x+2）米，在Rt△ABE中，

sin∠∴BE≈0.8x米.在Rt△ACF中，

sin∠∴CF≈0.7（x+2）米，∴0.8x≈0.7（x+2），解得x≈14，∴BE≈0.8x≈11.2米，∴11.2+1.6≈13米．答：风筝离地面MN的高度约为13米．19.如图，点A（﹣2，y1），B（﹣6，y2）在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为点C、（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．条件①：四边形OCED的面积为2；条件②：BE＝2AE．19.解：（1）∵函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，∴y1＞y2；证明：当x＝﹣6时，

y2当x＝﹣2时，

y1∵

y1−y2=∴

−k3＞∴y1＞y2；（2）选择条件①：∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，∴四边形OCED是矩形，∴OD·OC＝2，∵A（﹣2，y1），B（﹣6，y2），∴OC＝2，OD＝y2，解得y2＝1，∴B（﹣6，1），将点B（﹣6，1）代入y=kx得，k＝﹣6×1＝选择条件②：∵A（﹣2，y1），B（﹣6，y2），∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，∴四边形OCED是矩形，∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，∴BE＝DB﹣DE＝4，∴AE又∵AE＝AC﹣CE＝y1﹣y2，∴y1﹣y2＝2，由（1）可知，y1∴−k解得k＝﹣6．（任选其一即可）20.某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个．已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．（1）求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于2023年安装B型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？20.解：（1）设安装A型充电桩的单价为x万元，安装B型充电桩的单价y万元，根据题意，得

200x解得

x=∴安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元；（2）设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了（200﹣m）个，投入的总费用为w万元，根据题意，得m≤

12解这个不等式，得m≤

662投入的总费用w＝1×m+3.5（200﹣m）．∴w＝﹣2.5m+700，∵﹣2.5＜0，∴w随m的增大而减小，∵m为正整数，当m取最大值66时，w的最小值为w＝﹣2.5×66+700＝535（万元）．答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元．21.如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为120米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点B时用激光笔照射在摩天轮的点C和最低点A处，激光线BC交地面于点F，当激光线经过圆心点O时，交⊙O于点D，交水平地面AF于点E且BD⊥AC于点G．（1）求证：∠FAC＝2∠ABE；（2）若AC＝72米，求BE的长．21.（1）证明：∵AF是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∴∠OAG+∠CAF＝90°，∵BD⊥AC于点G，且BD过圆心O，∴∠AOD+∠OAG＝90°，∴∠FAC＝∠AOE，∵∠AOE=2∠ABE，∴∠FAC＝2∠ABE；（2）∵AC＝72米，BD⊥AC，∴AG＝CG＝36米，∵圆的直径约为120米，∴OA＝60米，∴OG

=OA∴tan∠AOE

=A∴

3648∴AE＝45，∴EG=

AE2−∴BE＝OB+OG+GE＝60+48+27＝135（米）．22.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图①所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM线上（如图②所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（8，8），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入得，0＝64a+8，解得a=−∴函数的表达式为y

=−18（x﹣8）2+8=−18x2+2（2）∵隧道下的公路是双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，∴每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，∵5.8＜6，∴该车辆能通行；（3）设B（m，0），则A（m，−18m2+2∵抛物线的对称轴为直线x＝8，∴BC＝2（8﹣m）＝16﹣2m＝AD，∴AB

=−18m2设w＝AB+AD+DC＝16−2m+2AB=−14m2+2∵

−14＜0，故w当m＝4时，w的最大值为20，∴AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．23.九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．操作探究：（1）如图①，△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE＝

，OF与DE的数量关系是

；迁移探究：（2）如图②，（1）中的其他条件不变