（详解详析）2023年河南洛阳一模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南洛阳一模·数学详解详析一、选择题1.B【解析】∵

5＞0，∴

5是正数，故A不符合题意；∵－1＜0，∴－1是负数，故B符合题意；0既不是正数，也不是负数，故C不符合题意；∵|－3|＝3＞0，∴|－3|是正数，故D不符合题2.D【解析】189670000000＝1.8967×1011．3.B【解析】从左边看，是一列两个小正方形．4.D【解析】2a－a＝a，故A选项不符合题意；（a－1）2＝a2－2a+1，故B选项不符合题意；a6÷a3＝a3，故C选项不符合题意；（2a3）2＝4a6，故D选项符合题意．5.D【解析】∵∠AOC＝75°，∴∠BOD＝∠AOC＝75°，∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，∴∠2＝∠BOD－∠1＝75°－25°＝50°．6.A【解析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系，得－2m＝－2，解得m＝1.7.C【解析】∵7h出现了19次，出现的次数最多，∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；∵共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，∴所调查学生睡眠时间的中位数是

7+82=8.C【解析】如图，设EF交BD于点O，则OD＝OB，由作图得，EF垂直平分BD，∴四边形DMBE是菱形，∴DM=BM=BN=ND，∵∠ADB＝90°，∴AD∥EF，又DE∥AM，∴四边形ADEM是平行四边形，∴DE=DM=AM=BM，∴M是AB中点，∴DM

=12AB＝MB＝5，同理，DN＝BN＝5，∴四边形DMBN的周长为5×49.C【解析】解法一：如图，过点B′作B′G⊥OC于点G，延长GB′交BA延长线于点D，则四边形BOGD为矩形，∵AB⊥y轴于点B，A（1，2），∴B（0，2），∴AB＝1，DG＝OB＝2，根据折叠可知，∠ABO＝∠AB′O＝90°，AB＝AB′＝1，OB＝OB′＝2，∴∠AB′D+∠OB′G＝90°，∵∠B′OG+∠OB′G＝90°，∴∠AB′D＝∠B′OG，∵∠ADB′＝∠B′GO＝90°，∴△AB′D∽△B′OG，∴

ADB′G=B′DOG=AB′B’O=12，设AD＝a，则BD＝OG＝1+a，∴

aB′G=12，∴B′G＝2a，∴B′D＝DG－B′G＝2－2a，∵

B′DOG=12，∴

2−2a1+a=12，解得a

=35，经检验，a

=35是原分式方程的解，∴OG＝1+a

=85，B′G＝2a

=65，∴B′

(解法二：由折叠知，BC⊥OA，∴∠OBC+∠AOB＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠AOB＝∠BCO，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°＝∠BOC，∴△AOB∽△BCO，∴

OBCO=ABBO，∵A（1，2），∴OB＝2，AB＝1，∴

2OC=1210.B【解析】根据题意可设，拉力(x)和弹簧长度(y)的关系式为：y＝kx+b(k≠0)，∵点（0，10），（1，12）在函数图象上，∴

b=10k+b=12，解得

k=2b=10，∴y＝2x+10，∴当拉力为7.5N时二、填空题11.π（答案不唯一）【解析】∵π

≈3.14，∴3＜π＜4，即无理数可以是π.12.x＜3【解析】由x－2＜1得，x＜3，由数轴知m＞3，则不等式组解集为x＜3.13.1【解析】画出树状图如下：由树状图可知，一共有16种等可能的情况，其中小亮和小明被分配到同一场馆做志愿者有4种可能情况，∴P（小亮和小明被分配到同一场馆做志愿者）

=414.9π－9

3【解析】如图，连接CO′，OC′，C′C，CO′交OC′于点D,已知可得，四边形OO′C′C是平行四边形，又∵OC＝OO′＝6，∴四边形OO′C′C是菱形，∴CO′⊥OC′，DO′

=12CO′，∵∠AOB＝60°，OC＝OO′，∴△COO′是等边三角形，CO′＝OC＝6，∠C′OB＝30°，∴DO′＝3，OD

=O′O2−O′D2=62−32=3

3，∴OC′＝2OD＝6

3，∴S15.7【解析】如图，取AE的中点H，连接FH，交AD于N，∵点F是BE的中点，点H是AE的中点，∴FH∥AB，EH＝AH＝3

3，FH

=12AB＝2

3，∴点F在以点H为圆心，2

3为半径的圆上运动，当点F在AE的上方，且FH⊥AD时，∵∠DAE＝30°，∴HN

=12AH

=332，当点F在AE的下方，且FH⊥AD时，点F到直线AD的距离有最大值，∴最大值为2

3+332=7三、解答题16.解：（1）原式

=1

＝0；（2）原式

=a

＝(

＝a－b．17.解：（1）m

=110×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10（2）甲．【解法提示】甲同学得分的方差S2甲

=110×[2×（7－8.6）2+2×（8－8.6）2+4×（9－8.6）2+2×（10－8.6）2]＝1.04，乙同学得分的方差S2乙

=110×[4×（7－8.6）2+2×（9－8.6）2+4×（10－8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴18.解：（1）

y1＞

y由题意得

y1=k6∵k＜0，∴

k6即

y1＞

y（2）由题意得四边形OMPN是矩形，MP＝ON＝2，OM

=−∴2×（

−k6）＝解得k＝－6，∴反比例函数的解析式为y

=−19.解：（1）如图，过点C作CG⊥DE，并延长CG交AB于点H，由题意得AD＝GH＝EB＝1.5米，AB＝DE＝260米，设DG＝x米，在Rt△CDG中，∠CDG＝53°，∴CG＝DG•tan53°≈1.33x（米），在Rt△CGE中，∠CEG＝45°，∴EG=

CGta∵DG+GE＝DE，∴x+1.33x＝260，解得x≈111.6，∴CH＝CG+GH＝1.33x+1.5≈150（米），∴郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离约为150米；（2）我认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项是：使用测角仪测量时，要与地面垂直（答案不唯一）．20.解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意，得

x+解得

x=答：购进A款钥匙扣30件，B款钥匙扣20件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（200－m）件B款钥匙扣，根据题意，得20m+25（200－m）≤4800，解得m≥40．设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（30－20）m+（37－25）（200－m）＝－2m+2400．∵－2＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝－2×40+2400＝2320，此时200－m＝200－40＝160．答：当购进40件A款钥匙扣，160件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2320元．21.（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD－∠OAB＝∠OAC－∠OAB，∴∠OAD＝∠BAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAC＝∠ODA，∵∠AOB＝∠OAD+∠ODA=2∠ODA，∴∠AOB＝2∠BAC；（2）解：设⊙O的半径为r

cm，在Rt△OAC中，sin∠ACB=

513∴

OAOC=

rr解得r＝20，∴OA＝20，OC＝OB+BC＝52，∴AC=

OC2−OA2=

∴水槽AC的长度为48cm．22.（1）（－2，－4m－1）；【解法提示】解：（1）∵抛物线y＝mx2+4mx－1（m＜0），∴对称轴为直线x=－

4m2m=－2，当x＝－2时，y＝4m－8m－1＝－4m－1，∴抛物线的顶点坐标为（－2，－4m（2）①∵抛物线y＝mx2+4mx－1（m＜0）与y轴的交点为（0，－1），∴OC＝1，∵OB＝OC，∴OB＝1，∴B（－1，0）或B（1，0），把B（－1，0）代入抛物线y＝mx2+4mx－1（m＜0），可得m－4m－1＝0，解得m

=−把B（1，0）代入抛物线y＝mx2+4mx－1（m＜0），可得5m－1＝0，解得m

=15，不合∴抛物线的解析式为y

=−13x2

−4②

−13≤m

＜

【解法提示】设A，B两点的横坐标为

x1，

x2，则AB＝|

x1－

x2|=x2-x1，

x1，

x2是方程mx2+4mx－1＝0的两个根，∴

x1+

x2＝－4，

x1x2=−1m，∵AB≤2，∴0＜x2-x1≤2，∵（

x1－

x2）2＝（

x1+

x2）2－4

x1x223.（1）75°；【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠BCF＝90°，根据折叠的性质可得，DF＝CF

=12CD，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠HCG＝∠HCB

=12∠GCB，∴CF

=12CG，EF∥BC，∴∠FGC＝∠GCB＝30°，∴∠HCB＝15°，∠CHB＝（2）解法一：△MGN为等边三角形．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，BC＝CD，根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠D=∠FCB=90°，∴EF∥BC∥AD，∠MGC＝90°，CG＝CD，∵NF∥DM，F为CD中点，∴NF为△CDM的中位线，∴CN＝NM，在Rt△MGC中，MN＝GN，∴∠NMG＝∠MGN，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴∠CMG＝∠CMD，即∠NMG＝∠NMD，∵EF∥AD，∴∠NMD＝∠GNM，∴∠NMG＝∠MGN＝∠GNM

=180°∴△MGN为等边三角形；解法二：由（1）可知，∠CHB＝∠CHG＝75°，∴∠BHG＝150°，∠EHG＝30°，根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠BEF＝∠AEF＝90°，∠B＝∠A=∠CGH＝90°，∴EF∥AD，∠MGN＝∠EGH＝60°，∵NF∥DM，F为CD中点，∴NF为△CDM的中位线，∴CN＝NM，在Rt△MGC中，MN＝GN，∴∠NMG＝∠MGN＝60°，∴△MGN为等边三角形；（3）AM＝3cm或AM＝4.8cm．【解法提示】∵点H是边AB的三等分点，∴BH＝2cm或AH＝2cm，①当BH＝2cm时，如图①，连接CM，则AH＝4cm，∵四边ABCD为边长为6cm的正方形，∴BC＝CD＝6cm，∠B＝90°，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝6cm，BH＝GH＝2cm，∠B＝∠HGC＝90°，∴CG＝CD＝6cm，在Rt△CGM和Rt△CDM中，CM∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL），∴GM＝DM，设GM＝DM＝x

cm，则AM＝（6－x）cm，HM＝GH+GM＝（2+x）cm，在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2，∴（6－x）2+42＝（2+x）2，解得x＝3，∴AM＝6－x＝3（cm）；②当AH＝2cm时，如图②，连接CM，则BH＝4cm，∵四边ABCD为边长为6cm的正方形，∴BC＝CD＝6cm，∠